Đề thi học kỳ 1 Toán 12 năm 2023 — Trường THPT Ngọc Tảo, Hà Nội

Câu 1

Cho một hình trụ có chiều cao bằng bán kính đáy và bằng $h$ . Biết thể tích khối trụ đó là $8\pi$ , tính $h$ .

A
$\displaystyle h = 2\sqrt{2}$
B
$\displaystyle h = \sqrt[3]{4}$
C
$\displaystyle h = 2$
D
$\displaystyle h = \sqrt[3]{32}$

Câu 2

Một người thợ thủ công làm mô hình đèn lồng bát diện đều, mỗi cạnh bát diện đều đó được làm từ các que tre có độ dài $8\,\text{cm}$ . Hỏi người đó cần ít nhất bao nhiêu mét que tre để làm $100$ chiếc đèn (giả sử mối nối giữa các que tre có độ dài không đáng kể)?

A
$\displaystyle 96\,\text{m}$
B
$\displaystyle 192\,\text{m}$
C
$\displaystyle 128\,\text{m}$
D
$\displaystyle 960\,\text{m}$

Câu 3

Cắt hình trụ $(T)$ bởi một mặt phẳng qua trục của nó, ta được thiết diện là một hình vuông cạnh bằng $5$ . Diện tích xung quanh của $(T)$ bằng

A
$\displaystyle 50\pi$
B
$\displaystyle \dfrac{25\pi}{4}$
C
$\displaystyle 25\pi$
D
$\displaystyle \dfrac{25\pi}{2}$

Câu 4

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau

Bảng biến thiên của hàm số f(x): f′(x) < 0 trên (−∞; −1); f′(x) = 0 tại x = −1; f′(x) > 0 trên (−1; 0); f′(x) = 0 tại x = 0; f′(x) < 0 trên (0; 1); f′(x) = 0 tại x = 1; f′(x) > 0 trên (1; +∞). Hàm số f nghịch biến trên (−∞; −1) và (0; 1), đồng biến trên (−1; 0) và (1; +∞), đạt cực tiểu tại x = −1 với f(−1) = −4, đạt cực đại tại x = 0 với f(0) = −3, đạt cực tiểu tại x = 1 với f(1) = −4.

Kết luận nào sau đây sai?

A
Đồ thị hàm số có điểm cực đại là $x = 0$
B
Hàm số có ba điểm cực trị
C
Hàm số đạt cực tiểu tại $x = -1$
D
Giá trị cực đại của hàm số bằng $-3$

Câu 5

Cho điểm $A$ nằm ngoài mặt cầu $(S)$ . Có bao nhiêu tiếp tuyến của mặt cầu $(S)$ đi qua điểm $A$ ?

A
$\displaystyle 2$
B
$\displaystyle 1$
C
Vô số
D
$\displaystyle 3$

Câu 6

Hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đạo hàm $f'(x) = x(x-1)(x^{2} - 2)$ . Hàm số $f(x)$ có bao nhiêu điểm cực trị?

A
$\displaystyle 1$
B
$\displaystyle 2$
C
$\displaystyle 3$
D
$\displaystyle 4$

Câu 7

Cho khối chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $2a$ , $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và $SA = a$ . Thể tích của khối chóp đã cho bằng

A
$\displaystyle 4a^{3}$
B
$\displaystyle \dfrac{4a^{3}}{3}$
C
$\displaystyle \dfrac{a^{3}}{3}$
D
$\displaystyle a^{3}$

Câu 8

Số nghiệm của phương trình $2^{2x^{2} - 7x + 5} = 1$ là

A
$\displaystyle 3$
B
$\displaystyle 1$
C
$\displaystyle 0$
D
$\displaystyle 2$

Câu 9

Một hình chóp có tất cả $2024$ cạnh. Hỏi hình chóp đó có bao nhiêu mặt?

A
$\displaystyle 1013$
B
$\displaystyle 2023$
C
$\displaystyle 2024$
D
$\displaystyle 1012$

Câu 10

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên:

Bảng biến thiên của hàm số y: y′ > 0 trên (−∞; −1); y′ = 0 tại x = −1; y′ < 0 trên (−1; 0); y′ = 0 tại x = 0; y′ > 0 trên (0; 1); y′ = 0 tại x = 1; y′ < 0 trên (1; +∞). Hàm số y đồng biến trên (−∞; −1) và (0; 1), nghịch biến trên (−1; 0) và (1; +∞), đạt cực đại tại x = −1 với y(−1) = 0, đạt cực tiểu tại x = 0 với y(0) = −5/2, đạt cực đại tại x = 1 với y(1) = 0.

