Đề thi học kỳ 2 Toán 8 năm 2026 — Trường THCS Lê Ngọc Hân, Hà Nội

Thời gian: 90 phút
Số câu: 5 câu
Đáp án: Có đáp án

Câu I

2,0 điểm

Cho hai biểu thức: $A = \dfrac{x^2 + 2}{x + 1}$ và $B = \dfrac{2}{x} + \dfrac{2x^2 + 2}{x^2 - x} + \dfrac{x + 1}{1 - x}$ với $x \neq \pm 1, x \neq 0$ .

1)
Tính giá trị biểu thức $A$ khi $x = 2$ .
2)
Rút gọn biểu thức $B$ .
3)
Cho biểu thức $P = A.B$ . Chứng minh rằng: Khi $x$ là số tự nhiên thì biểu thức $P$ luôn nhận giá trị dương.

Câu II

3,25 điểm

1)
Trong một hộp có 8 chiếc thẻ giống hệt nhau, trên mỗi thẻ có ghi một trong các số: $1; 2; 3; .....; 8$ . Hai thẻ khác nhau ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên 1 chiếc thẻ trong hộp. Tính xác suất của biến cố “Số ghi trên thẻ được rút ra không là số nguyên tố”
2)
Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng $8\text{m}$ . Nếu giảm chiều dài $3\text{m}$ và giữ nguyên chiều rộng thì diện tích mảnh đất giảm $168\text{m}^2$ . Tính các kích thước mảnh đất?
3)
Cho hàm số $y = 2x + 4$ có đồ thị là đường thẳng $(d)$
1. a)
  Vẽ đồ thị hàm số.
2. b)
  Xác định đường thẳng $(d_1)$ : $y = ax + 5$ biết $(d)$ và $(d_1)$ là hai đường thẳng song song.

Câu III

1,0 điểm

Người ta cần làm đường nối hai khu dân cư $A$ và $B$ ở hai bên bờ sông. Vì vậy, họ đã bố trí để tiến hành đo đạc như hình vẽ và thu được kết quả: $EB = 1080\text{m}; DC = 240\text{m}$ và $AC = 272\text{m}.$

Hình vẽ minh họa đo đạc với các điểm A, B, C, D, E, cầu DE bắc qua sông, EB = 1080 m, DC = 240 m, AC = 272 m, góc vuông tại E và D

a)
Tính khoảng cách $AB$ giữa hai khu dân cư.
b)
Đường nối hai khu dân cư (đoạn tô đậm trên hình vẽ) được làm như sau:
- Làm cầu $DE$ bắc qua sông (vị trí này chiều dài của cầu sẽ ngắn nhất nên tiết kiệm được chi phí làm cầu).
- Làm hai đoạn đường $AD$ và $EB$ để nối cầu với mỗi khu dân cư (đường ven sông $EB$ có cảnh quan đẹp sẽ giúp phát triển kinh tế địa phương).
Em hãy tính chiều dài quãng đường đi từ $A$ đến $B$ .

Câu IV

3,25 điểm

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ( $AB < AC$ ). Vẽ đường cao $AH$ và phân giác $BD$ của tam giác $ABC$ . $AH$ cắt $BD$ tại $I$ .

a)
Chứng minh $\Delta BHA \sim \Delta BAC$ .
b)
Chứng minh tam giác $AID$ cân tại $A$ và $DA^2 = DC.IH$
c)
Kẻ $CK$ vuông góc với tia $BD$ tại $K$ . $E$ là hình chiếu của $K$ trên $AC$ . $F$ là trung điểm $BC$ . Chứng minh $K$ , $E$ , $F$ thẳng hàng.

Câu V

0,5 điểm

Cho một tấm bìa hình tam giác $ABC$ cân tại $A$ có đáy $BC$ dài $20cm$ . Chiều cao từ đỉnh $A$ xuống đáy $BC$ bằng $10cm$ . Từ tấm bìa đó, người ta cắt ra một hình chữ nhật $MNPQ$ sao cho:

Các điểm $M$ và $N$ nằm trên cạnh đáy $BC$ .
Điểm $P$ nằm trên cạnh $AC$ , điểm $Q$ nằm trên cạnh $AB$ .
$PQ // BC$ .

Hình tam giác cân ABC với đường cao AH và hình chữ nhật MNPQ nội tiếp, PQ song song BC

Hỏi diện tích lớn nhất có thể của hình chữ nhật $MNPQ$ bằng bao nhiêu $cm^2$ ?

HẾT