Đề thi học sinh giỏi Toán 12 năm 2024–2025 — Cụm THPT huyện Lục Nam, Sở GD&ĐT Bắc GiangMã đề 121

Cho hàm số $f(x)$. Hàm số $y = f'(x)$ có đồ thị như hình vẽ

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $g(x) = f(2x^2 - x) + 6x^2 - 3x$ trên nửa khoảng $[1; +\infty)$?

Cho hàm số $y = f(x) = \begin{cases} 3x^2 \text{ khi } 0 \le x < 1 \\ 4 - x \text{ khi } 1 \le x \le 2 \end{cases}$. Tích phân $\int_{0}^{2} f(x) dx$ bằng

Một đội tình nguyện gồm 9 học sinh khối 10 và 7 học sinh khối 11. Chọn ra ngẫu nhiên 3 người trong đội. Xác suất của biến cố “Cả 3 người được chọn cùng một khối” là

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $[1;20]$ để hàm số $y = \frac{-x^2 + 3x - m - 1}{3x - m}$ đồng biến trên khoảng $(2;3)$?

Đồ thị hàm số $y = \frac{5x + 1 - \sqrt{x + 1}}{x^2 + 2x}$ có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?

Họ các nguyên hàm của hàm số $f(x) = 2^{x-1} + \frac{1}{2x}$ là

Một nhà kho được minh họa như hình bên, trong không gian $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là mét), Biết nhà kho có chiều cao bằng $9m$, hai mái $EFIK, HGIK$ là hai hình chữ nhật có kích thước bằng nhau, các bức tường tạo thành hình hộp chữ nhật $ABCD.EFGH$, $AB = 10m$, $AD = 24m$, $AE = 7m$. Khi đó côsin của góc dốc mái nhà (góc $\widehat{IFG}$) bằng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi tâm $O$ cạnh $a\sqrt{2}$ và $\widehat{BAD} = 60^{\circ}$. Tính góc giữa đường thẳng $SO$ và mặt phẳng $(ABCD)$ biết $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA = \frac{3a\sqrt{2}}{2}$.

Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{a} = (3;-2;1)$ và $\vec{b} = (2;1;-1)$. Biết rằng $\vec{u} = m\vec{a} - 3\vec{b}$ và $\vec{v} = 3\vec{a} + m\vec{b}$ $(m \in \mathbb{R})$. Giá trị của $m$ để hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ vuông góc là

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \begin{cases} x+4 & \text{khi } x < 0 \\ -x+4 & \text{khi } 0 \le x \le 1 \\ -x^{2}+4x & \text{khi } x > 1 \end{cases}$ và trục hoành.

Cho tập hợp $S = \{1;2;3;...;100\}$ gồm 100 số nguyên dương đầu tiên. Chọn ngẫu nhiên 4 số trong $S$, tính xác suất để 4 số chọn được có thể tạo thành cấp số nhân có công bội nguyên dương.

Bác Hải gửi 300 triệu vào ngân hàng với hình thức lãi kép, kỳ hạn 1 năm với lãi suất $5\%/\text{năm}$. Số tiền lãi bác Hải nhận được sau 10 năm gửi gần nhất với giá trị nào dưới đây?

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $1$, biết khoảng cách từ $A$ đến $(SBC)$ là $\frac{\sqrt{6}}{4}$, từ $B$ đến $(SCA)$ là $\frac{\sqrt{15}}{10}$, từ $C$ đến $(SAB)$ là $\frac{\sqrt{30}}{20}$ và hình chiếu vuông góc của $S$ xuống đáy nằm trong tam giác $ABC$. Tính thể tích khối chóp $V_{S.ABC}$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(-2;3;1)$ và $B(5;6;2)$. Đường thẳng $AB$ cắt mặt phẳng $(Oxz)$ tại điểm $M$. Tính tỉ số $\frac{AM}{BM}$.

Xét các số thực dương $x, y$ thỏa mãn $\log_{\sqrt{3}}\frac{x+y}{x^{2}+y^{2}+xy+2}=x(x-3)+y(y-3)+xy$. Tìm giá trị lớn nhất của $P=\frac{3x+2y+1}{x+y+6}$.

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$ có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi $m$, $M$ lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số $y=f(x)$ trên đoạn $[-2;2]$. Giá trị của $m+M$ là

Một vùng đất hình chữ nhật $ABCD$ có $AB=25km$, $BC=20km$ và $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AD$, $BC$. Một người cưỡi ngựa xuất phát từ $A$ đi đến $C$ bằng cách đi thẳng từ $A$ đến một điểm $X$ thuộc đoạn $MN$ rồi lại đi thẳng từ $X$ đến $C$. Vận tốc của ngựa khi đi trên phần $ABNM$ là $15km/h$, vận tốc của ngựa khi đi trên phần $MNCD$ là $30km/h$. Thời gian ít nhất để ngựa di chuyển từ $A$ đến $C$ là mấy giờ?

