Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 năm 2024–2025 — Cụm trường THPT Bắc GiangMã đề 101

Thời gian: 120 phút
Số câu: 33 câu
Đáp án: Có đáp án

Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn7,0 điểm

Câu 1

Gọi $S$ là tập hợp các giá trị nguyên của tham số $m$ để tồn tại đúng hai cặp số $(x; y)$ thỏa mãn các điều kiện $\log_3(3x+3)+x=2y+9^y$ và $y=\log_3\left(\dfrac{x+7-m}{2m}\right)$ . Tổng các phần tử của tập $S$ bằng

A
$\displaystyle 10$
B
$\displaystyle 18$
C
$\displaystyle 6$
D
$\displaystyle 12$

Câu 2

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=2a$ , $AD=a$ . $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. $SA=a\sqrt{3}$ . Gọi $\varphi$ là góc giữa $SC$ và mặt đáy $(ABCD)$ , tính $\cos\varphi$ .

A
$\displaystyle \cos\varphi=\dfrac{\sqrt{7}}{4}$
B
$\displaystyle \cos\varphi=\dfrac{\sqrt{6}}{4}$
C
$\displaystyle \cos\varphi=\dfrac{\sqrt{5}}{4}$
D
$\displaystyle \cos\varphi=\dfrac{\sqrt{10}}{4}$

Câu 3

Lưu lượng xe ô tô vào đường hầm Hải Vân (Đà Nẵng) được cho bởi công thức $f(v)=\dfrac{290,4v}{0,36v^2+13,2v+264}$ (xe/giây), trong đó $v (km/h)$ là tốc độ trung bình của các xe khi vào đường hầm. Giá trị lớn nhất của lưu lượng xe qua hầm gần với giá trị nào dưới đây nhất?

A
$\displaystyle 8,7$
B
$\displaystyle 8,9$
C
$\displaystyle 9$
D
$\displaystyle 8,8$

Câu 4

Cho hàm số $y=\dfrac{ax^2+bx+1}{cx+2}$ có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tính giá trị biểu thức $T=2a+3b-c$ .

Đồ thị hàm số y = (ax^2 + bx + 1)/(cx + 2)

A
$\displaystyle 8$
B
$\displaystyle 10$
C
$\displaystyle 9$
D
$\displaystyle 11$

Câu 5

Thống kê điểm trung bình cuối học kì 1 môn Toán của một số học sinh lớp $12A$ được cho ở bảng sau:

{\def\arraystretch{1.4}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Khoảng điểm} & [6,5;7) & [7;7,5) & [7,5;8) & [8;8,5) & [8,5;9) & [9;9,5) & [9,5;10) \\ \hline \text{Tần số} & 8 & 10 & 16 & 24 & 13 & 7 & 4 \\ \hline \end{array}}

Số trung vị (làm tròn đến hàng phần trăm) của mẫu số liệu ghép nhóm trên là

A
$\displaystyle 7,15$
B
$\displaystyle 8,15$
C
$\displaystyle 9,15$
D
$\displaystyle 7,75$

Câu 6

Trong hình vẽ dưới đây, chiếc quạt có ba cánh được phân bố đều nhau.

Hình vẽ hệ trục tọa độ Oxy với chiếc quạt ba cánh OM, ON, OP phân bố đều nhau, góc lượng giác (Ox, OM) bằng -50°

Số đo của góc lượng giác $(Ox, ON)$ bằng

A
$120^{\circ}+k360^{\circ}$ $(k \in \mathbb{Z})$
B
$-70^{\circ}+k360^{\circ}$ $(k \in \mathbb{Z})$
C
$70^{\circ}+k360^{\circ}$ $(k \in \mathbb{Z})$
D
$50^{\circ}+k360^{\circ}$ $(k \in \mathbb{Z})$

Câu 7

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ . Giả sử 2 điểm $M, N$ thỏa mãn $\overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{AC}$ , $\overrightarrow{DN}=y\overrightarrow{DC'}$ đồng thời $MN // BD'$ . Khi đó tỉ số $\dfrac{MN}{BD'}=\dfrac{m}{n}$ ( $\dfrac{m}{n}$ là phân số tối giản). Tính $m+n$ .

