Đề thi giao lưu học sinh giỏi Toán 7 lần 2 năm 2024 — Cụm chuyên môn số 6, Phòng GD&ĐT Nga Sơn, Thanh Hóa

Câu 1

4,0 điểm

1)
Thực hiện phép tính (hợp lí nếu có thể):
1. a)
  $\dfrac{3}{5} : \left(\dfrac{-1}{15} - \dfrac{1}{6}\right) + \dfrac{3}{5} : \left(\dfrac{-1}{3} - 1\dfrac{1}{15}\right);$
2. b)
  $\sqrt{\dfrac{4}{25}} \cdot \left(\dfrac{-1}{25}\right)^{0} + \left|\dfrac{9}{10}\right| \cdot 0,(6) - \left(\dfrac{1}{-2^{2}}\right) : \dfrac{8^{2}}{4^{4}}$
3. c)
  $\dfrac{1}{3} + \dfrac{3}{7} + \dfrac{1}{7.2} + \dfrac{5}{2.13} + \dfrac{3}{13.4} + \dfrac{5}{4.21}.$
2)
Cho $a,b,c$ thỏa mãn $\dfrac{b-c}{(a-b)(a-c)} + \dfrac{c-a}{(b-a)(b-c)} + \dfrac{a-b}{(c-a)(c-b)} = 2024$

Tính giá trị biểu thức $Q = \dfrac{1}{a-b} + \dfrac{1}{b-c} + \dfrac{1}{c-a}$

Câu 2

4,0 điểm

a)
Tìm x, y, z biết $(2x - y + z)^{2024} + |y^{2} - z| + (z - 4)^{2022} = 0$
b)
Tìm tất cả các cặp số nguyên $(x; y)$ thỏa mãn: $x + y - 2xy = 4$
c)
Tìm tất cả các số nguyên tố x, y thỏa mãn: $3x^{2} + 1 = 19y^{2}$

Câu 3

4,0 điểm

a)
Cho dãy tỉ số bằng nhau: $\dfrac{2bz - 3cy}{a} = \dfrac{3cx - az}{2b} = \dfrac{ay - 2bx}{3c}$ Chứng minh: $\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{2b} = \dfrac{z}{3c}.$
b)
Bác An chia một khu đất thành 3 mảnh hình chữ nhật có diện tích bằng nhau cho ba người con trai. Biết rằng chiều rộng của các mảnh đất lần lượt là 6m, 8m, 10m. Tổng chiều dài các mảnh đất là 47m. Tính diện tích khu đất đó.

Câu 4

6,0 điểm

Cho tam giác $ABC$ nhọn, kẻ BE vuông góc với AC tại E $(E \in AC)$ , kẻ CF vuông góc với AB tại F $(F \in AB)$ . Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ . Trên tia đối của tia $MF$ lấy điểm $D$ sao cho $MF = MD$ .

a)
Chứng minh $CD = BF$ và $CD // BF$ .
b)
Lấy điểm P bất kì nằm giữa $B$ và $F$ , trên tia đối của tia $MP$ lấy điểm $Q$ sao cho $MP = MQ$ . Chứng minh $D, Q, C$ thẳng hàng.
c)
Trên tia đối của tia $EF$ lấy điểm $K$ , trên tia đối của tia $FE$ lấy điểm $I$ sao cho $EK = FI$ . Chứng minh tam giác $MIK$ cân.

Câu 5

2,0 điểm

a)
Cho $P = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} + \dots + \dfrac{1}{4.034}$ và $Q = 1 + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{7} + \dots + \dfrac{1}{4.033}$

Chứng tỏ rằng: $\dfrac{P}{Q} < 1\dfrac{2017}{2018}$
b)
Cho ba số chính phương x, y, z. Chứng minh rằng $A = (x - y)(y - z)(z - x) \vdots 12$