Tìm số nghiệm của phương trình $3f(x)+4=0$ .

A
$\displaystyle 4$
B
$\displaystyle 3$
C
$\displaystyle 2$
D
$\displaystyle 0$

Câu 11

Cho hàm số $y=x^3-3x^2+2$ . Đồ thị của hàm số là hình nào dưới đây?

A
B
C
D

Câu 12

Công thức tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay có bán kính đáy $r$ và độ dài đường sinh $l$ là

A
$\displaystyle S_{xq}=\pi r l$
B
$\displaystyle S_{xq}=r l$
C
$\displaystyle S_{xq}=2\pi r l$
D
$\displaystyle S_{xq}=2r l$

Câu 13

Cho hàm số $y=\dfrac{1}{3}x^3-mx^2+3mx+1$ . Tìm điều kiện của $m$ để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ .

A
$\displaystyle m\in (-\infty;0)\cup (3;+\infty)$
B
$\displaystyle m\in (-3;0)$
C
$\displaystyle m\in [0;3]$
D
$\displaystyle m\in (-\infty;0]\cup [3;+\infty)$

Câu 14

Tìm nghiệm của phương trình $\log_9(x+1)=\dfrac{1}{2}$ .

A
$\displaystyle x=4$
B
$\displaystyle x=2$
C
$\displaystyle x=\dfrac{7}{2}$
D
$\displaystyle x=-4$

Câu 15

Cho khối chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $2a$ , $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ , $SA=a\sqrt{3}$ . Tính thể tích $V$ của khối chóp $S.ABC$ .

A
$\displaystyle V=\dfrac{a^3}{6}$
B
$\displaystyle V=a^3$
C
$\displaystyle V=\dfrac{a^3}{12}$
D
$\displaystyle V=\dfrac{a^3}{4}$

Câu 16

Cho số thực dương $a$ và hai số thực $m,n$ tùy ý. Khẳng định nào sau đây là sai?

A
$\displaystyle a^{n}\cdot a^{m}=a^{m+n}$
B
$\displaystyle (a^{m})^{n}=a^{m.n}$
C
$\displaystyle a^{n}:a^{m}=a^{m-n}$
D
$\displaystyle a^0=1$

Câu 17

Biết $\log_7 2=m$ , khi đó giá trị của $\log_{49}28$ được tính theo $m$ là

A
$\displaystyle \dfrac{1+m}{2}$
B
$\displaystyle \dfrac{1+2m}{2}$
C
$\displaystyle \dfrac{1+4m}{2}$
D
$\displaystyle \dfrac{m+4}{2}$

Câu 18

Bất phương trình $\log_2(7-2x)>\log_2(x+1)$ có tập nghiệm là

A
$\displaystyle (-\infty;2)$
B
$\displaystyle (-1;4)$
C
$\displaystyle (-1;2)$
D
$\displaystyle (2;+\infty)$

Câu 19

Cho số thực dương $a$ . Rút gọn biểu thức $A=\dfrac{\sqrt[3]{a^5}\cdot a^{\frac{7}{3}}}{a^4\cdot \sqrt[7]{a^{-2}}}$ ta được kết quả $A=a^{\frac{m}{n}}$ , trong đó $m,n\in \mathbb{N}^*$ và $\dfrac{m}{n}$ là phân số tối giản. Khẳng định nào sau đây đúng?

A
$\displaystyle 2m^2+n=15$
B
$\displaystyle m^2+n^2=43$
C
$\displaystyle m^2+n^2=25$
D
$\displaystyle 3m^2-2n=2$

Câu 20

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y=x^3-3x+2023-m$ cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt?

A
$\displaystyle 2024$
B
$\displaystyle 3$
C
$\displaystyle 2023$
D
$\displaystyle 4$

Câu 21

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB=a\sqrt{3}$ và $BC=2a$ . Tính thể tích khối tròn xoay khi quay tam giác $ABC$ quanh trục $AB$ .

A
$\displaystyle V=2\pi a^3$
B
$\displaystyle V=\dfrac{\pi a^3\sqrt{3}}{3}$
C
$\displaystyle V=\pi a^3\sqrt{3}$
D
$\displaystyle V=\dfrac{2\pi a^3}{3}$

Câu 22

Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\dfrac{2x+2}{x-1}$ là

A
$\displaystyle x=-2$
B
$\displaystyle x=2$
C
$\displaystyle x=1$
D
$\displaystyle x=-1$

Câu 23

Tìm tập xác định $D$ của hàm số $y=\left(5+4x-x^{2}\right)^{\sqrt{2023}}$ .

