Đề thi học kỳ 1 Toán 9 năm 2024 — Phòng GD&ĐT Cầu Giấy, Hà Nội

Thời gian: 90 phút
Số câu: 5 câu
Đáp án: Có đáp án

Câu I

2,5 điểm

Cho hai biểu thức $A = \dfrac{5}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 3)}$ và $B = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} - \dfrac{6\sqrt{x}}{x - 9} - \dfrac{3}{\sqrt{x} + 3}$ với $x > 0, x \neq 9$ .

a)
Tính giá trị của biểu thức A khi $x = 4$ .
b)
Chứng minh $B = \dfrac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} + 3}$ .
c)
Đặt $P = \dfrac{B}{A}$ . Tìm $x$ để $P \leq \sqrt{x} - \dfrac{16}{5}$ .

Câu II

2,0 điểm

Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Bác Hà muốn mua một chiếc áo sơ mi và một chiếc quần âu. Tổng số tiền theo giá niêm yết của chiếc áo sơ mi và chiếc quần âu đó là 700 nghìn đồng. Bác Hà mua vào dịp "Tuần lễ người Việt Nam ưu tiên dùng hàng Việt Nam" nên so với giá niêm yết, áo sơ mi được giảm $15\%$ và quần âu được giảm $18\%$ . Do đó tổng số tiền bác Hà phải trả là 583 nghìn đồng. Hỏi giá niêm yết của mỗi mặt hàng trên là bao nhiêu?

Câu III

1,5 điểm

a)
Giải hệ phương trình: $\begin{cases} 2(x + y) + 3(x - y) = 4 \\ (x + y) + 2(x - y) = 5 \end{cases}$
b)
Giải phương trình: $x^{2}(x - 3) + 4(3 - x) = 0$ .
c)
Giải bất phương trình: $4x(3x - 1) \geq 3(2x + 5)^{2} - 11$ .

Câu IV

3,5 điểm

1)
Bậc thềm của tòa nhà cao $0,5$ m so với mặt đất. Để hỗ trợ người khuyết tật đi lại, người ta thiết kế lối đi dành cho xe lăn là một dốc nghiêng với khoảng cách từ chân dốc đến đỉnh dốc là $6$ m. Hỏi đường lên dốc tạo với phương nằm ngang một góc bao nhiêu độ? (Số đo góc làm tròn đến độ).
2)
Cho đường tròn $(O; R)$ và điểm $A$ nằm ngoài đường tròn. Từ $A$ kẻ tiếp tuyến $AB$ với đường tròn $(O)$ ( $B$ là tiếp điểm). Kẻ đường kính $BC$ của đường tròn $(O)$ , đoạn thẳng $AC$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai $D$ . Kẻ $OH \perp CD$ $(H \in CD)$ .
1. a)
  Chứng minh bốn điểm $A, B, O, H$ cùng thuộc một đường tròn.
2. b)
  Chứng minh $\Delta OHC$ đồng dạng với $\Delta ABC$ và $CH.CA = 2R^{2}$ .
3. c)
  Gọi $N$ là giao điểm của $BH$ và $DO$ . Kẻ $AK \perp BH$ $(K \in BH)$ , $AK$ cắt $BD$ tại $I$ . Chứng minh các điểm $C, N, I$ thẳng hàng.

Câu V

0,5 điểm

Một khách sạn có 100 phòng cùng giá tiền cho thuê. Qua khảo sát người ta thấy rằng: nếu ban đầu mỗi phòng khách sạn cho thuê với giá 480 nghìn đồng trong một ngày thì luôn kín các phòng, tuy nhiên khi tăng giá phòng thêm $x\%$ $(x \geq 0)$ so với mức giá ban đầu thì số lượng phòng cho thuê giảm đi $\dfrac{4x}{5}\%$ phòng. Hỏi khách sạn phải niêm yết giá tiền thuê phòng mỗi ngày là bao nhiêu để khách sạn đạt doanh thu một ngày cao nhất?

HẾT