Đề khảo sát chất lượng Toán 9 tháng 12 năm 2024–2025 — Trường THCS Nghĩa Tân, Hà Nội

Thời gian: 90 phút
Số câu: 5 câu
Đáp án: Có đáp án

Câu I

2,0 điểm

Cho hai biểu thức $A = \frac{x + 1}{2\sqrt{x} + 1}$ và $B = \frac{2\sqrt{x} - 1}{2\sqrt{x} + 1} - \frac{\sqrt{x} - 2}{2\sqrt{x} - 1} - \frac{3}{4x - 1}$ với $x \ge 0; x \ne \frac{1}{4}$ .

1)
Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x = 9$ .
2)
Rút gọn biểu thức $B$ .
3)
Cho $P = \frac{B}{A}$ . Tìm tất cả các giá trị của $x$ để $P = \frac{2}{5}$ .

Câu II

3,5 điểm

1)
Hai người thợ thủ công cùng làm một công việc trong $6$ ngày thì hoàn thành. Sau khi làm chung trong $4$ ngày thì người thợ thứ nhất tạm nghỉ, người thợ thứ hai tiếp tục làm một mình trong $5$ ngày thì mới hoàn thành công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc trong bao lâu?
2)
Một bảo tàng có giá vé vào cửa là $30.000$ đồng/vé. Biết rằng bảo tàng có chương trình ưu đãi là nếu khách hàng mua một lần nhiều hơn $25$ vé thì từ vé thứ $26$ trở đi mỗi vé sẽ được giảm giá $20\%$ . Nhân dịp kết thúc học kì I, thầy Khánh dự định dùng $1.000.000$ đồng để mua vé tặng cho học sinh lớp mình, hãy tính số lượng vé tối đa mà thầy Khánh có thể mua được.

Câu III

1,0 điểm

Tháp Eiffel là một công trình kiến trúc bằng thép nằm trên công viên Champ-de-Mars, cạnh sông Seine, thủ đô Paris – Pháp. Vào một khoảng thời gian trong ngày, mặt trời chiếu qua đỉnh tháp tạo thành một vệt bóng dài $600m$ trên mặt đất. Biết chiều cao của tháp Eiffel là $325m$ , hãy tính góc $\alpha$ tạo bởi tia nắng mặt trời với mặt đất vào lúc đó (làm tròn kết quả đến độ).

Minh họa tháp Eiffel cao 325m với bóng trên mặt đất dài 600m và góc $\alpha$

Câu IV

3,0 điểm

Cho đường tròn $(O;R)$ và một điểm $M$ nằm bên ngoài đường tròn $(MO < 2R)$ . Từ điểm $M$ lần lượt kẻ hai tiếp tuyến $MA$ và $MB$ của đường tròn $(O)$ với $A$ và $B$ là hai tiếp điểm. Gọi $H$ là giao điểm của $OM$ và $AB$ . Đường thẳng $MO$ cắt đường tròn $(O)$ tại hai điểm $C$ và $D (MC < MD)$ .

1)
Chứng minh bốn điểm $M, A, O, B$ cùng thuộc một đường tròn.
2)
Chứng minh $H$ là trung điểm của $AB$ và $AB^{2} = 4.HC.HD$ .
3)
Gọi $N$ là trung điểm của đoạn thẳng $HD$ . Kẻ $HK$ vuông góc với $AN$ tại $K$ . Chứng minh $\frac{ND}{NK} = \frac{NA}{ND}$ và $\widehat{BKD} = 90^{\circ}$ .

Câu V

0,5 điểm

Cho hai số không âm $a, b$ thỏa mãn $a^{2} + b^{2} = 2$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P = \frac{a}{3 - a^{2}} + \frac{b}{3 - b^{2}}.

HẾT