A
$\displaystyle D=\mathbb{R}\setminus\{-1;5\}$
B
$\displaystyle D=(-\infty;-1)\cup(5;+\infty)$
C
$\displaystyle D=(-1;5)$
D
$\displaystyle D=(1;5)$

Câu 24

Cho $a$ là số thực dương khác $4$ . Tính $I=\log_{\frac{a}{4}}\left(\dfrac{a^{3}}{64}\right)$ .

A
$\displaystyle I=3$
B
$\displaystyle I=-3$
C
$\displaystyle I=\dfrac{1}{3}$
D
$\displaystyle I=-\dfrac{1}{3}$

Câu 25

Gọi $M$ là giao điểm của đồ thị hàm số $y=\dfrac{x+1}{x-2}$ với trục hoành. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số trên tại điểm $M$ là

A
$\displaystyle 3y+x+1=0$
B
$\displaystyle 3y-x+1=0$
C
$\displaystyle 3y-x-1=0$
D
$\displaystyle 3y+x-1=0$

Câu 26

Tính đạo hàm của hàm số $y=2023^{x}$ .

A
$\displaystyle y'=\dfrac{2023^{x}}{\ln 2023}$
B
$\displaystyle y'=x\cdot 2023^{x-1}$
C
$\displaystyle y'=2023^{x}\ln 2023$
D
$\displaystyle y'=2023^{x}$

Câu 27

Trong các hình sau, hình nào không phải là hình đa diện?

A
Hình 3
B
Hình 2
C
Hình 4
D
Hình 1

Câu 28

Cho một khối lăng trụ có diện tích đáy bằng $3$ và chiều cao bằng $4$ . Thể tích của khối lăng trụ đó bằng

A
$\displaystyle 6$
B
$\displaystyle 12$
C
$\displaystyle 36$
D
$\displaystyle 4$

Câu 29

Cho hàm số $y=\dfrac{x+1}{x-3}$ . Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[1;2]$ là

A
$\displaystyle \max_{[1;2]}y=2$
B
$\displaystyle \max_{[1;2]}y=-1$
C
$\displaystyle \max_{[1;2]}y=3$
D
$\displaystyle \max_{[1;2]}y=-2$

Câu 30

Hàm số nào sau đây đồng biến trên $\mathbb{R}$ ?

A
$\displaystyle y=x^{4}+2022$
B
$\displaystyle y=\dfrac{2x-2023}{x+2024}$
C
$\displaystyle y=x^{3}-x^{2}-x$
D
$\displaystyle y=x^{3}-x^{2}+x$

Câu 31

Phương trình $\log_{2}^{2}x+3\log_{\frac{1}{2}}x+2=0$ có tổng tất cả các nghiệm là

A
$\displaystyle 8$
B
$\displaystyle 9$
C
$\displaystyle 5$
D
$\displaystyle 6$

Câu 32

Khối đa diện đều loại $\{3;4\}$ có số mặt là

A
$\displaystyle 6$
B
$\displaystyle 12$
C
$\displaystyle 8$
D
$\displaystyle 20$

Câu 33

Đồ thị hàm số $y=x^{3}+x^{2}-x+1$ và đường thẳng $y=-x+3$ có bao nhiêu điểm chung?

A
$\displaystyle 2$
B
$\displaystyle 1$
C
$\displaystyle 0$
D
$\displaystyle 3$

Câu 34

Đường cong trong hình vẽ bên dưới là đồ thị của hàm số nào sau đây?

A
$\displaystyle y = x^4 - 2x^2$
B
$\displaystyle y = -x^4 + x^2$
C
$\displaystyle y = x^3 - 2x^2 + 1$
D
$\displaystyle y = \dfrac{x-1}{2x}$

Câu 35

Tập nghiệm của bất phương trình $\log_3(x-1) > 1$ là

A
$\displaystyle (4;+\infty)$
B
$\displaystyle [1;4)$
C
$\displaystyle (1;4)$
D
$\displaystyle (-\infty;4]$

Câu 36

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ . Đồ thị hàm số $y = f'(x)$ như hình vẽ.

