Đề thi học kỳ 1 Toán 11 năm 2023 — Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai, Hà NộiMã đề 001

Thời gian: 90 phút
Số câu: 34 câu
Đáp án: Có đáp án

Phần A. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn6,0 điểm

Câu 1

Nghiệm của phương trình $\cos x = -\frac{1}{2}$ là

A
$\displaystyle x = \pm \frac{\pi}{6} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$
B
$\displaystyle x = \pm \frac{2\pi}{3} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}$
C
$\displaystyle x = \pm \frac{\pi}{6} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}$
D
$\displaystyle x = \pm \frac{\pi}{3} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}$

Câu 2

Tìm khẳng định sai.

A
$\displaystyle \sin(a - b) = \sin a \cdot \cos b - \sin b \cdot \cos a$
B
$\displaystyle \sin(a + b) = \sin a \cdot \cos b + \sin b \cdot \cos a$
C
$\displaystyle \cos(a - b) = \cos a \cdot \cos b - \sin a \cdot \sin b$
D
$\displaystyle \cos(a + b) = \cos a \cdot \cos b - \sin a \cdot \sin b$

Câu 3

Trong không gian, cho hai đường thẳng chéo nhau $a$ và $b$ . Có tất cả bao nhiêu mặt phẳng chứa $a$ và song song với $b$ ?

A
$\displaystyle 1$
B
$\displaystyle 2$
C
Vô số
D
$\displaystyle 0$

Câu 4

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là sai?

A
$\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^{k}} = 0, k$ là số nguyên dương
B
Nếu $\lim_{n \to +\infty} u_n = a$ , $\lim_{n \to +\infty} v_n = b$ thì $\lim_{n \to +\infty} \frac{u_n}{v_n} = \frac{a}{b}$
C
$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} n^{5} = +\infty$
D
Nếu $\lim_{n \to +\infty} u_n = a$ , $\lim_{n \to +\infty} v_n = +\infty$ thì $\lim_{n \to +\infty} \frac{u_n}{v_n} = 0$

Câu 5

Cho các giới hạn $\lim_{x \to x_0} f(x) = 2$ , $\lim_{x \to x_0} g(x) = -3$ . Tính $\lim_{x \to x_0} [3f(x) + 4g(x)]$ .

A
$\displaystyle -6$
B
$\displaystyle -12$
C
$\displaystyle -2$
D
$\displaystyle 18$

Câu 6

Tập xác định của hàm số $y = \frac{1}{\sin 2x}$ là

A
$\displaystyle \mathbb{R} \setminus \{k\pi; k \in \mathbb{Z}\}$
B
$\displaystyle \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{\pi}{2} + k\pi; k \in \mathbb{Z}\right\}$
C
$\displaystyle \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{k\pi}{2}; k \in \mathbb{Z}\right\}$
D
$\displaystyle \mathbb{R} \setminus \{k2\pi; k \in \mathbb{Z}\}$

Câu 7

Người ta tiến hành phỏng vấn 40 người về điện thoại Iphone 15 Pro-Max. Người điều tra yêu cầu cho điểm mẫu Iphone theo thang điểm là 100. Kết quả được trình bày trong bảng dưới.

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Nhóm} & [50;60) & [60;70) & [70;80) & [80;90) & [90;100) \\ \hline \text{Tần số} & 4 & 5 & 23 & 6 & 2 \\ \hline \end{array}

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên (làm tròn đến kết quả hàng đơn vị) là

A
$\displaystyle 74$
B
$\displaystyle 76$
C
$\displaystyle 75$
D
$\displaystyle 73$

Câu 8

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AC, BC$ . Trên đoạn $BD$ lấy điểm $P$ sao cho $BP = 3PD$ . Giao điểm của đường thẳng $CD$ và mặt phẳng $(MNP)$ là

A
điểm $S$ , với $S$ là giao điểm của $CD$ và $MP$
B
điểm $S$ , với $S$ là giao điểm của $CD$ và $MN$
C
điểm $S$ , với $S$ là giao điểm của $CD$ và $MC$
D
điểm $S$ , với $S$ là giao điểm của $CD$ và $NP$

Câu 9

Cho hình lăng trụ có đáy là hình lục giác. Có bao nhiêu mặt của hình lăng trụ là hình bình hành?

A
$5$ mặt
B
$7$ mặt
C
$6$ mặt
D
$8$ mặt

Câu 10

Giới hạn $\lim_{n \to +\infty} \frac{2n^2 - 3n + 1}{n + 1}$ bằng

A
$\displaystyle -3$
B
$\displaystyle -\infty$
C
$\displaystyle 3$
D
$\displaystyle +\infty$

Câu 11

Giá trị $\lim_{x \to 1^-} \frac{3x + 1}{-1 + x}$ bằng

A
$\displaystyle 2$
B
$\displaystyle -\infty$
C
$\displaystyle +\infty$
D
$\displaystyle -2$

Câu 12

Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ , gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $SC$ . Trong các khẳng định sau, khẳng định đúng là

A
$\displaystyle MN \parallel (SAB)$
B
$\displaystyle MN \parallel (SCD)$
C
$\displaystyle MN \parallel (SBC)$
D
$\displaystyle MN \parallel (ABCD)$

Câu 13

Một cấp số cộng có 15 số hạng, biết tổng các số hạng của cấp số cộng bằng 225, số hạng cuối bằng 29. Tìm số hạng đầu $u_1$ của cấp số cộng đó.

A
$\displaystyle u_1 = 5$
B
$\displaystyle u_1 = 3$
C
$\displaystyle u_1 = 1$
D
$\displaystyle u_1 = 2$

Câu 14

Giá trị $\lim_{x \to -\infty} \frac{2x + 3}{\sqrt{5x^2 - 4x + 2} + x}$ bằng

A
$\displaystyle 0$
B
$\displaystyle \frac{-2}{\sqrt{5} - 1}$
C
$\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}$
D
$\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5} + 1}$

Câu 15

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $I, J, E, F$ lần lượt là trung điểm $SA, SB, SC, SD$ . Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào không song song với $IJ$ ?

A
$\displaystyle EF$
B
$\displaystyle CD$
C
$\displaystyle AD$
D
$\displaystyle AB$

Câu 16

Cho $\cos \alpha = \frac{3}{4}$ với $\alpha \in \left(\frac{3\pi}{2}; 2\pi\right)$ . Khẳng định nào sau đây là sai?

A
$\displaystyle \tan 2\alpha = -3\sqrt{7}$
B
$\displaystyle \cot 2\alpha = -\frac{\sqrt{7}}{21}$
C
$\displaystyle \cos 2\alpha = \frac{1}{8}$
D
$\displaystyle \sin 2\alpha = \frac{3\sqrt{7}}{8}$

Câu 17

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A
Nếu mặt phẳng $(P)$ song song với mặt phẳng $(Q)$ thì $(P)$ song song với mọi đường thẳng nằm trong $(Q)$
B
Nếu mặt phẳng $(P)$ song song với mặt phẳng $(Q)$ thì mọi đường thẳng nằm trong $(P)$ đều song song với mọi đường thẳng nằm trong $(Q)$
C
Nếu mặt phẳng $(P)$ và mặt phẳng $(Q)$ cùng song song với mặt phẳng $(R)$ thì mặt phẳng $(P)$ và mặt phẳng $(Q)$ song song với nhau
D
Nếu mặt phẳng $(P)$ song song với mặt phẳng $(Q)$ và đường thẳng $a$ song song với mặt phẳng $(Q)$ thì đường thẳng $a$ song song với mặt phẳng $(P)$

Câu 18

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ . Gọi $M, N, I$ theo thứ tự là trung điểm của $SA, SD$ và $AB$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A
$\displaystyle (NOM) \parallel (OPM)$
B
$\displaystyle (PON) \parallel (SAC)$
C
$\displaystyle (MON) \parallel (SBC)$
D
$\displaystyle (NMP) \parallel (SBD)$

Câu 19

Biết $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{7x + 1} - 1}{x} = \frac{a}{b}$ , trong đó $a, b$ là các số nguyên dương và phân số $\frac{a}{b}$ tối giản. Tính giá trị của biểu thức $P = ab$ .

A
$\displaystyle \frac{7}{3}$
B
$\displaystyle \frac{3}{7}$
C
$\displaystyle 21$
D
$\displaystyle 10$

Câu 20

Cho cấp số nhân $(u_n)$ có $u_1 = -3$ và $q = \frac{2}{3}$ . Số $-\frac{32}{81}$ là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số nhân?

A
Số hạng thứ 7
B
Số hạng thứ 8
C
Số hạng thứ 5
D
Số hạng thứ 6

Câu 21

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ . Giao tuyến của $(SAC)$ và $(SBD)$ là

A
$\displaystyle SA$
B
$\displaystyle SC$
C
$\displaystyle SO$
D
$\displaystyle SB$

Câu 22

Doanh thu bán hàng trong 20 ngày được lựa chọn ngẫu nhiên của một cửa hàng được ghi lại ở bảng sau (đơn vị: triệu đồng):

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Doanh thu} & [5;7) & [7;9) & [9;11) & [11;13) & [13;15) \\ \hline \text{Số ngày} & 2 & 7 & 7 & 3 & 1 \\ \hline \end{array}

Số trung bình của mẫu số liệu trên thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

A
$\displaystyle [9;11)$
B
$\displaystyle [11;13)$
C
$\displaystyle [7;9)$
D
$\displaystyle [13;15)$

Câu 23

Cho dãy số $(u_n)$ có $\begin{cases} u_1 = 2 \\ u_{n+1} = 2u_n - 3 \end{cases}, \forall n \in \mathbb{N}^*$

. Tính $u_6$ .

A
$\displaystyle u_6 = 7$
B
$\displaystyle u_6 = -13$
C
$\displaystyle u_6 = -61$
D
$\displaystyle u_6 = -29$

Câu 24

Giả sử $\lim_{x \to 1} \frac{2x - 2}{x^2 + 7x - 8} = \frac{a}{b^2}$ , (với $\frac{a}{b^2}$ là phân số tối giản và $b$ là số nguyên dương). Tính giá trị $2a + 3b$ .

