Đề thi học kỳ 2 Toán 12 năm 2025 — Trường THCS-THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm, Hà NộiMã đề 101

Cho hàm số bậc ba $y = f(x)$ có đồ thị là đường cong trong hình bên. Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = x^2 - 1, \forall x \in \mathbb{R}$. Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f(x)$ trên đoạn $[-1; 2]$ bằng

Trong không gian, cho 4 điểm bất kì $A, B, C, O$. Đẳng thức nào sau đây luôn đúng?

Một mẫu số liệu ghép nhóm có các tứ phân vị lần lượt là $Q_1 = 21$, $Q_2 = 45$; $Q_3 = 70$. Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đó bằng

Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào sau đây?

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d$: $\begin{cases} x = 3 - 2t \\ y = t \\ z = 1 + 3t \end{cases} (t \in \mathbb{R}).$

Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$?

Trong không gian $Oxyz$, cho các vectơ $\vec{a} = (2; -1; 3)$, $\vec{b} = (1; 3; -2)$. Tìm tọa độ của vectơ $\vec{c} = \vec{a} - 2\vec{b}$.

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S): (x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 2)^2 = 18$. Tọa độ tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu $(S)$ là

Biết $\int_{1}^{3} f(x) \mathrm{d}x = 5$ và $\int_{3}^{7} f(x) \mathrm{d}x = 9$. Giá trị của $\int_{1}^{7} f(x) \mathrm{d}x$ bằng

Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = 1 - 2\sin x$ là

Đường thẳng $x = -1$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số nào trong các hàm số sau đây?

Điểm trung bình môn Toán của một số học sinh khối 12 được thống kê lại trong bảng sau:

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên thuộc khoảng nào sau đây?

Một chất điểm chuyển động thẳng trong 20 giây với vận tốc $v(t)$ (đơn vị: m/s) là hàm số phụ thuộc thời gian $t$ (đơn vị: giây) có đồ thị như hình vẽ sau đây.

Cho hàm số bậc ba $f(x)$ có đồ thị nhận gốc tọa độ $O$ làm tâm đối xứng. Gọi $F(x)$ là nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $F(0) = 2$. Biết rằng $\int_{0}^{3} f(x) \mathrm{d}x = 5$.

Một máy bay dân dụng sắp hạ cánh xuống sân bay Nội Bài. Xét một hệ trục tọa độ $Oxyz$ (mỗi đơn vị trên hệ trục bằng $1$ km) sao cho đường băng hạ cánh nằm trên mặt phẳng $(Oxy)$. Máy bay đang ở điểm $A(0;0;0,4)$ và mục tiêu sẽ tiếp đất tại điểm $B(0;7,5;0)$ trên đường băng. Giả sử máy bay bay theo đường thẳng từ $A$ đến $B$. Một đám mây nằm trong mặt phẳng không song song với mặt đất và có thể mô tả bởi phương trình $(P): x - y + 10z - \dfrac{9}{8} = 0$.

Trong một hộp có $8$ quả bóng màu xanh và $12$ quả bóng màu đỏ, các quả bóng có khối lượng và kích thước như nhau. Bạn Hải lấy ngẫu nhiên lần lượt $2$ quả bóng, mỗi lần lấy $1$ quả và không hoàn lại.

Trong không gian $Oxyz$, cho bốn điểm $A(1;2;1)$, $B(2;0;-1)$, $C(1;3;-4)$, $D(0;-2;2)$ và $M$ là một điểm thỏa mãn $MA^{2} + MB^{2} + MC^{2} = 4MD^{2}$. Biết rằng $M$ nằm trên một mặt cầu có tâm $I(a;b;c)$, tính $a + b + c$.

Trong cuộc thi thiết kế logo cho câu lạc bộ NBK ART, một bạn học sinh đã sử dụng phần mềm Geogebra để thiết kế ra một mẫu logo và gửi đi dự thi. Logo được tạo bằng cách vẽ một hình tròn bán kính bằng $\sqrt{29}$ cm, sau đó cắt bốn góc đối xứng nhau bởi bốn parabol giống nhau như hình vẽ dưới đây. Phần hình phẳng còn lại sau khi cắt được tô màu, chính là hình dạng cuối cùng của logo dùng để dự thi. Tính diện tích (đơn vị: $\text{cm}^2$) của logo đó (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Một cặp sinh đôi có thể sinh đôi cùng trứng hoặc sinh đôi khác trứng. Các cặp sinh đôi cùng trứng luôn cùng giới tính. Đối với cặp sinh đôi khác trứng, thì giới tính của mỗi đứa trẻ là độc lập và có xác suất $0,5$ là con trai. Một thống kê cho thấy, có khoảng $34\%$ cặp sinh đôi đều là trai, $30\%$ cặp sinh đôi đều là gái, $36\%$ cặp sinh đôi là một trai và một gái. Chọn ngẫu nhiên một cặp sinh đôi. Tính xác suất để cặp sinh đôi đó là sinh đôi cùng trứng, biết cặp sinh đôi đó cùng giới tính (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Một nhà máy sản xuất xe đạp để xuất khẩu theo đơn giá $120$ USD/chiếc. Chi phí mỗi ngày của nhà máy được cho bởi hàm số

$C(x) = 0,02x^3 - 3x^2 + 172x + 2.400 \text{ (USD)}$

trong đó $x$ là số lượng xe đạp sản xuất được trong ngày hôm đó. Mỗi ngày nhà máy có thể sản xuất được tối đa $130$ xe đạp. Mỗi chiếc xe đạp bán ra nhà máy phải chịu thuế $0,5\%$. Giả sử số xe đạp sản xuất được trong mỗi ngày đều được bán hết. Tính số tiền thuế (USD) nhà máy phải nộp khi lợi nhuận trước thuế của nhà máy lớn nhất.

Cho hàm số $f(x) = \begin{cases} x^2 + x & \text{khi } x \le 1, \\ \dfrac{1}{x} + 1 & \text{khi } x > 1. \end{cases}$

Biết rằng $\int_{-1}^{2} f(x) \, dx = \dfrac{a}{b} + \ln c$, $(a, b, c \in \mathbb{Z}, \dfrac{a}{b} \text{ là phân số tối giản})$. Tính $abc$.

Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là mét), một cabin cáp treo xuất phát từ điểm $A(0;1;5)$ và chuyển động đều theo hướng vectơ $\vec{u} = (1;2;2)$ với tốc độ $6$ m/s. Sau $6$ giây kể từ lúc xuất phát, cabin đến điểm $B(a;b;c)$. Tìm $c$.