Đề thi học kỳ 2 Toán 12 năm 2025 — Sở GD&ĐT Bình DươngMã đề 5105

Thời gian: 90 phút
Số câu: 22 câu
Đáp án: Có đáp án

Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn3,0 điểm

Câu 1

Trong không gian Oxyz, đường thẳng $d: \begin{cases} x = 2 - t \\ y = 1 + 2t \\ z = 3 + t \end{cases}$

có một vectơ chỉ phương là:

A
$\displaystyle \vec{u} = (-1;2;3)$
B
$\displaystyle \vec{u} = (2;1;1)$
C
$\displaystyle \vec{u} = (-1;2;1)$
D
$\displaystyle \vec{u} = (2;1;3)$

Câu 2

Hàm số nào sau đây là họ các nguyên hàm của hàm số $f(x) = (x-1)^2$ , (với C là hằng số)

A
$\displaystyle F(x) = x^3 - x^2 + x + C$
B
$\displaystyle F(x) = \frac{x^3}{3} + x^2 + x + C$
C
$\displaystyle F(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 + x + C$
D
$\displaystyle F(x) = x^3 + x^2 + x + C$

Câu 3

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $M(1;0;1)$ và $N(3;2;-1)$ . Đường thẳng MN có phương trình tham số là:

A
$\displaystyle \begin{cases} x = 1 + t \\ y = t \\ z = 1 + t \end{cases}$
B
$\displaystyle \begin{cases} x = 1 - t \\ y = t \\ z = 1 + t \end{cases}$
C
$\displaystyle \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 2t \\ z = 1 + t \end{cases}$
D
$\displaystyle \begin{cases} x = 1 + t \\ y = t \\ z = 1 - t \end{cases}$

Câu 4

Cho hai biến cố $A$ và $B$ , biết $P(A) = 0,6$ , $P(B) = 0,7$ , $P(A \cap B) = 0,3$ . Tính $P(A \mid B)$ .

A
$\displaystyle \frac{3}{7}$
B
$\displaystyle \frac{3}{6}$
C
$\displaystyle \frac{7}{6}$
D
$\displaystyle \frac{6}{7}$

Câu 5

Cho hai biến cố $A$ và $B$ , với $P(A) = 0,8$ , $P(B) = 0,5$ , $P(A \cap \overline{B}) = 0,55$ . Tính $P(A \mid B)$ .

A
$\displaystyle 0,5$
B
$\displaystyle 0,1$
C
$\displaystyle 0,35$
D
$\displaystyle 0,15$

Câu 6

Cho hàm số $y = f(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $y = x^3$ . Phát biểu nào sau đây là đúng?

A
$\displaystyle f(x) = 3x^2$
B
$\displaystyle f(x) = 4x^3$
C
$\displaystyle f(x) = -\frac{x^4}{4}$
D
$\displaystyle f(x) = \frac{x^4}{4}$

Câu 7

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $(P): 3x - z + 2 = 0$ . Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của $(P)$ ?

A
$\displaystyle \vec{n}_2 = (3;0;-1)$
B
$\displaystyle \vec{n}_3 = (3;-1;0)$
C
$\displaystyle \vec{n}_1 = (3;-1;2)$
D
$\displaystyle \vec{n}_4 = (-1;0;-1)$

Câu 8

Với C là hằng số, họ các nguyên hàm của hàm số $f(x) = 2^x + 1$ là

A
$\displaystyle F(x) = 2^x + x + C$
B
$\displaystyle F(x) = \frac{2^x}{\ln 2} + x + C$
C
$\displaystyle F(x) = 2^x \ln 2 + x + C$
D
$\displaystyle F(x) = \frac{\ln 2}{2^x} + x + C$

Câu 9

Với C là hằng số, $\int \left(\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2}\right)^2 dx$ bằng:

A
$\displaystyle \left(-\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}\right)^2 + C$
B
$\displaystyle x + \cos x + C$
C
$\displaystyle x - \cos x + C$
D
$\displaystyle \frac{1}{3} \cdot \left(\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2}\right)^3 + C$

Câu 10

Cho hai biến cố $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập, biết $P(A) = 0,2$ và $P(B) = 0,25$ . Tính $P(A \mid B)$ .

