Đề thi học sinh giỏi Toán 12 năm 2024–2025 — Cụm THPT huyện Lục Nam, Sở GD&ĐT Bắc GiangMã đề 121

Thời gian: 120 phút
Số câu: 33 câu
Đáp án: Có đáp án

Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn5,0 điểm

Câu 1

Cho hàm số $f(x)$ . Hàm số $y = f'(x)$ có đồ thị như hình vẽ

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $g(x) = f(2x^2 - x) + 6x^2 - 3x$ trên nửa khoảng $[1; +\infty)$ ?

A
$\displaystyle \underset{[1;+\infty)}{\text{Min}} g(x) = f(1)$
B
$\displaystyle \underset{[1;+\infty)}{\text{Min}} g(x) = f(2)$
C
$\displaystyle \underset{[1;+\infty)}{\text{Min}} g(x) = f(1) + 3$
D
$\displaystyle \underset{[1;+\infty)}{\text{Min}} g(x) = f(2) + 18$

Câu 2

Cho hàm số $y = f(x) = \begin{cases} 3x^2 \text{ khi } 0 \le x < 1 \\ 4 - x \text{ khi } 1 \le x \le 2 \end{cases}$

. Tích phân $\int_{0}^{2} f(x) dx$ bằng

A
$\displaystyle \dfrac{3}{2}$
B
$\displaystyle \dfrac{7}{2}$
C
$\displaystyle \dfrac{5}{2}$
D
$\displaystyle 1$

Câu 3

Một đội tình nguyện gồm 9 học sinh khối 10 và 7 học sinh khối 11. Chọn ra ngẫu nhiên 3 người trong đội. Xác suất của biến cố “Cả 3 người được chọn cùng một khối” là

A
$\displaystyle \dfrac{3}{20}$
B
$\displaystyle \dfrac{1}{16}$
C
$\displaystyle \dfrac{3}{16}$
D
$\displaystyle \dfrac{17}{80}$

Câu 4

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $[1;20]$ để hàm số $y = \dfrac{-x^2 + 3x - m - 1}{3x - m}$ đồng biến trên khoảng $(2;3)$ ?

A
$\displaystyle 17$
B
$\displaystyle 14$
C
$\displaystyle 15$
D
$\displaystyle 13$

Câu 5

Đồ thị hàm số $y = \dfrac{5x + 1 - \sqrt{x + 1}}{x^2 + 2x}$ có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?

A
$\displaystyle 3$
B
$\displaystyle 0$
C
$\displaystyle 1$
D
$\displaystyle 2$

Câu 6

Họ các nguyên hàm của hàm số $f(x) = 2^{x-1} + \dfrac{1}{2x}$ là

A
$\displaystyle \frac{2^{x-1}}{\ln 2} + \ln |2x| + C$
B
$\displaystyle 2^{x} + \frac{1}{2}\ln |x| + C$
C
$\displaystyle \frac{2^{x-1}}{\ln 2} + \frac{1}{2}\ln |x| + C$
D
$\displaystyle 2^{x-1} + \frac{1}{2}\ln |x| + C$

Câu 7

Một nhà kho được minh họa như hình bên, trong không gian $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là mét), Biết nhà kho có chiều cao bằng $9m$ , hai mái $EFIK, HGIK$ là hai hình chữ nhật có kích thước bằng nhau, các bức tường tạo thành hình hộp chữ nhật $ABCD.EFGH$ , $AB = 10m$ , $AD = 24m$ , $AE = 7m$ . Khi đó côsin của góc dốc mái nhà (góc $\widehat{IFG}$ ) bằng

Minh họa nhà kho trong không gian Oxyz với các điểm A, B, C, D, E, F, G, H, I, K

A
$\displaystyle \frac{6}{\sqrt{38}}$
B
$\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{7}$
C
$\displaystyle \frac{6}{\sqrt{39}}$
D
$\displaystyle \frac{6}{\sqrt{37}}$

Câu 8

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình hình thoi tâm $O$ cạnh $a\sqrt{2}$ và $\widehat{BAD} = 60^{\circ}$ . Tính góc giữa đường thẳng $SO$ và mặt phẳng $(ABCD)$ biết $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA = \frac{3a\sqrt{2}}{2}$ .

