Đề thi học kỳ 1 Toán 9 năm 2025 — Trường THCS Trưng Vương, Hà Nội

Thời gian: 90 phút
Số câu: 5 câu
Đáp án: Có đáp án

Câu I

2,5 điểm

Cho hai biểu thức $A = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} - 2}$ và $B = \frac{3x + 1}{x - 1} - \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} - \frac{1}{\sqrt{x} - 1}$ với $x \geq 0, x \neq 4, x \neq 1$ .

1)
Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x = 16$ .
2)
Chứng minh $B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1}$ .
3)
Xét biểu thức $P = AB$ . Tìm x để $|P| - P = 0$

Câu II

3,0 điểm

1)
Trong khuôn khổ sự kiện Trưng Vương Fiesta, các lớp tổ chức vòng loại để chọn ra những học sinh xuất sắc tham gia cuộc thi “Rung Chuông Vàng” cấp trường. Mỗi thí sinh phải trả lời 20 câu hỏi. Quy định chấm điểm như sau:

• Mỗi câu trả lời đúng được cộng 5 điểm.

• Mỗi câu trả lời sai hoặc không trả lời bị trừ 2 điểm.

Một thí sinh được chọn vào vòng thi cấp trường nếu đạt ít nhất 74 điểm. Hỏi thí sinh cần trả lời đúng tối thiểu bao nhiêu câu để đủ điều kiện vào vòng trường?
2)
Dọc hai bờ sông Hồng là gần 30 di tích lịch sử - văn hóa và hàng chục làng nghề truyền thống. Để đánh thức du lịch sông Hồng, thủ đô Hà Nội đã ra mắt nhiều tour du thuyền trên sông.

• Tour “Chào Đón Ánh Dương” du thuyền xuôi dòng 25km, ngược dòng 15km hết 2 giờ 45 phút.

• Tour “Vệt Nắng Hoàng Hôn” du thuyền xuôi dòng 30km, ngược dòng 20km hết 3 giờ 30 phút.

Tính vận tốc riêng của du thuyền và vận tốc dòng nước chảy (biết vận tốc riêng của du thuyền và vận tốc dòng nước chảy không đổi).

Câu III

1,0 điểm

Một chiếc đồng hồ quả lắc có thanh treo con lắc dài 60cm. Khi hoạt động ổn định, đầu con lắc dao động qua lại trên một mặt phẳng và quét nên một cung tròn có tâm là điểm treo con lắc với góc ở tâm là $30^{0}$ .

Minh họa đồng hồ quả lắc và sơ đồ dao động của con lắc với tâm O, bán kính 60cm, góc 30 độ, cung AB và điểm D

1)
Tính độ dài quãng đường con lắc di chuyển từ điểm A đến điểm B (Lấy $\pi \approx 3,14$ ).
2)
Khi sửa chiếc đồng hồ này, các thiết bị kiểm tra chuyên dụng cho biết: con lắc bắt đầu di chuyển từ điểm A được 339,12cm thì đột ngột dừng lại tại điểm D. Hỏi lúc này con lắc lệch bao nhiêu độ so với phương thẳng đứng?

Câu IV

3,0 điểm

Cho đường tròn $(O;R)$ đường kính $AB$ . Từ $A$ kẻ tiếp tuyến $Ax$ với đường tròn $(O)$ . Trên tia $Ax$ lấy điểm $M$ sao cho $MA > R$ . Từ $M$ kẻ tiếp tuyến $MC$ với đường tròn $(O)$ ( $C$ là tiếp điểm).

1)
Chứng minh bốn điểm $A, O, C, M$ cùng thuộc một đường tròn.
2)
Gọi $E$ là giao điểm của $MB$ với đường tròn tâm $O$ . Chứng minh $OM$ song song với $BC$ và $\widehat{BMO} = \widehat{CAE}$ .
3)
Từ $B$ kẻ tiếp tuyến $By$ với đường tròn $(O)$ . Đường thẳng qua $O$ và song song với $AC$ , cắt $By$ tại $D$ . Gọi $I$ là trung điểm của $OB$ . Chứng minh $MB$ vuông góc với $ID$ .

Câu V

0,5 điểm

Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài $20m$ , chiều rộng $15m$ . Bố An muốn phân hai khu vực hình vuông ở hai góc đối của mảnh vườn để thiết kế trang trí (hình minh họa). Để vừa đảm bảo tính thẩm mĩ, vừa tiết kiệm chi phí, mỗi khu vực có diện tích không nhỏ hơn $1m^2$ và tổng diện tích hai khu vực là $5m^2$ . Ngoài ra để phân rõ hai khu vực trên với phần diện tích còn lại, bố An trồng hoa bao quanh cả bốn cạnh của mỗi khu vực:

Hình minh họa mảnh vườn hình chữ nhật với hai khu vực hình vuông I và II ở hai góc đối

Khu vực $I$ trồng hoa mười giờ với chi phí $30.000$ đồng/mét.
Khu vực $II$ trồng hoa ngũ sắc với chi phí $70.000$ đồng/mét.

Hỏi chi phí trồng hoa dao động từ ít nhất bao nhiêu tiền và nhiều nhất bao nhiêu tiền, để bố An có thể chủ động?

HẾT