A
$\displaystyle 0,25$
B
$\displaystyle 0,8$
C
$\displaystyle 0,2$
D
$\displaystyle 1,25$

Câu 11

Với $C$ là hằng số, họ các nguyên hàm của hàm số $f(x) = x^2 + \dfrac{2}{x^2}$ là

A
$\displaystyle \int f(x) dx = \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{2}{x} + C$
B
$\displaystyle \int f(x) dx = \dfrac{x^3}{3} - \dfrac{1}{x} + C$
C
$\displaystyle \int f(x) dx = \dfrac{x^3}{3} - \dfrac{2}{x} + C$
D
$\displaystyle \int f(x) dx = \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{1}{x} + C$

Câu 12

Nếu $\int_{1}^{2} f(x) dx = -2$ và $\int_{2}^{3} f(x) dx = 1$ thì $\int_{1}^{3} f(x) dx$ bằng

A
$\displaystyle 1$
B
$\displaystyle -3$
C
$\displaystyle 3$
D
$\displaystyle -1$

Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai4,0 điểm

Câu 1

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(-2;2;-2); B(3;-3;3)$ . Điểm $M$ trong không gian thỏa mãn

$\frac{MA}{MB} = \frac{2}{3}.$

a)
$\dfrac{MA}{MB} = \dfrac{2}{3} \Leftrightarrow 9MA^2 = 4MB^2$
b)
Gọi $M(x;y;z)$ , ta có: $9\sqrt{(x+2)^2 + (y-2)^2 + (z+2)^2} = 4\sqrt{(x-3)^2 + (y+3)^2 + (z-3)^2}$
c)
$M$ thuộc mặt cầu tâm $I(-6;6;-6)$ , bán kính $R = 108$
d)
Khoảng cách $OM$ lớn nhất là $12\sqrt{3}$

Câu 2

Một xe ô tô đang chạy với vận tốc $72$ km/h thì người lái xe bất ngờ phát hiện chướng ngại vật trên đường cách đó $30$ m. Người lái xe mất một giây để phản ứng, sau đó đạp phanh khẩn cấp. Kể từ thời điểm bắt đầu đạp phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v(t) = -10t + 20$ (m/s), $t \ge 0$ trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Gọi $s(t)$ là quãng đường xe ô tô đi được (tính bằng m) trong thời gian $t$ (giây) kể từ lúc đạp phanh.

a)
Quãng đường $s(t)$ mà xe ô tô đi được trong thời gian $t$ (giây) là một nguyên hàm của hàm số $v(t)$
b)
$s(t) = -5t^2 + 20t$
c)
Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là $4$ giây
d)
Ô tô va chạm với chướng ngại vật

Câu 3

Các nhà khoa học nghiên cứu sự xuất hiện của các siêu tân tinh (là một vụ nổ cực kỳ mạnh mẽ đánh dấu cái chết của một ngôi sao). Theo dữ liệu thu thập được, $2\%$ các sao trong thiên hà có thể phát nổ thành siêu tân tinh trong suốt vòng đời của chúng. Tuy nhiên, nếu một sao là một sao khổng lồ đỏ thì xác suất nó sẽ phát nổ thành siêu tân tinh là $10\%$ . Nếu sao đó không phải là sao khổng lồ đỏ thì xác suất phát nổ thành siêu tân tinh chỉ là $1\%$ .

Ta kí hiệu:

R : "Sao là sao khổng lồ đỏ (Red giant)", $\overline{R}$ : "Sao không phải là sao khổng lồ đỏ".

