Đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi Toán 7 năm 2025–2026 — Cụm các trường THCS số 34, Ninh Bình

Câu 1

4,0 điểm

1)
Tính giá trị của các biểu thức sau:
1. a)
  $A = \left(\dfrac{-16}{23} + \dfrac{7}{15}\right) : \dfrac{2025}{2026} + \left(\dfrac{-7}{23} + \dfrac{8}{15}\right) : \dfrac{2025}{2026}$ .
2. b)
  $B = \dfrac{(-27)^4 \cdot 5^8 + (-3)^9 \cdot 125^3}{3^{10} \cdot 25^4 + 6 \cdot 15^9} + \sqrt{(-3)^2} + \dfrac{3}{2} \cdot \left|\dfrac{-1}{3}\right|$ .
2)
Cho biểu thức $C = -\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3^2} - \dfrac{1}{3^3} + \dfrac{1}{3^4} - \dfrac{1}{3^5} + \ldots + \dfrac{1}{3^{100}}$ .

Tính giá trị của biểu thức $D = 4|C| + \dfrac{1}{3^{100}}$ .

Câu 2

4,0 điểm

1)
Cho đa thức bậc hai $P(x) = ax^2 + bx + c$ ( $x$ là ẩn; $a, b, c$ là hệ số).
1. a)
  Tìm đa thức $P(x)$ biết rằng $P(0) = 3; P(-1) = 2; P(1) = 6$ .
2. b)
  Cho đa thức $Q(x) = -4x^3 + 1$ . Tìm đa thức $R(x)$ , biết rằng: $P(x) \cdot Q(x) - R(x) = -8x^4 - 24x^3 + x^2 + 3$ với mọi $x$ .
2)
Ba thửa ruộng hình chữ nhật $A, B, C$ có cùng diện tích. Chiều rộng của các thửa ruộng $A, B, C$ lần lượt tỉ lệ nghịch với $3, 5$ và $6$ . Biết rằng chiều dài của thửa ruộng $A$ kém chiều dài của thửa ruộng $C$ là $18$ m. Tính chiều dài của mỗi thửa ruộng.

Câu 3

4,0 điểm

1)
Tìm số hữu tỉ $x \ge 0$ để biểu thức $K = \dfrac{\sqrt{x} + 10}{\sqrt{x} + 3}$ nhận giá trị nguyên.
2)
Cho $3$ số tự nhiên $a, b$ và $c$ đều khác $0$ thỏa mãn đẳng thức $a^2 + b^2 + 2025c^2 \vdots 2$ . Chứng minh rằng số $a + b + c$ là một hợp số.
3)
Tìm các cặp số nguyên $(x; y)$ thỏa mãn: $\dfrac{6}{(x-1)^4 + 2} = |y-1| + |y-2| + |y-3| + 1$ .

Câu 4

6,0 điểm

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ . Gọi $D, E$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC$ và $CA$ . Trên tia đối của tia $DA$ lấy điểm $F$ sao cho $DA = DF$ . Đoạn thẳng $EF$ cắt $BC$ tại $K$ .

1)
Chứng minh $AC = BF$ và $BF \perp AB$ .
2)
Chứng minh rằng $BK = 2KC$ .
3)
Chứng minh rằng $DE$ là đường trung trực của đoạn thẳng $BF$ .
4)
Giả sử $AB = AC$ . Qua điểm $C$ , kẻ đường thẳng vuông góc với $AK$ và cắt $AK$ tại $G$ . Tính số đo góc $DGC$ .

Câu 5

2,0 điểm

1)
Cho 2026 số nguyên dương $a_1, a_2, a_3, ..., a_{2026}$ thỏa mãn:
$\frac{1}{a_1^2} + \frac{1}{a_2^2} + \frac{1}{a_3^2} + ... + \frac{1}{a_{2026}^2} = \frac{4.051}{2026}$
Chứng minh rằng trong 2026 số đã cho tồn tại ít nhất 2 số bằng nhau.
2)
Cho các số thực $x, y, z$ thỏa mãn $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{x + y + z}$

Tính giá trị biểu thức: $P = \frac{1}{x^n + y^n + z^n} - \left(\frac{1}{x^n} + \frac{1}{y^n} + \frac{1}{z^n}\right) + 2025$ , với $n$ là một số tự nhiên lẻ.