Đề thi giao lưu học sinh giỏi Toán 12 năm 2024 — Cụm trường THPT Nông Cống, Thanh HóaMã đề 686

Thời gian: 90 phút
Số câu: 32 câu
Đáp án: Có đáp án

Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn — 20 câu

Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai — 6 câu

Phần III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn — 6 câu

Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Câu 1

Gọi $S$ là tập hợp các giá trị nguyên của tham số $m$ để tồn tại đúng hai cặp số $(x; y)$ thỏa mãn các điều kiện $\log_3(3x+3)+x=2y+9^y$ và $y=\log_3\left(\dfrac{x+13-m}{2m}\right)$ . Tổng các phần tử của tập $S$ bằng

A
$\displaystyle 48$
B
$\displaystyle 20$
C
$\displaystyle 60$
D
$\displaystyle 24$

Câu 2

Trong không gian $Oxyz$ , cho vectơ $\overrightarrow{OA}=2\vec{i}+3\vec{k}$ , khi đó tọa độ hình chiếu của $A$ lên $(Oxy)$

A
$\displaystyle H(2;0;-3)$
B
$\displaystyle H(0;-3;0)$
C
$\displaystyle H(2;0;0)$
D
$\displaystyle H(2;1;-3)$

Câu 3

Biết $\lim_{x\to -\infty}\dfrac{ax-\sqrt{4x^2-x+1}}{a^2x-1}=\dfrac{2}{3}$ với $a=\dfrac{m+\sqrt{57}}{n}>0$ và $m;n$ là số nguyên dương. Khi đó giá trị của biểu thức $S=m^2+n^2$ là

A
$\displaystyle 21$
B
$\displaystyle 25$
C
$\displaystyle 41$
D
$\displaystyle 16$

Câu 4

Cho ba số $a+\log_2 3$ , $a+\log_4 3$ , $a+\log_8 3$ theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Công bội của cấp số nhân đó bằng

A
$\displaystyle \dfrac{1}{2}$
B
$\displaystyle \dfrac{1}{4}$
C
$\displaystyle \dfrac{1}{3}$
D
$\displaystyle 1$

Câu 5

Tìm tập giá trị của hàm số $y=\sqrt{3}\sin x - \cos x - 2$ .

A
$\displaystyle [-2;\sqrt{3}]$
B
$\displaystyle [-4;0]$
C
$\displaystyle [-\sqrt{3}-3;\sqrt{3}-1]$
D
$\displaystyle [-2;0]$

Câu 6

Trong không gian $Oxyz$ , cho $A(1;-1;2)$ , $B(-2;0;3)$ , $C(0;1;-2)$ . Gọi $M(a;b;c)$ là điểm thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho biểu thức $S=\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC}+3\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó $T=24a+24b+2024c$ có giá trị là

A
$\displaystyle T=4$
B
$\displaystyle T=2$
C
$\displaystyle T=-4$
D
$\displaystyle T=-2$

Câu 7

Biểu đồ sau biểu diễn chiều cao của một nhóm học sinh nữ lớp 12.

Biểu đồ chiều cao của học sinh nữ lớp 12

Từ biểu đồ trên ta tính được độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gần nhất với giá trị nào sau đây?

A
$\displaystyle 18,14$
B
$\displaystyle 4,26$
C
$\displaystyle 16,02$
D
$\displaystyle 2,07$

Câu 8

Cho tứ diện $ABCD$ , lấy các điểm $M$ , $N$ lần lượt thuộc cạnh $BC$ , $AD$ sao cho $2BM = 3MC$ , $2AN = 3ND$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A
$\displaystyle \overrightarrow{MN} = \dfrac{3}{5}\overrightarrow{AB} + \dfrac{2}{5}\overrightarrow{CD}$
B
$\displaystyle \overrightarrow{MN} = -\dfrac{3}{5}\overrightarrow{AB} + \dfrac{2}{5}\overrightarrow{CD}$
C
$\displaystyle \overrightarrow{MN} = \dfrac{2}{5}\overrightarrow{AB} + \dfrac{3}{5}\overrightarrow{CD}$
D
$\displaystyle \overrightarrow{MN} = -\dfrac{2}{5}\overrightarrow{AB} + \dfrac{3}{5}\overrightarrow{CD}$

Câu 9

Cho hai đường thẳng song song $d_1, d_2$ . Trên đường thẳng $d_1$ lấy 12 điểm phân biệt, trên $d_2$ lấy 18 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà đỉnh của nó được chọn từ 30 điểm nói trên?