Số cực trị của hàm số $g(x) = f(x) - \dfrac{1}{2}x^2 - x + 2023$ là

A
$\displaystyle 3$
B
$\displaystyle 1$
C
$\displaystyle 0$
D
$\displaystyle 2$

Câu 37

Một nút chai thủy tinh là khối tròn xoay $(H)$ , một mặt phẳng chứa trục của $(H)$ cắt $(H)$ theo một thiết diện như trong hình vẽ bên dưới. Tính thể tích $V$ của $(H)$ .

A
$\displaystyle V = 13\pi \left(cm^3\right)$
B
$\displaystyle V = \dfrac{41\pi}{3} \left(cm^3\right)$
C
$\displaystyle V = 23\pi \left(cm^3\right)$
D
$\displaystyle V = 17\pi \left(cm^3\right)$

Câu 38

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ , cạnh bên hợp với đáy một góc $60^\circ$ . Gọi $M$ là điểm đối xứng với $C$ qua $D$ , $N$ là trung điểm của $SC$ . Mặt phẳng $(BMN)$ chia khối chóp $S.ABCD$ thành hai khối đa diện. Gọi $V_1$ là thể tích khối đa diện chứa điểm $S$ và $V_2$ là thể tích khối đa diện còn lại. Tính tỉ số $\dfrac{V_1}{V_2}$ .

A
$\displaystyle \dfrac{7}{5}$
B
$\displaystyle \dfrac{7}{6}$
C
$\displaystyle \dfrac{7}{4}$
D
$\displaystyle \dfrac{7}{3}$

Câu 39

Cho mặt cầu $(S)$ có bán kính $R$ không đổi. Xét hình nón $(N)$ bất kì nội tiếp mặt cầu $(S)$ (tham khảo hình vẽ).

Thể tích khối nón $(N)$ là $V_1$ ; thể tích phần còn lại là $V_2$ . Giá trị lớn nhất của $\frac{V_1}{V_2}$ bằng

A
$\displaystyle \frac{32}{76}$
B
$\displaystyle \frac{32}{81}$
C
$\displaystyle \frac{49}{81}$
D
$\displaystyle \frac{32}{49}$

Câu 40

Cho mặt cầu $(S)$ có diện tích $4\pi a^2 \left(cm^2\right)$ . Khi đó, thể tích khối cầu $(S)$ là

A
$\displaystyle \frac{16\pi a^3}{3} \left(cm^3\right)$
B
$\displaystyle \frac{4\pi a^3}{3} \left(cm^3\right)$
C
$\displaystyle \frac{\pi a^3}{3} \left(cm^3\right)$
D
$\frac{64\pi a^3}{3} \left(cm^3\right)

Câu 41

Cho các số thực không âm $x, y$ thỏa mãn $x \le 1, y \le 1$ và $\log_3\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)+(x+1)(y+1)-2=0$ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=x+y$ bằng

A
$\displaystyle 0$
B
$\displaystyle 2$
C
$\displaystyle 1$
D
$\displaystyle 2\sqrt{2}-2$

Câu 42

Một cái bể cá hình hộp chữ nhật được đặt nằm ngang, một mặt bên của bể rộng $10\text{dm}$ và cao $8\text{dm}$ , mực nước trong bể có độ cao $h$ . Khi ta nghiêng bể thì nước trong bể vừa đúng che phủ mặt bên nói trên và chỉ che phủ $\frac{3}{4}$ bề mặt đáy của bể (như hình bên). Hỏi khi ta đặt bể trở lại nằm ngang thì chiều cao $h$ của mực nước là bao nhiêu?

Bể cá đặt nằm ngang với mực nước cao $h$

Bể cá khi nghiêng che phủ $\frac{3}{4}$ đáy bể

A
$\displaystyle 3\text{dm}$
B
$\displaystyle 2,5\text{dm}$
C
$\displaystyle 3,5\text{dm}$
D
$\displaystyle 4\text{dm}$

Câu 43

Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt qua một khoảng cách là $300\text{km}$ . Vận tốc dòng nước là $4\text{km/h}$ . Giả sử vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là $v\text{km/h}$ thì năng lượng tiêu hao của cá trong $t$ giờ được cho bởi công thức $E(v)=cv^3t$ , trong đó $c$ là hằng số cho trước, $E$ tính bằng jun. Tìm vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên để năng lượng tiêu hao ít nhất.

A
$\displaystyle 6\text{km/h}$
B
$\displaystyle 8\text{km/h}$
C
$\displaystyle 9\text{km/h}$
D
$\displaystyle 5\text{km/h}$

Câu 44

Cho hình trụ $(H)$ có chiều cao bằng $2a$ và hai đáy là $(O)$ và $(O')$ . Trên đường tròn $(O)$ có hai điểm $A, B$ và trên đường tròn $(O')$ có hai điểm $C, D$ sao cho $ABCD$ là hình vuông và mặt phẳng $(ABCD)$ tạo với mặt đáy một góc $45^{\circ}$ . Tính thể tích khối trụ theo $a$ .

A
$\displaystyle 4\pi a^3$
B
$\displaystyle 6\pi a^3$
C
$\displaystyle 2\pi a^3$
D
$\displaystyle 8\pi a^3$

Câu 45

Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình $\left(2-\sqrt{3}\right)^{x^{2}}+m\left(2+\sqrt{3}\right)^{x^{2}}=1$ có nghiệm

A
$\displaystyle 0 \leq m \leq \dfrac{1}{4}$
B
$\displaystyle 0 \leq m < \dfrac{1}{4}$
C
$\displaystyle m=\dfrac{1}{4}$
D
$\displaystyle 0 \leq m < 1$

Câu 46

Cho hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ có bảng biến thiên như sau

Bảng biến thiên của hàm số y: y′ < 0 trên (−∞; −1/4); y′ = 0 tại x = −1/4; y′ > 0 trên (−1/4; 0); y′ = 0 tại x = 0; y′ < 0 trên (0; 2); y′ = 0 tại x = 2; y′ > 0 trên (2; +∞). Hàm số y nghịch biến trên (−∞; −1/4) và (0; 2), đồng biến trên (−1/4; 0) và (2; +∞), đạt cực tiểu tại x = −1/4 với y(−1/4) = −2, đạt cực đại tại x = 0 với y(0) = 2, đạt cực tiểu tại x = 2 với y(2) = −4.

Số nghiệm thuộc đoạn $\left[\dfrac{-\pi}{2}; \dfrac{5\pi}{2}\right]$ của phương trình $5f\left(\cos^{2}x-\cos x\right)=1$ là

A
$\displaystyle 11$
B
$\displaystyle 10$
C
$\displaystyle 9$
D
$\displaystyle 12$

Câu 47

Giả sử cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như sau

Bảng biến thiên của hàm số y: y′ < 0 trên (−∞; −1); y′ không xác định tại x = −1; y′ < 0 trên (−1; 0); y′ không xác định tại x = 0; y′ < 0 trên (0; 1); y′ = 0 tại x = 1; y′ > 0 trên (1; +∞). Hàm số y nghịch biến trên (−∞; −1), (−1; 0) và (0; 1), đồng biến trên (1; +∞), đạt cực tiểu tại x = 1 với y(1) = −1.

Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\dfrac{1}{2024f(x)-2023}$ là

A
$\displaystyle 6$
B
$\displaystyle 5$
C
$\displaystyle 3$
D
$\displaystyle 4$

Câu 48

Tập nghiệm của bất phương trình $\left(7+4\sqrt{3}\right)^{x}-3\left(2-\sqrt{3}\right)^{x}+2 \leq 0$ là

A
$\displaystyle (-\infty;0)$
B
$\displaystyle (0;+\infty)$
C
$\displaystyle (-\infty;0]$
D
$\displaystyle [0;+\infty)$

Câu 49

Gọi $M$ và $m$ là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)=\left(x^{2}-2\right)e^{2x}$ trên đoạn $[-1;2]$ . Giá trị $\dfrac{M}{m}$ bằng

A
$\displaystyle -2e^{2}$
B
$\displaystyle 2e^{6}$
C
$\displaystyle 2e^{2}$
D
$\displaystyle -2e^{6}$

Câu 50

Việt Nam là quốc gia nằm ở phía Đông bán đảo Đông Dương thuộc khu vực Đông Nam Á. Với dân số ước tính $93,7$ triệu dân vào đầu năm $2018$ , Việt Nam là quốc gia đông dân thứ $15$ trên thế giới và là quốc gia đông dân thứ $8$ của châu Á, tỉ lệ tăng dân số hàng năm là $1,33\%$ . Giả sử rằng tỉ lệ tăng dân số từ năm $2018$ đến năm $2030$ không thay đổi thì dân số nước ta đầu năm $2023$ khoảng bao nhiêu? (kết quả làm tròn tới hàng phần trăm)

A
$100,99$ triệu dân
B
$109,8$ triệu dân
C
$100,1$ triệu dân
D
$100,09$ triệu dân