Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 12 năm 2024–2025 — Sở GD&ĐT Nghệ An

Thời gian: 50 phút
Số câu: 18 câu
Đáp án: Có đáp án

Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn — 12 câu

Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai — 4 câu

Phần III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn — 2 câu

Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Câu 1

Cho khối chóp tứ giác đều $SABCD$ có $AB = a, SA = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}a$ . Thể tích của khối chóp $SABCD$ bằng

A
$\displaystyle 2a^3$
B
$\displaystyle \dfrac{\sqrt{2}}{2}a^3$
C
$\displaystyle \dfrac{2a^3}{3}$
D
$\displaystyle \dfrac{3\sqrt{2}}{2}a^3$

Câu 2

Giả sử một vật dao động điều hòa xung quanh vị trí cân bằng theo phương trình $x(t) = 3\cos\left(4t - \dfrac{\pi}{3}\right)$ . Ở đây, thời gian $t$ tính bằng giây và $x(t)$ là li độ của vật tại thời điểm $t$ tính bằng centimet. Hãy cho biết trong khoảng thời gian từ $0$ đến $4$ giây, vật đạt li độ bằng $\dfrac{3}{2}cm$ bao nhiêu lần?

A
$\displaystyle 6$
B
$\displaystyle 5$
C
$\displaystyle 3$
D
$\displaystyle 4$

Câu 3

Một lớp có $45$ học sinh, trong đó có $31$ em học sinh học khá môn Toán, $24$ học sinh học khá môn Tiếng Anh, $5$ học sinh không học khá cả hai môn Toán và Tiếng Anh. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong lớp. Xác suất để học sinh được chọn học khá cả hai môn Toán và Tiếng Anh là

A
$\displaystyle \dfrac{248}{675}$
B
$\displaystyle \dfrac{173}{675}$
C
$\displaystyle \dfrac{1984}{6.075}$
D
$\displaystyle \dfrac{1}{3}$

Câu 4

Cho hình hộp $ABCD.A_1B_1C_1D_1$ . Phát biểu nào sau đây sai?

A
$\displaystyle \overrightarrow{AC_1} = \overrightarrow{CC_1} + \overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CD}$
B
$\displaystyle \overrightarrow{AC_1} = \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{DD_1} - \overrightarrow{DA}$
C
$\displaystyle \overrightarrow{AC_1} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA_1}$
D
$\displaystyle \overrightarrow{AC_1} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BB_1} + \overrightarrow{BA}$

Câu 5

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(2;-1;1)$ và $B(1;2;-3)$ . Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$ là

A
$\displaystyle (1;-3;4)$
B
$\displaystyle (3;1;-2)$
C
$\displaystyle (-1;3;-4)$
D
$\displaystyle (2;-2;-3)$

Câu 6

Bảng số liệu ghép nhóm sau cho biết chiều cao $(cm)$ của $50$ học sinh lớp 10A.

\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Khoảng chiều cao} & [155;160) & [160;165) & [165;170) \\ \hline \text{Số học sinh} & 17 & 25 & 8 \\ \hline \end{array}

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên là

A
$\displaystyle 162,6$
B
$\displaystyle 161,6$
C
$\displaystyle 163,4$
D
$\displaystyle 160$

Câu 7

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$ , đường thẳng $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $OC = \sqrt{3}SA$ (tham khảo hình vẽ). Số đo góc phẳng nhị diện $[S,BD,C]$ bằng

Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc với mặt phẳng đáy

A
$\displaystyle 120^{\circ}$
B
$\displaystyle 150^{\circ}$
C
$\displaystyle 30^{\circ}$
D
$\displaystyle 60^{\circ}$

Câu 8

Cho hàm số bậc ba $y = f(x)$ có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên. Điểm cực tiểu của hàm số đã cho bằng

Đồ thị hàm số bậc ba y = f(x) với điểm cực đại tại (0;5) và điểm cực tiểu tại (2;1)

A
$\displaystyle 0$
B
$\displaystyle 1$
C
$\displaystyle 2$
D
$\displaystyle 5$

Câu 9

Cho hàm số $f(x) = \begin{cases} 2x-2 & \text{nếu } x > 2 \\ 2 & \text{nếu } x = 2 \\ -x & \text{nếu } x < 2 \end{cases}$ . Phát biểu nào sau đây là đúng?

A
$\displaystyle \lim_{x \to 2} f(x) = 2$
B
$\displaystyle \lim_{x \to 2^{+}} f(x) = f(2)$
C
$\displaystyle \lim_{x \to 2^{+}} f(x) = \lim_{x \to 2^{-}} f(x)$
D
Hàm số liên tục tại $x = 2$

Câu 10

Một cấp số cộng có số hạng đầu bằng $4$ và số hạng thứ $3$ bằng $12$ . Số hạng thứ $10$ của cấp số cộng đó bằng

A
$\displaystyle 40$
B
$\displaystyle 36$
C
$\displaystyle 40$
D
$\displaystyle 4^{10}$

Câu 11

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = x(x+2)(x+3), \forall x \in \mathbb{R}$ và $f(1) + f(-2) = f(3) + f(0)$ . Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số $y = f(x)$ trên đoạn $[-2;3]$ lần lượt là

A
$f(0)$ và $f(-2)$
B
$f(-2)$ và $f(0)$
C
$f(0)$ và $f(3)$
D
$f(3)$ và $f(0)$

Câu 12

Một vật chuyển động theo phương trình $s(t) = \dfrac{1}{6}t^{3} - t^{2} + 4t$ , trong đó $t > 0$ , $t$ tính bằng giây và $s(t)$ tính bằng mét. Xét trong khoảng thời gian từ $4$ giây đến $10$ giây vận tốc của vật đạt giá trị nhỏ nhất bằng

A
$\frac{16}{3}$ (m/s)
B
$\frac{32}{3}$ (m/s)
C
$4$ (m/s)
D
$2$ (m/s)

Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai

Câu 1

Cho hàm số $f(x)=\log_{5}(4x+1)$ .

a)
Tập xác định của hàm số $f(x)$ là khoảng $\left(-\frac{1}{4};+\infty\right)$
b)
Bất phương trình $\frac{f(x)-1}{\sqrt{3^{x}}-1} \le 0$ có đúng 2 nghiệm nguyên
c)
Đồ thị hàm số $f(x)$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng $AB$ , với $A(3;4)$ và $B(9;0)$
d)
Đạo hàm của hàm số $f(x)$ là $f'(x)=\frac{4}{5x+1}$

Câu 2

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A_{1}B_{1}C_{1}$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$ , $AB=AC=a$ và cạnh bên $AA_{1}=a\sqrt{2}$ (tham khảo hình vẽ)

a)
Thể tích của khối lăng trụ $ABC.A_{1}B_{1}C_{1}$ bằng $\frac{a^{3}\sqrt{2}}{2}$
b)
Góc giữa hai đường thẳng $BC_{1}$ và $AC$ bằng $60^{\circ}$
c)
Khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(A_{1}BC_{1})$ bằng $\frac{a\sqrt{6}}{6}$
d)
Gọi $M, N$ lần lượt là hai điểm di động trên các đoạn thẳng $A_{1}C_{1}$ và $BC_{1}$ sao cho $MN=\frac{a}{2}$ .

Thể tích của khối chóp $A.A_{1}BNM$ có giá trị nhỏ nhất bằng $\frac{7\sqrt{2}}{48}a^{3}$ .

Câu 3

Các học sinh lớp $12T$ làm thí nghiệm gieo ba loại hạt giống $X, Y$ và $Z$ . Xác suất để ba loại hạt giống $X, Y$ và $Z$ nảy mầm tương ứng là $x, y$ và $0,8$ $(x>y)$ . Biết rằng xác suất để ít nhất một trong ba hạt giống này nảy mầm là $0,964$ và xác suất để cả ba hạt giống đều nảy mầm là $0,224$ . Giả sử việc nảy mầm của các hạt giống $X, Y$ và $Z$ là độc lập với nhau. Gọi $A$ là biến cố: “Có ít nhất một trong ba hạt giống này nảy mầm” và $B$ là biến cố: “Cả ba hạt giống đều nảy mầm”.

a)
Biến cố đối của biến cố $A$ là $\overline{A}$ : “Cả ba hạt giống đều không nảy mầm”
b)
Xác suất để xảy ra biến cố $B$ là $P(B)=0,8xy$
c)
Xác suất để hạt giống $X$ nảy mầm là $0,7$
d)
Xác suất để có đúng hai hạt nảy mầm là $0,488$

Câu 4

Cho hàm số $y = \frac{x^2 + 2x + 4}{x + 2}$ .

a)
Hàm số có giá trị cực đại lớn hơn giá trị cực tiểu
b)
Gọi $A, B$ là các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số. Diện tích của tam giác $OAB$ bằng 8 (đơn vị diện tích), trong đó $O$ là gốc tọa độ.
c)
Đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số là $y = 2x + 2$
d)
Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-4;0)$

Phần III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 1

Một doanh nghiệp tư nhân $X$ chuyên kinh doanh xe gắn máy các loại. Hiện nay, doanh nghiệp đang tập trung chiến lược kinh doanh một loại xe máy với chi phí mua vào là 38 triệu đồng/chiếc với giá bán ra là 43 triệu đồng/chiếc. Với giá bán này thì số lượng xe bán ra mỗi năm là 600 chiếc. Nhằm tiêu thụ dòng xe đang ăn khách này, doanh nghiệp dự định giảm giá bán. Ước tính cứ giảm 1 triệu đồng/chiếc thì số lượng xe bán ra trong năm tăng thêm 200 chiếc. Vậy doanh nghiệp phải giảm giá bán là bao nhiêu triệu đồng để thu được lợi nhuận cao nhất trong một năm?

Trả lời:

Câu 2

Trong ngày hội STEM, bạn An nhận được nhiệm vụ thiết kế một chiếc hộp giấy có dạng hình hộp chữ nhật $ABCD.A_1B_1C_1D_1$ với độ dài các cạnh $AB = a, AD = b, AA_1 = c$ và khoảng cách giữa $AC$ và $BC_1$ bằng $d$ (tham khảo hình vẽ). Biết rằng $a, b, c, d$ là các số nguyên dương có đơn vị đo bằng decimet. Hỏi diện tích của chiếc hộp bằng bao nhiêu $dm^2$ để thể tích của chiếc hộp bạn An sẽ làm là nhỏ nhất.

Trả lời:

HẾT