Đề thi thử học sinh giỏi Toán 12 lần 2 năm 2024–2025 — Trường THPT Nam Tiền Hải, Thái BìnhMã đề 101

Thời gian: 90 phút
Số câu: 32 câu
Đáp án: Có đáp án

Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn — 20 câu

Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai — 6 câu

Phần III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn — 6 câu

Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Câu 1

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $1$ , biết khoảng cách từ $A$ đến $(SBC)$ là $\frac{\sqrt{6}}{4}$ , từ $B$ đến $(SCA)$ là $\frac{\sqrt{15}}{10}$ , từ $C$ đến $(SAB)$ là $\frac{\sqrt{30}}{20}$ và hình chiếu vuông góc của $S$ xuống đáy nằm trong tam giác $ABC$ . Tính thể tích khối chóp $S.ABC$ .

A
$\displaystyle \frac{1}{24}$
B
$\displaystyle \frac{1}{36}$
C
$\displaystyle \frac{1}{12}$
D
$\displaystyle \frac{1}{48}$

Câu 2

Gọi $m$ là giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x - 1 + \frac{4}{x - 1}$ trên khoảng $(1; +\infty)$ . Tìm $m$ ?

A
$\displaystyle m = 2$
B
$\displaystyle m = 5$
C
$\displaystyle m = 3$
D
$\displaystyle m = 4$

Câu 3

Cho hàm số $y = \log_a x; y = \log_b x; y = \log_c x$ có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Đồ thị của các hàm số $y = \log_a x$, $y = \log_b x$, $y = \log_c x$

A
$\displaystyle a > b > c$
B
$\displaystyle b > c > a$
C
$\displaystyle c > a > b$
D
$\displaystyle a > c > b$

Câu 4

Giả sử chiều cao ( tính bằng $cm$ ) của một giống cây trồng ( trong vòng một số tháng nhất định) tuân theo quy luật logistic được mô hình hoá bằng hàm số $f(t) = \frac{2024}{1 + 4e^{-t}}$ , $t \ge 0$ .

Trong đó thời gian $t$ được tính bằng tháng kể từ khi hạt bắt đầu nảy mầm. Khi đó đạo hàm $f'(t)$ sẽ biểu thị tốc độ tăng chiều cao của giống cây đó. Hỏi sau khi hạt giống bắt đầu nảy mầm thì sau bao nhiêu tháng tốc độ tăng chiều cao của cây là lớn nhất?

A
$\displaystyle 1,35$
B
$\displaystyle 1,53$
C
$\displaystyle 1,83$
D
$\displaystyle 1,38$

Câu 5

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxyz$ , Tam giác $ABC$ với $A(1;-3;3); B(2;-4;5), C(a;-2;b)$ nhận điểm $G(1;c;3)$ làm trọng tâm của nó thì giá trị của tổng $a + b + c$ bằng.

A
$\displaystyle 3$
B
$\displaystyle -2$
C
$\displaystyle -5$
D
$\displaystyle 1$

Câu 6

Bạn Hà rất thích đi bộ vào buổi sáng. Thời gian đi bộ mỗi ngày trong thời gian gần đây của bạn Hà được thống kê lại ở bảng sau:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Thời gian (phút)} & [20;25) & [25;30) & [30;35) & [35;40) & [40;45) \\ \hline \text{Số ngày} & 6 & 6 & 4 & 1 & 1 \\ \hline \end{array}

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm nói trên có giá trị nằm trong khoảng nào dưới đây?

A
$\displaystyle (5;6)$
B
$\displaystyle (1;3)$
C
$\displaystyle (7;8)$
D
$\displaystyle (3;4)$

Câu 7

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , ba điểm nào sau đây thẳng hàng?

A
$\displaystyle A(1;0;1), B(2;1;2), C(1;-1;1)$
B
$\displaystyle E(1;0;0), F(0;0;1), G(2;1;1)$
C
$\displaystyle I(0;-2;0), J(0;3;0), K(0;2;0)$
D
$\displaystyle M(1;3), N(-2;-2), P(3;1)$

Câu 8

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai vectơ $\vec{m}=(4;3;1)$ và $\vec{n}=(0;0;1)$ . Gọi $\vec{p}$ là vectơ cùng hướng với $[\vec{m},\vec{n}]$ và $|\vec{p}|=15$ . Tọa độ của vectơ $\vec{p}$ là

A
$\displaystyle (0;-9;12)$
B
$\displaystyle (-9;12;0)$
C
$\displaystyle (9;-12;0)$
D
$\displaystyle (0;9;-12)$

