Đề khảo sát chất lượng tháng 12 Toán 9 năm 2024–2025 — Trường THCS Trưng Vương, Hà Nội

Thời gian: 90 phút
Số câu: 5 câu
Đáp án: Có đáp án

Câu I

3,0 điểm

1)
Rút gọn mỗi biểu thức sau:
1. a)
  $A = \sqrt{20} + \frac{1}{3}\sqrt{45} - 0,75\sqrt{80}.$
2. b)
  $B = \left(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{1 + \sqrt{3}} + \frac{3}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}\right).\left(\sqrt{5} - \sqrt{8}\right).$
2)
Tìm $x$ , biết:
1. a)
  $2\sqrt{x - 1} - \frac{1}{4}\sqrt{4x - 4} + \frac{1}{2}\sqrt{9x - 9} = 3.$
2. b)
  $\sqrt{2x^2 - 5x} = \sqrt{x^2 - 4x}.$

Câu II

2,5 điểm

1)
Một nhà hát có sức chứa cố định được chia thành các dãy ghế với số lượng ghế mỗi dãy như nhau. Để phục vụ đa dạng các chương trình biểu diễn, từ cách bố trí ghế mặc định ban đầu, ban quản lý còn có hai phương án sắp xếp khác mà không làm thay đổi sức chứa:
- Phương án 1: Nếu giảm 6 dãy ghế thì mỗi dãy tăng 5 ghế.
- Phương án 2: Nếu muốn tăng được 10 dãy ghế thì mỗi dãy phải giảm 5 ghế.
Hỏi nhà hát có sức chứa bao nhiêu ghế?
2)
Hai nhân viên văn phòng dự định cùng hoàn thành một công việc trong 6 giờ. Do người thứ nhất bận đột xuất nên họ chỉ làm chung trong 4 giờ và người thứ hai mất 5 giờ để hoàn thành phần còn lại. Hỏi nếu làm riêng từ đầu thì mỗi người hoàn thành công việc đó trong bao lâu?

Câu III

1,0 điểm

Anh Cường đứng trên ngọn hải đăng ở độ cao 60 mét để quan sát một chiếc tàu đang tiến đến.

1)
Tính khoảng cách giữa tàu và ngọn hải đăng, biết góc tạo bởi phương thẳng đứng với đường thẳng đi qua tàu và vị trí quan sát là $80^{\circ}$ (làm tròn đến hàng đơn vị của mét).
2)
Sau 5 phút, anh tiếp tục quan sát con tàu tiến gần hơn đến ngọn hải đăng. Lúc này, góc tạo bởi phương thẳng đứng với đường thẳng đi qua tàu và vị trí quan sát là $60^{\circ}$ . Tính vận tốc trung bình của tàu trong 5 phút này (làm tròn đến hàng phần trăm của km/h).

Câu IV

3,0 điểm

Từ một điểm $A$ nằm ngoài đường tròn $(O)$ , kẻ các tiếp tuyến $AB, AC$ với đường tròn $(O)$ ( $B, C$ là các tiếp điểm). $OA$ cắt $BC$ tại $H$ .

1)
Chứng minh $OA$ vuông góc với $BC$ .
2)
Đường thẳng qua $A$ , không đi qua $O$ , cắt đường tròn $(O)$ tại hai điểm $M, N$ ( $M$ nằm giữa $A$ và $N$ ). Gọi $K$ là trung điểm của $MN$ . $OK$ cắt $BC$ tại $I$ . Chứng minh $OB^2 = OH.OA = OK.OI$ và $IM$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ .
3)
Lấy điểm $D$ bất kì trên cung nhỏ $BC$ . Tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại $D$ cắt $AB, AC$ lần lượt tại $E, F$ . Xác định vị trí của điểm $D$ để diện tích tam giác $AEF$ lớn nhất.

Câu V

0,5 điểm

Từ một miếng tôn hình bán nguyệt có diện tích $\frac{\pi}{2} \mathrm{m}^2$ , cần cắt bỏ phần tôn với tổng diện tích bao nhiêu mét vuông để thu được phần còn lại có dạng hình chữ nhật với diện tích lớn nhất?

hình vẽ miếng tôn hình bán nguyệt với phần hình chữ nhật còn lại được tô đậm

HẾT