Đề thi giao lưu học sinh giỏi Toán 7 năm 2025 — Cụm chuyên môn số 1, Phòng GD&ĐT Nga Sơn, Thanh Hóa

Câu 1

4,0 điểm

1)
Thực hiện phép tính:
1. a)
  $\frac{2^{12}.3^5-4^6.9^2}{(2^2.3)^6+8^4.3^5}-\frac{5^{10}.7^3-25^5.49^2}{(125.7)^3+5^9.14^3}$ .
2. b)
  $\left(1+\frac{7}{9}\right)\left(1+\frac{7}{20}\right)\left(1+\frac{7}{33}\right)\cdots\left(1+\frac{7}{2.900}\right)$
2)
Cho $a,b,c>0$ và dãy tỉ số: $\frac{2b+c-a}{a}=\frac{2c-b+a}{b}=\frac{2a+b-c}{c}$ . Tính: $P=\frac{(3a-2b)(3b-2c)(3c-2a)}{(3a-c)(3b-a)(3c-b)}$

Câu 2

4,0 điểm

1)
Tìm $x$ biết: $|x-2|-|2x+3|-x=-2$
2)
Viết ngẫu nhiên một số tự nhiên có hai chữ số lớn hơn 40. Tìm số phần tử của tập hợp $M$ gồm các kết quả có thể xảy ra đối với số tự nhiên được viết ra. Sau đó, hãy tính xác suất của mỗi biến cố sau:
1. a)
  Số tự nhiên được viết ra có tổng các chữ số hàng chục và hàng đơn vị bằng 9.
2. b)
  Số tự nhiên được viết ra là tổng của hai số tự nhiên liên tiếp.

Câu 3

4,0 điểm

a)
Chứng minh rằng nếu $p$ là tích của $n$ số nguyên tố đầu tiên thì $p-1$ và $p+1$ không thể là các số chính phương
b)
Tìm tất cả các cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn: $2xy+6x^2-y-3x=7$

Câu 4

1,5 điểm

Một ngôi nhà có các kích thước như hình vẽ. Tính thể tích phần không gian được giới hạn bởi ngôi nhà.

hình vẽ ngôi nhà với các kích thước 15 m, 15 m, 20 m và 8 m

Câu 5

5,0 điểm

Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A$ ( $AB<AC$ ). Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$ , lấy điểm $D$ thuộc tia đối của tia $MA$ sao cho $MD=MA$ . Kẻ $BI$ vuông góc với $AD$ tại $I$ , $CK$ vuông góc với $AD$ tại $K$ .

a)
Chứng minh rằng $BI=CK$ .
b)
Kẻ $AH$ vuông góc với $BC$ tại $H$ , $MN$ vuông góc với $BD$ tại $N$ . Chứng minh rằng các đường thẳng $CK, AH, MN$ đồng quy.
c)
Chứng minh rằng $BC - AB > AC - AH$ .

Câu 6

1,5 điểm

Chứng minh rằng trong 27 số tự nhiên tùy ý luôn tồn tại hai số sao cho tổng hoặc hiệu của chúng chia hết cho 50.