Trong không gian $Oxyz$ cho $A(1;-1;2)$, $B(-2;0;3)$, $C(0;1;-2)$. Gọi $M(a;b;c)$ là điểm thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho biểu thức $S=\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MB}\cdot\overrightarrow{MC}+3\overrightarrow{MC}\cdot\overrightarrow{MA}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó $T=36a+12b+c$ có giá trị là

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f(0)=0$ và $f'(x)\cdot(1+e^{f(x)})=1+e^{x}$ $\forall x \in \mathbb{R}$. Tính $\int_{1}^{3} f(x)dx$

Diện tích $S$ của hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi các đường cong $y = -x^3 + 12x$ và $y = -x^2$ bằng

Cho đồ thị $(C)$ của hàm số $y = f(x) = x^3 - 3x + 2$ có dạng như hình vẽ bên dưới. Gọi $(H)$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số đã cho và trục hoành.

Cho hàm số $f(x)$ là hàm số bậc ba có bảng biến thiên như sau:

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(-1;2;5)$ và $B(3;-1;2)$.

Cho lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$; $BC=2a$; $\widehat{ABC}=30^{\circ}$. Cạnh bên của lăng trụ bằng $2a\sqrt{3}$.

Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị $(C)$ và bảng biến thiên như hình vẽ.

Phương trình $|f(x+1)|=a$ với $a\in(1;3]$ có bao nhiêu nghiệm lớn hơn $-1$?

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;2;3)$, $B(4;1;-1)$. Gọi $M(x_{0};y_{0};z_{0})$ là điểm thuộc mặt phẳng $(Oyz)$ sao cho $MA^{2}+MB^{2}-2\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}+\left(\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}\right)^{2}=26$ và $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}$ đạt giá trị lớn nhất. Biết $y_{0}>0$. Giá trị $y_{0}$ bằng bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Tính tổng các nghiệm của phương trình $\log_{3}\dfrac{4x^{2}+3}{x^{6}+x^{2}+1}=x^{6}-3x^{2}-2$.

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Hàm số $f'(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c$ có đồ thị như hình bên dưới.

Số điểm cực trị của hàm số $y=f\left[f'(x)\right]$ bằng bao nhiêu?

Một hoa văn trang trí được tạo ra từ một miếng bìa mỏng hình vuông cạnh bằng $10\text{ cm}$ bằng cách khoét đi bốn phần bằng nhau có hình dạng parabol như hình bên. Biết $AB = 5\text{ cm}$, $OH = 4\text{ cm}$. Tính diện tích $(cm^{2})$ bề mặt hoa văn đó (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Có 2 bình, mỗi bình đựng 6 viên bi trắng và 5 viên bi đen. Lần lượt lấy ngẫu nhiên ra 1 viên bi từ bình thứ nhất và 1 viên bi từ bình thứ hai. Xác suất để lấy được viên bi ở bình thứ nhất màu trắng và viên bi ở bình thứ hai màu đen bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Tính tích phân sau $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x \sin x + (x + 1) \cos x}{x \sin x + \cos x} dx$

Cho hình lăng trụ đứng $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy $ABCD$ là hình thang cân, $AD$ song song với $BC$, $AB = BC = CD = a$, $AD = 2a$. Góc giữa hai mặt phẳng $(A'CD)$ và $(ABCD)$ bằng $45^{0}$.

Một cái ao hình $ABCDE$ (như hình vẽ), ở giữa ao có một mảnh vườn hình tròn có bán kính $10\text{ m}$. Người ta muốn bắc một cây cầu từ bờ $AB$ của ao đến vườn. Tính gần đúng độ dài tối thiểu $l$ của cây cầu biết: Hai bờ $AE$ và $BC$ nằm trên hai đường thẳng vuông góc với nhau, hai đường thẳng này cắt nhau tại điểm $O$; Bờ $AB$ là một phần của một parabol có đỉnh là điểm $A$ và có trục đối xứng là đường thẳng $OA$; Độ dài đoạn $OA$ và $OB$ lần lượt là $40\text{ m}$ và $20\text{ m}$; Tâm $I$ của mảnh vườn lần lượt cách đường thẳng $AE$ và $BC$ lần lượt $40\text{ m}$ và $30\text{ m}$.