Đề thi chọn học sinh giỏi Toán THPT cấp tỉnh năm 2025 — Sở GD&ĐT Quảng Ninh

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$, có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $2$. Biết $AA' = 6$ và góc $\widehat{BAA'} = 120^{o}$, $\widehat{A'AD} = 60^{o}$. Độ dài vectơ $\vec{u} = 2\overrightarrow{AC'} + \overrightarrow{A'C}$ bằng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(6;0;0)$ và $B(3;4;0)$. Gọi $I(a;b;c)$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $OAB$, giá trị của $3a + 4b - 2026c$ bằng

Một tháp chiếu sáng có dạng hình chóp đều $S.ABCD$, trong đó phần đế $ABCD$ là một hình vuông làm bằng kim loại có cạnh bằng $2m$, đỉnh tháp $S$ là vị trí gắn bóng đèn chiếu sáng chính, chiều cao của tháp là $4m$. Để điều chỉnh hướng ánh sáng, người kĩ sư đặt hai cảm biến ánh sáng tại vị trí $M$ trên đoạn $BD$ và vị trí $N$ trên đoạn $SC$ sao cho dây truyền tín hiệu nối giữa hai cảm biến tại $M$ và $N$ có độ dài ngắn nhất (độ dài dây truyền tín hiệu bằng đúng độ dài $MN$). Khoảng cách từ $S$ đến trung điểm $MN$ gần nhất với giá trị nào dưới đây

Cesium-137 (Cs-137) là một đồng vị phóng xạ của nguyên tố cesium, được tạo ra chủ yếu từ phản ứng phân hạch hạt nhân trong các nhà máy điện hạt nhân và vũ khí hạt nhân. Đây là một sản phẩm phụ có khả năng di chuyển trong môi trường do tính tan trong nước của hợp chất và dễ phát tán khi gặp nhiệt độ cao. Cs-137 được sử dụng trong y học, công nghiệp và nghiên cứu khoa học, nhưng cũng tiềm ẩn nguy cơ phóng xạ cao đối với sinh vật và con người. Một khu vực bị ô nhiễm bởi đồng vị Cs-137 có chu kì bán rã là $30$ năm. Sau một thời gian, người ta đo được hàm lượng Cs-137 trong đất chỉ còn $40\%$ so với ban đầu. Hỏi khu vực đó đã bị ô nhiễm cách đây khoảng bao nhiêu năm (làm tròn đến hàng đơn vị)? Biết lượng chất phóng xạ còn lại sau thời gian $t$ năm được tính bởi công thức $N = N_{0}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}$, $N_{0}$ là lượng chất phóng xạ ban đầu, $T$ là chu kì bán rã.

Cho lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có mặt bên $BCB'C'$ là hình chữ nhật, $AM \perp (A'B'C')$ với $M$ là trung điểm $B'C'$. Gọi hình chiếu vuông góc của $A$ lên $BB'$, $CC'$ lần lượt là $I$, $K$. Biết $AI = 2\sqrt{3}$, $AK = 6$, $AM = 4$, khoảng cách từ $C$ đến $BB'$ là $4\sqrt{3}$. Góc giữa hai mặt phẳng $(AIK)$ và $(ABC)$ là

Trong một thí nghiệm kiểm tra độ chính xác của hai cảm biến nhiệt độ, bạn Nam và bạn Lan sử dụng hai cảm biến khác nhau để đo nhiệt độ của buồng khí. Mỗi bạn tiến hành đo $12$ lần, thu được bảng số liệu sau:

Mệnh đề nào dưới đây đúng

Trong hoạt động tài chính cá nhân, đầu tư định kỳ hằng tháng vào các quỹ ETF được xem là phương pháp giúp nhà đầu tư tích lũy tài sản hiệu quả dựa trên cơ chế lãi kép. Anh Hà mở tài khoản tại một công ty chứng khoán và lựa chọn đầu tư vào quỹ ETF mô phỏng VN30. Anh Hà đặt mục tiêu tích lũy được 600 triệu đồng để mua xe hơi nên mỗi tháng anh Hà đầu tư 20 triệu đồng với lãi suất là 10,8%/năm (giả sử mức lợi nhuận hằng tháng không thay đổi, lợi nhuận được tái đầu tư toàn bộ). Hỏi anh Hà cần đầu tư liên tục trong ít nhất bao nhiêu tháng để số tiền trong quỹ đạt tối thiểu 600 triệu đồng?

Cho hàm số $y = 6x - \sqrt{9x^2 - x + 10} - \dfrac{8}{\sqrt{4 - x}}$ có đồ thị $(C)$, đường tiệm cận xiên của $(C)$ cắt trục $Ox$ tại $A$, cắt trục $Oy$ tại $B$. Diện tích tam giác $OAB$ bằng

Cho $n$ là số nguyên dương thỏa mãn $2^{2n} \cdot C_{2n}^{0} + 2^{2n-2} \cdot C_{2n}^{2} + \ldots + 2^{2n-2k} \cdot C_{2n}^{2k} + \ldots + C_{2n}^{2n} = 3.281$. Số hạng chứa $x^{1}$ trong khai triển nhị thức Newton của $\left(2x - \dfrac{1}{4x^2}\right)^{n+3}$ $(x \neq 0)$ là

Cho $a > 1, b > 0$ thỏa mãn $\log^2 a + \log\left(\dfrac{b}{a^4}\right) + \log_a b - 5 = 0$. Giá trị của $\log a + \log_a b$ bằng

Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ.