A
$\displaystyle 3$
B
$\displaystyle 4$
C
$\displaystyle 5$
D
$\displaystyle 7$

Câu 8

Cho biết $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{ax^{2}+1}-bx-2}{x^{3}-3x+2}$ $(a, b \in \mathbb{R})$ có kết quả là một số thực. Giá trị của biểu thức $a^{2}+b^{2}$ bằng

A
$\displaystyle \dfrac{9}{4}$
B
$\displaystyle 87-48\sqrt{3}$
C
$\displaystyle 6+5\sqrt{3}$
D
$\displaystyle \dfrac{45}{16}$

Câu 9

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định, có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và $f'(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên dưới:

Đồ thị hàm số y = f'(x) trên hệ trục tọa độ Oxy

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A
Hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên khoảng $(-2;0)$
B
Hàm số $y=f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(-2;+\infty)$
C
Hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên khoảng $(-\infty;-3)$
D
Hàm số $y=f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(-3;-2)$

Câu 10

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có ba cạnh $CA, AB, BC$ lần lượt tạo thành một cấp số nhân có công bội là $q$ . Tìm $q$ ?

A
$\displaystyle q=\dfrac{\sqrt{2+2\sqrt{5}}}{2}$
B
$\displaystyle q=\dfrac{\sqrt{2\sqrt{5}-2}}{2}$
C
$\displaystyle q=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$
D
$\displaystyle q=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$

Câu 11

Một du khách vào chuồng đua ngựa đặt cược theo nguyên tắc nếu thắng cược sẽ được nhà cái trả đúng bằng số tiền đặt cược, lần đầu du khách đặt 20.000 đồng, mỗi lần tiếp theo đặt gấp đôi lần tiền cọc trước. Người đó thua 9 lần liên tiếp kể từ lần đầu tiên và thắng ở lần thứ 10. Hỏi du khách trên thắng hay thua bao nhiêu tiền?

A
Thua 40.000 đồng
B
Thua 20.000 đồng
C
Hoà vốn
D
Thắng 20.000 đồng

Câu 12

Cho hình chóp $S.ABC$ có $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ và $M$ là trung điểm của đoạn $SG$ . Biết $\overrightarrow{SM} = x\overrightarrow{SA} + y\overrightarrow{SB} + z\overrightarrow{SC}$ . Tính $T = x + 2y + 6z$ .

A
$\displaystyle T = \dfrac{5}{2}$
B
$\displaystyle T = \dfrac{2}{3}$
C
$\displaystyle T = \dfrac{1}{3}$
D
$\displaystyle T = \dfrac{3}{2}$

Câu 13

Có bao nhiêu số nguyên $m$ thuộc $(1;20)$ để bất phương trình $\log_{m} x > \log_{x} m$ nghiệm đúng với mọi $x$ thuộc $\left(\dfrac{1}{3};1\right)$ ?

A
16
B
17
C
18
D
19

Câu 14

Hàm số $y = \log_{a} x$ và $y = \log_{b} x$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Đồ thị hàm số $y=\log_a x$ và $y=\log_b x$

Đường thẳng $y = 3$ cắt hai đồ thị tại các điểm có hoành độ $x_1, x_2$ . Biết rằng $x_2 = 2x_1$ , giá trị của $\dfrac{a}{b}$ bằng

A
$\displaystyle \sqrt[3]{2}$
B
$\displaystyle 2$
C
$\displaystyle \dfrac{1}{3}$
D
$\displaystyle \sqrt{3}$

Câu 15

Khảo sát về số giờ mượn sách thư viện của học sinh khối 11 trường Y ta được một mẫu số liệu ghép nhóm như sau:

{\def\arraystretch{1.4}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Số giờ mượn} & [0;4) & [4;8) & [8;12) & [12;16) & [16;20) \\ \hline \text{Số học sinh} & 54 & 78 & 120 & 45 & 12 \\ \hline \end{array}}

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên gần nhất với giá trị nào sau đây?

A
$\displaystyle 120$
B
$\displaystyle 8$
C
$\displaystyle 9$
D
$\displaystyle 12$

Câu 16

Cho $\lim_{x \to -\infty} \left(\sqrt{x^2 + ax + 4} + x\right) = 4$ . Giá trị của $a$ thuộc khoảng nào sau đây?

A
$\displaystyle (6;12)$
B
$\displaystyle (-12;-6)$
C
$\displaystyle (0;8)$
D
$\displaystyle (-8;0)$

Câu 17

Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m \in [-2024;2024]$ để phương trình

x^3 + 3x^2 + (m+2)x + m = 0

có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng?

A
$\displaystyle 2025$
B
$\displaystyle 2024$
C
$\displaystyle 4.036$
D
$\displaystyle 4.037$

Câu 18

Tìm số hạng không chứa $x$ trong khai triển $\left(x - \dfrac{3}{x^2}\right)^{18} (x \neq 0)$ .

A
$\displaystyle -3^6 C_{18}^6$
B
$\displaystyle -3^7 C_{18}^7$
C
$\displaystyle 3^7 C_{18}^7$
D
$\displaystyle 3^6 C_{18}^6$

Câu 19

Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = \dfrac{n^2 + 4n + 7}{n+1}$ . Hỏi dãy số trên có bao nhiêu số hạng nhận giá trị nguyên?

A
$\displaystyle 2$
B
$\displaystyle 6$
C
$\displaystyle 4$
D
$\displaystyle 3$

Câu 20

Từ các chữ số $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có $5$ chữ số đôi một khác nhau sao cho có đúng $3$ chữ số chẵn và $2$ chữ số lẻ, đồng thời hai chữ số lẻ đứng liền nhau?

A
$\displaystyle 936$
B
$\displaystyle 1152$
C
$\displaystyle 2.736$
D
$\displaystyle 576$

Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai4,0 điểm

Câu 1

Trong không gian $Oxyz$ , cho tam giác $ABC$ có $A(-2;0;-3), B(-4;-4;1), C(-4;1;-1)$ .

a)
Tam giác $ABC$ là tam giác tù
b)
Điểm $A'(2;0;-3)$ đối xứng với $A$ qua mặt phẳng $(Oyz)$
c)
Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ (kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm) là $r = 1,12$
d)
Cho hai điểm $M, N$ thay đổi trên mặt phẳng $(Oyz)$ sao cho $MN = 3$ . Giá trị nhỏ nhất của $AM + BN$ (kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm) là $6,17$ .

Câu 2

Chi phí nhiên liệu của một chiếc tàu chạy trên sông được chia làm hai phần. Phần thứ nhất không phụ thuộc vào tốc độ và bằng $480$ nghìn đồng trên $1$ giờ. Phần thứ hai tỉ lệ thuận với lập phương của tốc độ, khi tốc độ $v = 10$ (km/giờ) thì phần thứ hai bằng $30$ nghìn đồng/giờ. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a)
Khi tốc độ $v = 30$ (km/giờ) thì tổng chi phí nhiên liệu trên $1$ km đường sông là $43.000$ đồng
b)
Khi tốc độ $v = 10$ (km/giờ) thì chi phí nhiên liệu cho phần thứ nhất trên $1$ km đường sông là $48.000$ đồng
c)
Hàm số xác định tổng chi phí nhiên liệu trên $1$ km đường sông với tốc độ $v$ (km/giờ) là
$f(v) = \frac{480}{v} + 0,03 \cdot v^{3}.$
d)
Tốc độ của tàu để tổng chi phí nhiên liệu trên $1$ km đường sông nhỏ nhất là $v = 20$ (km/giờ)

Câu 3

Cho tứ diện $ABCD$ có cạnh $a$ . Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AB, CD$ . Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a)
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{BC} = 0$
b)
Vec tơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ cùng hướng
c)
$\overrightarrow{EA} + \overrightarrow{EB} + \overrightarrow{EC} + \overrightarrow{ED} = \vec{0}$ với $E$ là trung điểm $MN$
d)
Điểm $I$ xác định bởi $P = 3IA^{2} + IB^{2} + IC^{2} + ID^{2}$ có giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị nhỏ nhất của $P$ là $2a^{2}$ .

Câu 4

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $a$ (Hình vẽ)

a)
Góc nhị diện $[(BCC'B'), BB', (BDD'B')]$ có số đo bằng $45^{\circ}$
b)
Thể tích khối tứ diện $AB'CD'$ bằng $\dfrac{a^{3}}{6}$
c)
Khoảng cách giữa hai đường thẳng $BD$ và $CD'$ bằng $\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$
d)
Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $B'C'$ bằng $a$

Phần III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn3,0 điểm

Câu 1

Cho hàm số $y = \dfrac{2x - 224}{x - m}$ có đồ thị là $(C_m)$ . Tìm tổng tất cả các giá trị $m$ nguyên dương sao cho diện tích tứ giác tạo bởi các trục tọa độ và hai đường tiệm cận của đồ thị $(C_m)$ không vượt quá $224$ (đvdt).