S : "Sao phát nổ thành siêu tân tinh (Supernova)".

a)
$P(S) = 0,02$
b)
Xác suất sao phát nổ thành siêu tân tinh nếu là sao khổng lồ đỏ là $P(S \mid R) = 0,10$
c)
Xác suất sao phát nổ nếu không phải sao khổng lồ đỏ là $P(\overline{R} \mid S) = 0,01$
d)
Xác suất sao phát nổ thành siêu tân tinh thực sự là sao khổng lồ đỏ là: $P(R \mid S) \approx 55,6\%$ (kết quả này đã làm tròn đến hàng phần chục)

Câu 4

Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y = \sqrt{x}$ , $y = \dfrac{1}{2}\sqrt{x}$ và hai đường thẳng $x = 0$ , $x = 4$ .

a)
Gọi $V_1$ là thể tích khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = 0$ , $y = \sqrt{x}$ , $x = 0$ , $x = 4$ quanh trục $Ox$ . Khi đó $V_1 = \pi\int_0^4 xdx$
b)
Gọi $V_2$ là thể tích khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = 0$ , $y = \dfrac{1}{2}\sqrt{x}$ , $x = 0$ , $x = 4$ quanh trục $Ox$ . Khi đó $V_2 = \pi\int_0^4 \dfrac{1}{2}xdx$
c)
$\dfrac{V_2}{V_1} = \dfrac{1}{2}$
d)
Một vật thể được tạo thành khi quay hình phẳng D quanh trục $Ox$ . Thể tích của vật thể đó là $18,8 (\text{cm}^3)$ (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)

Phần III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn3,0 điểm

Câu 1

Một cần cẩu đang nâng một thanh thép dài 5m. Nếu xét trong hệ trục $Oxyz$ (đơn vị trên trục tính bằng mét), thì thanh thép nằm trên đường thẳng có phương trình: $\begin{cases} x = 5 + 2t \\ y = -3 + t \\ z = 4 - t \end{cases}$

. Hỏi tại thời điểm một đầu của thanh thép chạm mặt sàn (cũng là mp $(Oxy)$ ) thì đầu còn lại của thanh thép ở độ cao bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Trả lời:

Câu 2

Một cánh buồm được mô tả giống như hình vẽ bên dưới, tính diện tích cánh buồm. (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Đồ thị hàm số $y = 2^x$ và miền gạch chéo giới hạn bởi $x=1$, $x=3$, $y=2$, $y=8$

Trả lời:

Câu 3

Lớp 12A có 30 học sinh, trong đó có 17 bạn nữ còn lại là nam. Có 3 bạn tên An, trong đó có 1 bạn nữ và 2 bạn nam. Thầy giáo gọi ngẫu nhiên 1 bạn lên bảng. Tính xác suất để bạn được gọi tên An, với điều kiện bạn đó là nam. (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Trả lời:

Câu 4

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số: $y = x^3 - x$ ; $y = 2x$ và các đường thẳng $x = 1$ ; $x = -1$ .

Trả lời:

Câu 5

Khi đặt hệ tọa độ $Oxyz$ vào không gian với đơn vị trên trục tính theo kilômét, người ta thấy rằng một không gian phủ sóng điện thoại có dạng một hình cầu $(S)$ (tập hợp những điểm nằm trong và nằm trên mặt cầu tương ứng). Biết mặt cầu $(S)$ có phương trình: $x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4y - 6z + 5 = 0$ . Khoảng cách xa nhất giữa hai vùng phủ sóng là bao nhiêu kilômét?

Trả lời:

Câu 6

Một hộp đựng 9 viên bi xanh và 7 viên bi đỏ. Lần lượt lấy ngẫu nhiên ra 2 bi, mỗi lần lấy 1 bi không hoàn lại. Tính xác suất để bi thứ 2 màu xanh nếu biết bi thứ nhất màu đỏ?

Trả lời:

HẾT