Hàm số $y = f(\sqrt{x^2 - 4x + 4} - 2x)$ đồng biến trên khoảng

Cho hàm số $y = \dfrac{-4x^2 + 8x - 7}{2x - 1}$ có đồ thị $(C)$. Gọi $A, B$ là hai điểm cực trị của $(C)$, khoảng cách giữa hai điểm $A, B$ là

Một nhà máy cần sản xuất một loại sản phẩm cung cấp cho thị trường trong nước. Biết rằng chi phí để sản xuất $x$ sản phẩm trong một ngày bao gồm

(1) Chi phí cho công việc hành chính chung là $2.500$ (nghìn đồng)

(2) Các loại chi phí khác là $\dfrac{25x^2}{10.000}$ (nghìn đồng)

(3) Chi phí sản xuất là $4x$ (nghìn đồng)

Lợi nhuận thu được trên mỗi một sản phẩm được tính bằng giá bán mỗi sản phẩm trừ đi tổng chi phí của mỗi một sản phẩm. Giả sử giá bán mỗi sản phẩm không thay đổi, để lợi nhuận thu được trên mỗi một sản phẩm là lớn nhất, trong một ngày nhà máy cần sản xuất số lượng sản phẩm là

Cho hàm số $y = \frac{7-4x}{2x-1}$ có đồ thị $(H)$, điểm $M \in (H)$. Tổng khoảng cách từ $M$ tới hai đường tiệm cận của $(H)$ nhỏ nhất là

Cho hàm số $f(x) = 2x^3 + (m+1)x^2 -12x + 1$ ($m$ là tham số), tập hợp các giá trị $m$ để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số vuông góc với đường thẳng $x-9y = 0$ là

Cho hàm số $y = \frac{2x+2}{x-1}$ có đồ thị $(C)$, hai đường tiệm cận của $(C)$ cắt nhau tại $I$. Đường thẳng $d$ cắt đồ thị $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A, B$ đều có hoành độ lớn hơn $1$ sao cho tam giác $IAB$ cân tại $I$ và có diện tích bằng $\frac{15}{2}$. Viết phương trình đường thẳng $d$.

Một gia đình nông dân quyết định mở rộng mô hình chăn nuôi nên đã mua về $20$ con thỏ con từ một trang trại giống. Gia đình có sẵn hệ thống $10$ chuồng, mỗi chuồng được thiết kế để nuôi đúng $2$ con thỏ. Khi nhận được thỏ, gia đình thả chúng ra sân để kiểm tra sức khỏe và giúp thỏ làm quen với môi trường mới. Đàn thỏ gồm có $2$ con lông màu đen, $1$ con lông màu xám, $1$ con lông màu vàng và các con thỏ còn lại đều có lông màu trắng. Sau khi kiểm tra xong, gia đình tiến hành bắt ngẫu nhiên từng con thỏ và thả vào các chuồng sao cho mỗi chuồng có đúng $2$ con thỏ (không xét thứ tự các con thỏ trong một chuồng). Tính xác suất để sau khi sắp xếp ngẫu nhiên, có một chuồng chứa cặp thỏ lông màu đen và lông màu xám, đồng thời không có chuồng nào chứa cặp thỏ lông màu đen và lông màu vàng.

Giả sử đường cao tốc giới hạn hai bên bởi hai đường thẳng song song $a$ và $b$ cách nhau $50m$, phía bên đường thẳng $a$ có một khu chung cư đặt ở vị trí $A$ và cách đường thẳng $a$ là $1,5km$, phía bên đường thẳng $b$ có một khu chung cư đặt ở vị trí $B$ và cách đường thẳng $b$ là $2,5km$. Người ta xây dựng một cây cầu vượt bắc qua đường cao tốc, chân cầu vượt đặt ở vị trí $E \in a$ và $F \in b$ sao cho $EF \perp a$ và độ dài đường $AE + EF + FB$ ngắn nhất. Trên đoạn $AH$ vuông góc với $a$ tại $H$, người ta cần đặt một trạm quan sát tại vị trí $M$ sao cho góc quan sát $\widehat{AME} = 120^{0}$. Trên đoạn $BK$ vuông góc với $b$ tại $K$, người ta cần đặt một trạm quan sát tại vị trí $N$ sao cho góc quan sát $\widehat{BNF} = 120^{0}$, biết $HE + FK = 3km$. Tính khoảng cách $AM$ và $BN$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là nửa lục giác đều cạnh $a$, tam giác $SAB$ cân tại $S$, tam giác $SCD$ vuông tại $C$, khoảng cách giữa $BI$ và $SA$ là $\frac{a\sqrt{39}}{10}$ với $I$ là trung điểm $AD$.

Tìm các số thực $x > 0, y > 1$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện