Đề thi học kỳ 2 Toán 9 năm 2024 — Phòng GD&ĐT huyện Thanh Trì, Hà Nội

Thời gian: 90 phút
Số câu: 5 câu
Đáp án: Có đáp án

Câu I

2,0 điểm

Cho hai biểu thức:

$A = \frac{2\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x}} \quad \text{và} \quad B = \frac{x - 4\sqrt{x} + 1}{x - 1} + \frac{2}{\sqrt{x} + 1} - \frac{1}{1 - \sqrt{x}} \quad (\text{với } x > 0, x \ne 1)$

1)
Tính giá trị của biểu thức A khi $x = 36$ .
2)
Chứng minh rằng: $B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1}$ .
3)
Đặt $M = A.B$ . Tìm tất cả các giá trị $x$ thoả mãn: $\sqrt{1 - 2M^{2}} = \sqrt{1 - 2M}$ .

Câu II

2,5 điểm

1)
Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.

Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng $3$ m. Nếu tăng chiều dài thêm $2$ m và giảm chiều rộng $1$ m thì diện tích mảnh đất không đổi. Tính chiều dài, chiều rộng ban đầu của mảnh đất.
2)
Một lon nước ngọt hình trụ có đường kính đáy là $5,5$ cm, chiều cao là $13$ cm. Hỏi lon nước đó chứa được bao nhiêu ml nước ngọt (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai, lấy $\pi \approx 3,14$ )

Câu III

2,0 điểm

1)
Giải phương trình: $x^{4} + x^{2} - 30 = 0$
2)
Cho phương trình ẩn $x$ : $x^{2} + (m + 2)x + 2m = 0$ (1) ( $m$ là tham số)
1. a)
  Chứng minh phương trình (1) luôn có 2 nghiệm với mọi $m$ .
2. b)
  Tìm $m$ để phương trình (1) có 2 nghiệm $x_{1}; x_{2}$ sao cho $2x_{1} + 3x_{2} = 1$

Câu IV

3,0 điểm

Cho $\Delta ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O; R)$ , biết $AB < AC$ . Các đường cao $BM, CN$ của $\Delta ABC$ cắt nhau tại $H$ ( $M \in AC; N \in AB$ ). Gọi $P$ là giao điểm của $MN$ và $CB$ . Đường thẳng $AP$ cắt $(O)$ tại $K$ ( $K$ khác $A$ ).

1)
Chứng minh: Tứ giác $BNMC$ nội tiếp.
2)
Chứng minh: $PB.PC = PN.PM$ và $\Delta PKN$ đồng dạng với $\Delta PMA$ .
3)
Gọi $I$ là trung điểm của $BC$ . Chứng minh: Ba điểm $K, H, I$ thẳng hàng.

Câu V

0,5 điểm

Cho 2 số thực không âm $x, y$ thỏa mãn $x + y = 1$ . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = (4x^{2} + 3y)(4y^{2} + 3x) + 25xy$ .

HẾT