Trả lời:

Câu 2

Một câu lạc bộ Toán học tổ chức trò chơi sử dụng đồng xu để xếp thành hình kim tự tháp. Nhóm có thể có tối đa $23.520$ đồng xu để xếp mô hình kim tự tháp. Biết rằng tầng dưới cùng có $3.020$ đồng xu và cứ lên thêm $1$ tầng thì số đồng xu giảm đi $120$ đồng. Hỏi mô hình kim tự tháp này có tối đa bao nhiêu tầng?

Trả lời:

Câu 3

Cho hàm số $f(x) = \begin{cases} ax^2 + 3x + 1 & \text{khi } x \ge 1 \\ 2x^2 - bx + 2 & \text{khi } x < 1 \end{cases}$

có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ . Tính tích phân $\displaystyle \int_0^3 f(x)dx$

(Kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Trả lời:

Câu 4

Một người điều khiển ô tô đang ở đường dẫn muốn nhập làn vào đường cao tốc. Khi ô tô cách điểm nhập làn $200$ m, tốc độ của ô tô là $36$ km/h. Hai giây sau đó, ô tô bắt đầu tăng tốc với tốc độ $v(t) = at + b$ $(a,b \in \mathbb{R}, a > 0)$ , trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc. Biết rằng ô tô nhập làn cao tốc sau $12$ giây và duy trì sự tăng tốc trong $24$ giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc. Sau $24$ giây kể từ khi tăng tốc, tốc độ của ô tô là bao nhiêu $km/h$ ?

Trả lời:

Câu 5

Gọi $S$ là tập tất cả các số nguyên $a$ lớn hơn $4$ để phương trình

\log\left[(\log_3 x)^{\log a} + 3\right] = \log_a(\log_3 x - 3)

có nghiệm $x > 81$ . Tính tổng giá trị các phần tử của tập $S$ .

Trả lời:

Câu 6

Đèo Hải Vân là ranh giới tự nhiên của thành phố Đà Nẵng và tỉnh Thừa Thiên-Huế. Hầm được khởi công ngày 27/8/2000 và khánh thành ngày 5/6/2005. Đây là hầm đường bộ dài nhất, hiện đại nhất Đông Nam Á và là một trong 30 đường hầm dài nhất trên thế giới. Trong kiến trúc, có hình nửa đường tròn để có thể chịu lực tốt. Trong hình bên, cổng Đèo Hải Vân được ghép bởi sáu cung vật liệu tốt chịu lực tốt hai bên tạo thành các cung AB, BC, CD, EF, FG, GH bằng nhau và một cung vật liệu tốt chốt ở đỉnh. Cho $AH = 18$ m, $BK = 4,3$ m. Biết rằng hình chữ nhật MNFC có MN là khoảng cách hai làn xe, CM là chiều cao cho phép của các xe lưu thông (Xem hình minh họa). Tính chiều cao CM cho phép của các xe lưu thông.

(Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Sơ đồ cổng hầm hình nửa đường tròn với hình chữ nhật MNFC

Trả lời:

Phần IV. Tự luận6,0 điểm

Câu 1

2,0 điểm

Tính tích phân $I = \int_{0}^{1} \dfrac{xdx}{\sqrt{3+x^2} + \sqrt{\left(3+x^2\right)^3}}$ .

Câu 2

3,0 điểm

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ với $AB = 2a, AD = a, AA' = 3a$ . Gọi $M, N$ là các điểm tương ứng thuộc các đoạn thẳng $AC', B'D'$ .

1)
Tính côsin góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AC'}$ và $\overrightarrow{B'D'}$ .
2)
Biết rằng $MN$ song song với $BA'$ . Tìm tỉ số $\dfrac{MA}{MC'}$ .

Câu 3

1,0 điểm

Cho $a, b, c$ là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = \frac{a^2}{(a+b)^2} + \frac{b^2}{(b+c)^2} + \frac{4c^3}{3(c+a)^3}.

HẾT