Câu 9

Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\dfrac{x^{2}+2x+2}{x+1}$ là:

A
$\displaystyle y=x+2$
B
$\displaystyle y=x-1$
C
$\displaystyle y=x+1$
D
$\displaystyle y=2-x$

Câu 10

Vật rơi tự do với phương trình chuyển động là $S=\dfrac{1}{2}gt^{2}$ , trong đó $t$ tính bằng giây (s), $S$ tính bằng mét (m) và $g=9,8$ m/s $^{2}$ . Vận tốc của vật tại thời điểm $t=4$ s là

A
$v=78,4$ m/s
B
$v=9,8$ m/s
C
$v=39,2$ m/s
D
$v=19,6$ m/s

Câu 11

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm $f'(x)=(x+1)^{2024}(x-2)^{2025}(x+3)^{2023}$ . Số điểm cực đại của hàm số $g(x)=f\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)$ là:

A
$\displaystyle 0$
B
$\displaystyle 2$
C
$\displaystyle 1$
D
$\displaystyle 3$

Câu 12

Biết $A$ , $B$ là hai điểm di động trên Parabol $(P): f(x)=-x^{2}+2x+2$ và đường thẳng $\Delta: y=2x+6$ (tham khảo hình bên). Độ dài $AB$ nhỏ nhất bằng

Đồ thị Parabol (P): f(x) = -x^2+2x+2 và đường thẳng Δ: y = 2x+6 với đoạn AB

A
$\displaystyle 2$
B
$\displaystyle \dfrac{3}{2}$
C
$\displaystyle \dfrac{4}{\sqrt{5}}$
D
$\displaystyle \dfrac{2}{\sqrt{5}}$

Câu 13

Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng xét dấu của đạo hàm như hình vẽ. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x & -\infty & & -1 & & 1 & & +\infty \\ \hline y' & & - & \Vert & - & 0 & + & \\ \hline \end{array}

A
$\displaystyle (1;+\infty)$
B
$\displaystyle (-1;+\infty)$
C
$\displaystyle (-\infty;1)$
D
$\displaystyle (-\infty;-1)$

Câu 14

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có độ dài tất cả các cạnh bằng $a$ và các góc $BAD, DAA', A'AB$ đều bằng $60^{\circ}$ . Gọi $M$ , $N$ lần lượt là trung điểm của $AA', CD$ . Gọi $\alpha$ là góc tạo bởi hai đường thẳng $MN$ và $B'C$ , giá trị của $\cos \alpha$ bằng:

A
$\displaystyle \dfrac{2}{\sqrt{5}}$
B
$\displaystyle \dfrac{3\sqrt{5}}{10}$
C
$\displaystyle \dfrac{3}{\sqrt{5}}$
D
$\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{5}}$

Câu 15

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như sau:

\begin{array}{|c|ccccccccccc|} \hline x & -\infty & & -2 & & 0 & & 1 & & 3 & & +\infty \\ \hline f'(x) & & + & 0 & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + & \\ \hline & & & 3 & & & & 4 & & & & +\infty \\ f(x) & & \nearrow & & \searrow & & \nearrow & & \searrow & & \nearrow & \\ & -\infty & & & & -3 & & & & -2 & & \\ \hline \end{array}

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = f(\cos x -1)$ bằng

A
$\displaystyle 7$
B
$\displaystyle 3$
C
$\displaystyle 4$
D
$\displaystyle 5$

Câu 16

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $M$ , $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ , $CD$ và $I$ là trung điểm của $MN$ . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A
$\displaystyle \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} = 4\overrightarrow{MI}$
B
$\displaystyle \overrightarrow{IM} + \overrightarrow{IN} = \vec{0}$
C
$\displaystyle \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} = \vec{0}$
D
$\displaystyle \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} = -\overrightarrow{ID}$

Câu 17

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $D$ , $AD = CD = a$ , $AB = 2a$ , $SA \perp (ABCD)$ . Gọi $E$ là trung điểm của $AB$ . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

A
$\displaystyle CB \perp (SCD)$
B
$\displaystyle CE \perp (SAB)$
C
$\displaystyle CE \perp (SDC)$
D
$\Delta SDC$ vuông tại $C$

Câu 18

Trong không gian $Oxyz$ , cho các vectơ $\vec{a} = (5; 3; -2)$ và $\vec{b} = (m; -1; m+3)$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của $m$ để góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là góc tù?

A
$\displaystyle 1$
B
$\displaystyle 5$
C
$\displaystyle 3$
D
$\displaystyle 2$

Câu 19

Cho tứ diện $ABCD$ đều cạnh bằng $a$ . Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCD$ . Khi đó $\overrightarrow{OC} . \overrightarrow{AB}$ bằng bao nhiêu?

A
$\displaystyle \dfrac{a^{2}}{6}$
B
$\displaystyle -\dfrac{a^{2}}{2}$
C
$\displaystyle \dfrac{a^{2}}{2}$
D
$\displaystyle -\dfrac{a^{2}}{6}$

Câu 20

Kết quả điểm kiểm tra môn Toán của $40$ học sinh lớp 12A được trình bày ở bảng sau

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Điểm} & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & \text{Cộng} \\ \hline \text{Tần số} & 2 & 8 & 7 & 10 & 8 & 3 & 2 & 40 \\ \hline \end{array}

Tính số trung bình cộng của bảng trên (làm tròn kết quả đến một chữ số thập phân).

A
$\displaystyle 6,4$
B
$\displaystyle 7,0$
C
$\displaystyle 6,8$
D
$\displaystyle 6,7$

Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai

Câu 1

Thầy giáo thống kê lại điểm trung bình cuối năm của các học sinh lớp 11A và 11B ở bảng sau:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Điểm trung bình} & [5;6) & [6;7) & [7;8) & [8;9) & [9;10) \\ \hline \text{11A} & 1 & 0 & 11 & 22 & 6 \\ \hline \text{11B} & 0 & 6 & 8 & 14 & 12 \\ \hline \end{array}

a)
Điểm trung bình của lớp 11A là $8,3$ (làm tròn đến hàng phần chục)
b)
Phương sai của mẫu số liệu lớp 11B là $1,05$ (làm tròn đến hàng phần trăm)
c)
So sánh theo độ lệch chuẩn thì các học sinh lớp 11A học đồng đều hơn lớp 11B
d)
Điểm trung bình của lớp 11A nhỏ hơn lớp 11B

Câu 2

Một cây cầu có dạng hình cung $OA$ của đồ thị hàm số $y = 4,8\sin \dfrac{x}{9}$ và được mô tả trong hệ trục tọa độ với đơn vị trục là mét như ở hình sau. Giả sử độ dài của con sông là độ dài của đoạn thẳng $OA$ , khi đó

Đồ thị hàm số $y = 4,8\sin \dfrac{x}{9}$ với cung $OA$ trên hệ trục $Oxy$

Sà lan chở khối hàng container trên sông

a)
Khoảng cách lớn nhất từ mực nước sông đến cầu là $y = 4,8m$
b)
Một sà lan chở khối hàng hoá được xếp thành hình hộp chữ nhật với độ cao $2,4m$ so với mực nước sông sao cho sà lan có thể đi qua được gầm cầu. Chiều rộng của khối hàng hoá đó phải nhỏ hơn $19,5m$ .
c)
Một sà lan khác cũng chở khối hàng hoá được xếp thành hình hộp chữ nhật với chiều rộng của khối hàng hoá đó là $9m$ sao cho sà lan có thể đi qua được gầm cầu. Chiều cao của khối hàng hoá đó phải nhỏ hơn $4,3m$ .
d)
Chiều rộng của con sông là $28,3m$ (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)

Câu 3

Một chiếc xe đang kéo căng sợi dây cáp $AB$ trong công trường xây dựng, trên đó đã thiết lập hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình với độ dài đơn vị trên các trục bằng $1m$ .

Hệ trục tọa độ $Oxyz$ với cần cẩu $OA = 10m$, $OB = 15m$ và góc $30^{\circ}$, xe kéo cáp $AB$

Gọi tọa độ của $\overrightarrow{AB} = (a, b, c)$ và $M(m; 0; n)$ .

a)
$\overrightarrow{AB} = \left(-\dfrac{15}{2}, \dfrac{15\sqrt{3}}{2}, 10\right)$
b)
$AB = 325(m)$
c)
$MA^{2} + MB^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $4m + n = 20$
d)
$a + c = -\dfrac{5}{2}$

Câu 4

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh bằng $2a$ , $SA = a$ , $SB = a\sqrt{3}$ . Mặt bên $(SAB) \perp (ABCD)$ . Gọi $H$ là hình chiếu của $S$ trên $AB$ , $M$ là trung điểm của $SC$ , $I$ là giao điểm của $AC$ và $HD$ .