A
$\displaystyle \frac{2}{9}$
B
$\displaystyle 7$
C
$\displaystyle 11$
D
$\displaystyle 13$

Câu 25

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm $BC$ và $CD$ . Gọi $d$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(AMN)$ và $(ABD)$ (tham khảo hình vẽ). Khẳng định nào sau đây đúng?

Hình tứ diện ABCD với các điểm M, N trên BC, CD

A
$d$ đi qua $A$ và song song với $NB$
B
$d$ đi qua $A$ và song song với $MD$
C
$d$ đi qua $A$ và song song với $BD$
D
$d$ đi qua $A$ và song song với $BC$

Câu 26

Trong các dãy số $(u_n)$ cho bởi công thức số hạng tổng quát $u_n$ , dãy số nào là dãy số tăng?

A
$\displaystyle u_n = \frac{1}{2^n}$
B
$\displaystyle u_n = \frac{2n - 1}{n + 1}$
C
$\displaystyle u_n = \frac{n + 5}{3n + 1}$
D
$\displaystyle u_n = \frac{1}{n}$

Câu 27

Các số hạng được viết trong các ô vuông tạo thành một cấp số nhân từ trên xuống dưới và một cấp số cộng từ trái sang phải (tham khảo hình vẽ). Số $x$ được viết trong hình vuông dưới đây là bao nhiêu?

Hình chữ thập gồm các ô vuông chứa các số 5, 3, 87 và x

A
$\displaystyle 243$
B
$\displaystyle 768$
C
$\displaystyle 405$
D
$\displaystyle 45$

Câu 28

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $I, J$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $SAB$ và $SAD$ , $P$ là trung điểm của $BC$ (tham khảo hình vẽ bên). Gọi $E$ là giao điểm của $SA$ và $(IJP)$ . Tính tỉ số $\frac{SE}{SA}$ .

Hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành với các điểm I, J, P

A
$\displaystyle \frac{SE}{SA} = \frac{3}{5}$
B
$\displaystyle \frac{SE}{SA} = \frac{2}{3}$
C
$\displaystyle \frac{SE}{SA} = \frac{4}{7}$
D
$\displaystyle \frac{SE}{SA} = \frac{5}{8}$

Câu 29

Cho các số thực $a, b, c$ thỏa mãn $a + c^2 = 18$ và $\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{ax^2 + bx} - cx\right) = -4$ . Tính $P = a^2 + b^2 + c^2$ .

A
$\displaystyle P = 777$
B
$\displaystyle P = 555$
C
$\displaystyle P = 666$
D
$\displaystyle P = 888$

Câu 30

Cho dãy số $(u_n)$ thỏa mãn $\begin{cases} u_1 = 9 \\ u_{n+1} = 3u_n + 2\cdot 5^n - 4, \forall n \in \mathbb{N}^* \end{cases}$

. Tính giới hạn $\lim_{n \to +\infty} \dfrac{u_n}{3\cdot 4^n + 4\cdot 5^n}$ .

A
$\displaystyle 0$
B
$\displaystyle \dfrac{2}{3}$
C
$\displaystyle \dfrac{1}{4}$
D
$\displaystyle +\infty$

Phần B. Tự luận4,0 điểm

Câu 1

1,0 điểm

Tính các giới hạn sau:

1)
$\lim_{x \to 1} \dfrac{-2x^2 + 5x - 3}{x^2 - 4x + 3}$ .
2)
$\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2 - x + 1} - x\right)$ .

Câu 2

1,0 điểm

Cho hàm số $f(x) = \begin{cases} \dfrac{\sqrt{x+2} - 2}{x^2 - 2x} & \text{nếu } x > 2 \\ mx + 1 & \text{nếu } x \le 2 \end{cases}$

. Tìm $m$ để hàm số có giới hạn tại $x_0 = 2$ .

Câu 3

1,5 điểm

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang với $AD \parallel BC$ và $AD = 2BC$ . Gọi $N$ là trung điểm của $SA$ ; $G, I$ lần lượt là trọng tâm của $\triangle SAB$ và $\triangle ABD$ .

1)
Chứng minh rằng $GI \parallel (SBD)$ và $(BGI) \parallel (SCD)$ .
2)
Tìm giao điểm $F$ của $DN$ và mặt phẳng $(SBC)$ .

Câu 4

0,5 điểm

Vườn bưởi Diễn nhà bà Hiền đang vào mùa thu hoạch, các thương lái tấp nập đến mua bưởi. Biết rằng bà Hiền đã bán cho người thứ nhất nửa số bưởi thu hoạch được và tặng thêm $1$ quả, bán cho người thứ hai nửa số bưởi còn lại và tặng thêm $1$ quả. Bà Hiền cứ tiếp tục cách bán như trên thì đến người thứ $15$ số bưởi của bà được bán hết. Tính số bưởi mà bà Hiền thu hoạch được.

HẾT