A
$\displaystyle 3.024$
B
$\displaystyle 2.576$
C
$\displaystyle 3.026$
D
$\displaystyle 3.020$

Câu 10

Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A_1B_1C_1$ . Đặt $\overrightarrow{AA_1} = \vec{a}, \overrightarrow{AB} = \vec{b}, \overrightarrow{AC} = \vec{c}, \overrightarrow{BC} = \vec{d}$ , trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?

A
$\displaystyle \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d} = \vec{0}$
B
$\displaystyle \vec{b} - \vec{c} + \vec{d} = \vec{0}$
C
$\displaystyle \vec{a} = \vec{b} + \vec{c}$
D
$\displaystyle \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{d}$

Câu 11

Cho đồ thị trong hình vẽ bên là của một hàm số được liệt kê ở bốn phương án $A, B, C, D$ . Hàm số đó là hàm số nào?

A
$\displaystyle y = -x^3 - 3x + 2$
B
$\displaystyle y = -x^3 + 3x^2 + 2$
C
$\displaystyle y = -x^3 - 3x^2 + 2$
D
$\displaystyle y = x^3 - 3x^2 + 2$

Câu 12

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ , biết: $\overrightarrow{AN} = -4\overrightarrow{AB} + k\overrightarrow{AA'} - 2\overrightarrow{AD}$ $(k \in \mathbb{Z})$ ; $\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA'} - 3\overrightarrow{AD}$ . Giá trị $k$ thích hợp để $\overrightarrow{AN} \perp \overrightarrow{AM}$ là:

A
$\displaystyle \dfrac{1}{4}$
B
$\displaystyle 2$
C
$\displaystyle 3$
D
$\displaystyle \dfrac{7}{4}$

Câu 13

Gọi $S$ là tập hợp các giá trị nguyên $m$ để đồ thị hàm số $y = \dfrac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x^2 - 6x + 2m}}$ có hai đường tiệm cận đứng. Số phần tử của $S$ là

A
vô số
B
$\displaystyle 9$
C
$\displaystyle 8$
D
$\displaystyle 10$

Câu 14

Người ta trồng 810 cây trong một khu vườn hình thang như sau: hàng thứ nhất có 5 cây, hàng thứ hai có 6 cây, hàng thứ ba có 7 cây,... Số hàng cây trong khu vườn là

A
$\displaystyle 35$
B
$\displaystyle 37$
C
$\displaystyle 34$
D
$\displaystyle 36$

Câu 15

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ , cạnh $BC = a\sqrt{6}$ . Góc giữa mặt phẳng $(AB'C)$ và mặt phẳng $(BCC'B')$ bằng $60^{\circ}$ . Tính thể tích $V$ của khối đa diện $AB'CA'$ .

A
$\displaystyle \dfrac{3a^3\sqrt{3}}{2}$
B
$\displaystyle \dfrac{a^3\sqrt{3}}{2}$
C
$\displaystyle a^3\sqrt{3}$
D
$\displaystyle \dfrac{a^3\sqrt{3}}{3}$

Câu 16

Cho tập hợp $A = \{1; 2; 3; 4; ...; 99\}$ . Gọi $S$ là tập hợp gồm tất cả các tập con của $A$ , mỗi tập con này gồm 3 phần tử của $A$ và có tổng bằng $91$ . Chọn ngẫu nhiên một phần tử của $S$ . Xác suất chọn được phần tử có 3 số lập thành cấp số nhân bằng?

A
$\displaystyle \dfrac{3}{645}$
B
$\displaystyle \dfrac{4}{645}$
C
$\displaystyle \dfrac{1}{1290}$
D
$\displaystyle \dfrac{2}{645}$

Câu 17

Gọi $m$ , $M$ lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số $f(x)=\frac{1}{2}x-\sqrt{x+1}$ trên đoạn $[0;8]$ . Tính tổng $S=2m+4M$ .

A
$\displaystyle -3$
B
$\displaystyle S=-\frac{7}{2}$
C
$\displaystyle S=-\frac{3}{2}$
D
$\displaystyle S=2$

Câu 18

Số nghiệm của phương trình $\frac{\sin 2x}{\cos x -1}=0$ trên đoạn $[0;2024\pi]$ là

A
$\displaystyle 2024$
B
$\displaystyle 1013$
C
$\displaystyle 4.029$
D
$\displaystyle 3.036$

Câu 19

Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , cho $A(2;0;0)$ , $B(0;2;0)$ , $C(0;0;2)$ . Gọi $M$ là điểm trong không gian thỏa mãn: $\widehat{AMB}=\widehat{BMC}=\widehat{CMA}=90^{\circ}$ ( $M$ không trùng với các điểm $A,B,C$ và gốc O). Tính $x_{M}+2y_{M}+3z_{M}$

A
$\displaystyle 4$
B
$\displaystyle 0$
C
$\displaystyle 12$
D
$\displaystyle 3$

Câu 20

Một vườn thú ghi lại tuổi thọ (đơn vị: năm) của $20$ con nai và thu được kết quả như sau:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Tuổi thọ} & [14;15) & [15;16) & [16;17) & [17;18) & [18;19) \\ \hline \text{Số con nai} & 1 & 3 & 8 & 6 & 2 \\ \hline \end{array}

Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là

A
$\displaystyle [16;17)$
B
$\displaystyle [15;16)$
C
$\displaystyle [17;18)$
D
$\displaystyle [18;19)$

Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai

Câu 1

Giá đóng cửa của một cổ phiếu là giá của cổ phiếu đó cuối một phiên giao dịch. Bảng sau thống kê giá đóng cửa (đơn vị: nghìn đồng) của hai mã cổ phiếu $A$ và $B$ trong $50$ ngày giao dịch liên tiếp.

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Giá đóng cửa} & [120;122) & [122;124) & [124;126) & [126;128) & [128;130) \\ \hline \text{Cổ phiếu } A & 8 & 9 & 12 & 10 & 11 \\ \hline \text{Cổ phiếu } B & 16 & 4 & 3 & 6 & 21 \\ \hline \end{array}

Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a)
Xét mẫu số liệu của cổ phiếu $B$ ta có số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là $115,28$
b)
Người ta có thể dùng phương sai và độ lệch chuẩn để so sánh mức độ rủi ro của các loại cổ phiếu có giá trị trung bình gần bằng nhau. Cổ phiếu nào có phương sai, độ lệch chuẩn cao hơn thì được coi là có độ rủi ro lớn hơn. Theo quan điểm trên, thì cổ phiếu $A$ có độ rủi ro thấp hơn cổ phiếu $B$ .
c)
Xét mẫu số liệu của cổ phiếu $B$ ta có độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là $\sqrt{15,4096}$
d)
Xét mẫu số liệu của cổ phiếu $A$ ta có phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là $7,5216$

Câu 2

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có $A(0;0;0)$ , $B(3;0;0)$ , $D(0;3;0)$ , $D'(0;3;-3)$ .

a)
Tọa độ điểm $A'(0;0;3)$
b)
Độ dài $AC'=2\sqrt{3}$
c)
Tọa độ trọng tâm tam giác $A'B'C$ là $G(2;1;-2)$
d)
Gọi điểm $M \in (ABCD)$ sao cho $P=-4MA' + MB'^2 - MC'^2 + MD'^2 + 6.868$ nhỏ nhất. Giá trị nhỏ nhất của $P$ là $6.866$

Câu 3

Hàng ngày mực nước tại một cảng biển lên xuống theo thủy triều. Chiều cao $h(m)$ của mực nước theo thời gian $t$ (giờ) trong một ngày được cho bởi công thức $h=8+6\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right)$ với $0 \le t \le 24$ .

a)
Có 3 thời điểm trong 1 ngày mực nước tại bến cảng cao $11m$
b)
Có 2 thời điểm trong 1 ngày chiều cao của mực nước tại bến cảng là cao nhất
c)
Biết tàu chỉ vào được cảng khi mực nước trong cảng không thấp hơn $11m$ . Vậy thời gian tàu vào được cảng là từ 1 giờ đến 5 giờ.
d)
Chiều cao của mực nước tại bến cảng thấp nhất vào lúc 12 giờ

Câu 4

Cho $f(x)$ là hàm số bậc bốn thỏa mãn $f(0)=\frac{1}{10}$ . Hàm số $f'(x)$ có bảng biến thiên như sau.

\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x & -\infty & & -2 & & -1 & & +\infty \\ \hline f'(x) & +\infty & & & & \frac{7}{6} & & \\ & & \searrow & & \nearrow & & \searrow & \\ & & & 1 & & & & -\infty \\ \hline \end{array}

Xét tính đúng – sai của các mệnh đề sau?

a)
Hàm số $y=|f(x^3)+x|$ có 5 điểm cực trị?
b)
Phương trình $f(x^3)+x=0$ có 3 nghiệm phân biệt
c)
Hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên khoảng $(-2;-1)$
d)
Hàm số $y=|f(x)|$ có 3 điểm cực trị

Câu 5

Cho tứ diện $ABCD$ , tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ , $DA \perp (ABC)$ , $M$ là trung điểm $AC$ , $AC=a\sqrt{2}$ , góc giữa đường thẳng $CD$ với mặt phẳng $(BDM)$ bằng $\alpha$ biết $\cos \alpha = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ .

a)
Góc giữa $BD$ và mặt $(ACD)$ là góc $\widehat{BDA}$
b)
Góc nhị diện $[D,BM,C]$ là $\widehat{CMD}$
c)
Thể tích khối tứ diện $CBMD$ bằng $\frac{a^3}{12}$
d)
$(ABD) \perp (BCD)$

Câu 6

Một máy bay quân sự có 3 bộ phận A, B, C có tầm quan trọng khác nhau. Máy bay sẽ rơi khi có hoặc 1 viên đạn trúng vào A, hoặc 2 viên trúng vào B, hoặc 3 viên trúng vào C. Giả sử các bộ phận A, B, C lần lượt chiếm $15\%$ , $30\%$ và $55\%$ diện tích máy bay. Tính xác suất để máy bay rơi nếu:

a)
Xác suất để máy bay rơi khi máy bay bị trúng 3 viên đạn là $0,72775$
b)
Xác suất máy bay không rơi khi máy bay bị trúng 1 viên đạn là $0,45$
c)
Khi máy bay trúng 2 viên đạn thì xác suất để 1 viên trúng B và 1 viên trúng C là $0,85$
d)
Xác suất để máy bay rơi khi máy bay bị trúng 2 viên đạn là $0,3675$

Phần III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 1

Tổng các giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y=|x^5-5x^2+5(m-1)x-8|$ nghịch biến trên khoảng $(-\infty;1)$ ?

Trả lời:

Câu 2

Cho lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ . Có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ , $AB=BC=2$ , $A'B=A'C=A'A=3$ . Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm $AC$ và $BC$ . Trên đoạn $A'A, A'B$ lấy các điểm $P,Q$ tương ứng sao cho $A'P=1, A'Q=2$ . Tính thể tích khối tứ diện $MNPQ$ (làm tròn đến chữ số phần trăm)

Trả lời:

Câu 3

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[-4;4]$ và có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới

\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x & -4 & -3 & -2 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline & 0 & & 5 & & 4 & & 3 \\ f(x) & & \searrow & \nearrow & \searrow & \nearrow & \searrow & \nearrow \\ & & & -2 & & -6 & & -5 \\ \hline \end{array}

Bảng biến thiên của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[-4;4]$

Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số $m \in [-4; 4]$ để hàm số $g(x) = \left|f(x^3 + 2x) + 3f(m)\right|$ có giá trị lớn nhất trên đoạn $[-1;1]$ bằng $8$ ?

Trả lời:

Câu 4

Ở một số vùng quê ở Việt Nam, trước mỗi nhà thường có một khoảng sân rộng để phơi lúa vào mùa gặt và cũng là nơi để tổ chức một số sự kiện: đám cưới, ăn hỏi, thôi nôi,... Bác An tính xây một sân trước cửa nhà hình chữ nhật $ABCD$ có độ dài các cạnh lần lượt là $AB = 6 \text{ m}$ và $AD = 12 \text{ m}$ . Để tiện cho việc thoát nước khi trời mưa và khi rửa sân nên bác An xây vị trí $B$ thấp hơn vị trí $A$ là $7 \text{ cm}$ , vị trí $D$ thấp hơn vị trí $A$ là $9 \text{ cm}$ . Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ để xác định xem vị trí $C$ thấp hơn vị trí $A$ bao nhiêu cm? (làm tròn đến cm).

hình vẽ sân hình chữ nhật ABCD với hệ trục tọa độ Oxyz gốc tại A

Trả lời:

Câu 5

Cho $A$ là tập hợp các số tự nhiên có $6$ chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc tập $A$ . Xác suất để số được chọn chia hết cho $13$ và có chữ số tận cùng bằng $2$ là $P(B) = \dfrac{a}{900.000}$ . Tìm a?

Trả lời:

Câu 6

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ

Tích tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để bất phương trình $9.6^{f(x)} + \left(4 - f^{2}(x)\right).9^{f(x)} \le \left(-m^{2} + 5m\right).4^{f(x)}$ đúng $\forall x \in \mathbb{R}$ là

Trả lời:

HẾT