Các phát biểu sau đây đúng hay sai?

a)
$SH = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
b)
Góc giữa $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $30^{\circ}$
c)
Thể tích khối chóp $AMID$ bằng $\dfrac{a^{3}\sqrt{3}}{60}$
d)
Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $SC$ bằng $\dfrac{a\sqrt{57}}{19}$

Câu 5

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $M(2;3;-1); N(-1;1;1); P(1;m-1;2)$ , khi đó

a)
với $m=1$ thì $\cos\left(\overrightarrow{MN}, \overrightarrow{NP}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$
b)
để tam giác $MNP$ vuông tại $N$ thì $m=0$
c)
$\left|\overrightarrow{MN}\right| = \sqrt{17}$
d)
$\left|\overrightarrow{NP}\right| = \sqrt{5 + (2-m)^{2}}$

Câu 6

Cho hàm số $y = f(x) = \log_{2}\left(3-2x-x^{2}\right)$ . Các phát biểu sau đây đúng hay sai?

a)
Hàm số $g(x) = f\left(4x^{2}+4x-9\right)$ có 3 điểm cực trị
b)
Tập xác định của hàm số là $D = (-1;3)$
c)
$\max\limits_{[-2;0]} f(x) = f(-1) = 2$
d)
Hàm số đồng biến trên khoảng $(-3;-1)$ và nghịch biến trên khoảng $(-1;1)$

Phần III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 1

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có tất cả các cạnh đều bằng $a$ , $\widehat{BCD} = \widehat{A'D'D} = \widehat{BB'A'} = 60^{\circ}$ . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng $A'D$ và $CD'$ bằng $\dfrac{a\sqrt{m}}{n}$ . Tính giá trị biểu thức $m^{2}+n^{2}$ .

Trả lời:

Câu 2

Cho $f(x)$ là hàm bậc bốn và có bảng biến thiên như hình vẽ

\begin{array}{|c|ccccccccc|} \hline x & -\infty & & -2 & & 0 & & 2 & & +\infty \\ \hline f'(x) & & + & 0 & - & 0 & + & 0 & - & \\ \hline f(x) & & & & 1 & & & & 1 & \\ & & \nearrow & & \searrow & & \nearrow & & \searrow & \\ & -\infty & & & & -3 & & & & -\infty \\ \hline \end{array}

Đồ thị hàm số $g(x) = \dfrac{(x^{2}-4)(x-2)}{f(x)-1}$ có bao nhiêu đường tiệm cận ngang?

Trả lời:

Câu 3

Một nhà địa chất học đang ở tại điểm $A$ trên sa mạc. Anh ta muốn đến điểm $B$ và cách $A$ một đoạn là $70\text{ km}$ . Trong sa mạc thì xe anh ta chỉ có thể di chuyển với vận tốc là $30\text{ km/h}$ . Nhà địa chất phải đến được điểm $B$ sau $2$ giờ. Vì vậy, nếu anh ta đi từ $A$ đến $B$ sẽ không thể đến đúng giờ được. May mắn thay, có một con đường nhựa song song với đường nối $A$ và $B$ và cách $AB$ một đoạn $10\text{ km}$ . Trên đường nhựa đó thì xe nhà địa chất này có thể di chuyển với vận tốc $50\text{ km/h}$ . Thời gian ngắn nhất để nhà địa chất di chuyển từ $A$ đến $B$ là bao nhiêu phút.

Sơ đồ minh họa sa mạc với các điểm A, B và đường nhựa CD cách AB 10 km

Trả lời:

Câu 4

Cho tứ diện đều $ABCD$ . Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB, BC, AD$ ; $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$ , $\alpha$ là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{MG}$ và $\overrightarrow{NP}$ . Hãy tính $\cos \alpha$ (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)

Trả lời:

Câu 5

Cho hàm số $f(x) = x^3 - 3x^2 + 1$ . Số nghiệm phương trình $\sqrt{f(f(x)+2)+4} = f(x)+1$ .

Trả lời:

Câu 6

Một công ty viễn thông đang lên kế hoạch xây dựng một tháp viễn thông tại một thành phố để cung cấp dịch vụ tốt hơn. Công ty cần xác định vị trí của tháp sao cho có thể phủ sóng hiệu quả đến ba toà nhà quan trọng trong thành phố. Giả sử các toà nhà này được đặt tại các vị trí có toạ độ như sau: Toà nhà $A(0;0;0)$ ; toà nhà $B(6;0;0)$ ; toà nhà $C(3;\sqrt{3};2\sqrt{6})$ . Tháp viễn thông phải đặt ở vị trí sao cho tổng khoảng cách từ tháp đến $3$ toà nhà là nhỏ nhất. Khi đó tổng khoảng cách từ vị trí của tháp đến ba toà nhà bằng bao nhiêu (làm tròn đến hàng phần mười)?

Hình ảnh tháp viễn thông trong thành phố

Trả lời:

HẾT