Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 THPT cấp tỉnh năm 2024 — Sở GD&ĐT Hải Dương

Câu I

2,0 điểm

1)
Cho hàm số $y = \frac{x^2 - 2x - 2}{x + 1}$ có đồ thị $(C)$ và điểm $M(1; -3)$ . Gọi $A, B$ là hai điểm cực trị của đồ thị $(C)$ . Tính diện tích của tam giác $MAB$ .
2)
Nhà máy $A$ chuyên sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy $B$ . Hai nhà máy thỏa thuận rằng, hàng tháng $A$ cung cấp cho $B$ số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của $B$ (tối đa 100 tấn sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là $x$ tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm là $p(x) = 90 - 0,01x^2$ (triệu đồng). Chi phí để $A$ sản xuất $x$ tấn sản phẩm trong một tháng là $C(x) = 100 + 15x$ (triệu đồng) (gồm 100 triệu đồng chi phí cố định và 15 triệu đồng cho mỗi tấn sản phẩm). Hỏi $A$ bán cho $B$ bao nhiêu tấn sản phẩm mỗi tháng thì thu được lợi nhuận cao nhất?

2,0 điểm

1)
Doanh số (tính bằng số sản phẩm) của một sản phẩm mới (trong vòng một số năm nhất định) được mô hình hoá bằng hàm số $f(t) = \frac{24.000}{1 + 6e^{-t}}$ với $t \geq 0$ , trong đó thời gian $t$ được tính bằng năm, kể từ khi phát hành sản phẩm mới. Khi đó, đạo hàm $f'(t)$ sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Tốc độ bán hàng lớn nhất đạt được khi $t = \ln a$ . Tìm $a$ .
2)
Có bao nhiêu số nguyên $y$ để với mỗi $y$ có đúng 2 số thực $x$ thỏa mãn bất phương trình: $\frac{2e^x}{\sqrt{16.e^x - y}} + \ln(16.e^x - y) \leq 2x + 2$ .

2,0 điểm

1)
Trong trận thi đấu bóng bàn đơn nam giữa vận động viên Nguyễn Đức Tuân (người từng đoạt huy chương vàng đơn nam môn bóng bàn tại Seagames 31) với một vận động viên nước ngoài, trận đấu gồm tối đa 5 set (séc), người nào thắng trước 3 set sẽ giành chiến thắng chung cuộc. Xác suất để vận động viên Tuân thắng mỗi set là 0,6. Tính xác suất để vận động viên Tuân giành chiến thắng trong trận đấu.
2)
Giải hệ phương trình:
$\begin{cases} \dfrac{1}{\sqrt{x}} + \dfrac{y}{x} = \dfrac{2\sqrt{x}}{y} + 2 \\ y\left(\sqrt{x^{2}+1}-1\right) = \sqrt{3x^{2}+3} \end{cases}$

3,0 điểm

1)
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều có cạnh bằng 1 và $SA \perp (ABC)$ . Gọi $M, N$ lần lượt thuộc các cạnh $SB, SC$ sao cho $SM = 3MB, NC = 2NS$ . Tính độ dài đoạn $SA$ và côsin của góc giữa hai đường thẳng $MN$ và $AC$ , biết rằng $AN$ vuông góc $CM$ .
2)
Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ với $AC = a$ . Biết rằng đường thẳng $BC'$ hợp với mặt phẳng $(ACC'A')$ một góc $30^{0}$ và đường thẳng $BC'$ hợp với mặt phẳng đáy một góc $\alpha$ sao cho $\sin\alpha = \dfrac{\sqrt{6}}{3}$ . Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $BB'$ và $A'C'$ .
1. a)
  Tính thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ .
2. b)
  Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $CM$ và $AN$ .

1,0 điểm

Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $0 \le a \le b \le c \le 1$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

P = (a^{2} - b^{2})(b - c) + c^{2}(1 - c)