A
$\displaystyle 30^{\circ}$
B
$\displaystyle 45^{\circ}$
C
$\displaystyle 90^{\circ}$
D
$\displaystyle 60^{\circ}$

Câu 9

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai vectơ $\vec{a} = (3; -2; 1)$ và $\vec{b} = (2; 1; -1)$ . Biết rằng $\vec{u} = m\vec{a} - 3\vec{b}$ và $\vec{v} = 3\vec{a} + m\vec{b}$ $(m \in \mathbb{R})$ . Giá trị của $m$ để hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ vuông góc là

A
$\displaystyle \left[ \begin{array}{l} m = -1 \\ m = -9 \end{array} \right.$
B
$\displaystyle \left[ \begin{array}{l} m = 1 \\ m = -9 \end{array} \right.$
C
$\displaystyle \left[ \begin{array}{l} m = -1 \\ m = 9 \end{array} \right.$
D
$\displaystyle \left[ \begin{array}{l} m = 1 \\ m = 9 \end{array} \right.$

Câu 10

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \begin{cases} x+4 & \text{khi } x < 0 \\ -x+4 & \text{khi } 0 \le x \le 1 \\ -x^{2}+4x & \text{khi } x > 1 \end{cases}$

và trục hoành.

A
$\displaystyle 17$
B
$\displaystyle 24$
C
$\displaystyle \frac{41}{2}$
D
$\displaystyle \frac{25}{2}$

Câu 11

Cho tập hợp $S = \{1; 2; 3; ...; 100\}$ gồm $100$ số nguyên dương đầu tiên. Chọn ngẫu nhiên $4$ số trong $S$ , tính xác suất để $4$ số chọn được có thể tạo thành cấp số nhân có công bội nguyên dương.

A
$\displaystyle \frac{18}{C_{100}^{4}}$
B
$\displaystyle \frac{17}{C_{100}^{4}}$
C
$\displaystyle \frac{17}{A_{100}^{4}}$
D
$\displaystyle \frac{16}{C_{100}^{4}}$

Câu 12

Bác Hải gửi $300$ triệu vào ngân hàng với hình thức lãi kép, kỳ hạn $1$ năm với lãi suất $5\%/\text{năm}$ . Số tiền lãi bác Hải nhận được sau $10$ năm gửi gần nhất với giá trị nào dưới đây?

A
$213,10$ triệu
B
$150$ triệu
C
$165,40$ triệu
D
$188,67$ triệu

Câu 13

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $1$ , biết khoảng cách từ $A$ đến $(SBC)$ là $\frac{\sqrt{6}}{4}$ , từ $B$ đến $(SCA)$ là $\frac{\sqrt{15}}{10}$ , từ $C$ đến $(SAB)$ là $\frac{\sqrt{30}}{20}$ và hình chiếu vuông góc của $S$ xuống đáy nằm trong tam giác $ABC$ . Tính thể tích khối chóp $V_{S.ABC}$ .

A
$\displaystyle \frac{1}{36}$
B
$\displaystyle \frac{1}{48}$
C
$\displaystyle \frac{1}{24}$
D
$\displaystyle \frac{1}{12}$

Câu 14

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(-2;3;1)$ và $B(5;6;2)$ . Đường thẳng $AB$ cắt mặt phẳng $(Oxz)$ tại điểm $M$ . Tính tỉ số $\frac{AM}{BM}$ .

A
$\displaystyle \frac{AM}{BM}=3$
B
$\displaystyle \frac{AM}{BM}=\frac{1}{3}$
C
$\displaystyle \frac{AM}{BM}=\frac{1}{2}$
D
$\displaystyle \frac{AM}{BM}=2$

Câu 15

Xét các số thực dương $x, y$ thỏa mãn $\log_{\sqrt{3}}\frac{x+y}{x^{2}+y^{2}+xy+2}=x(x-3)+y(y-3)+xy$ . Tìm giá trị lớn nhất của $P=\frac{3x+2y+1}{x+y+6}$ .

A
$\displaystyle 3$
B
$\displaystyle 2$
C
$\displaystyle 1$
D
$\displaystyle 4$

Câu 16

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$ có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi $m, M$ lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số $y=f(x)$ trên đoạn $[-2;2]$ . Giá trị của $m+M$ là

A
$\displaystyle m+M=-5$
B
$\displaystyle m+M=-6$
C
$\displaystyle m+M=0$
D
$\displaystyle m+M=-1$

Câu 17

Một vùng đất hình chữ nhật $ABCD$ có $AB=25km$ , $BC=20km$ và $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AD, BC$ . Một người cưỡi ngựa xuất phát từ $A$ đi đến $C$ bằng cách đi thẳng từ $A$ đến một điểm $X$ thuộc đoạn $MN$ rồi lại đi thẳng từ $X$ đến $C$ . Vận tốc của ngựa khi đi trên phần $ABNM$ là $15km/h$ , vận tốc của ngựa khi đi trên phần $MNCD$ là $30km/h$ . Thời gian ít nhất để ngựa di chuyển từ $A$ đến $C$ là mấy giờ?

A
$\displaystyle \frac{\sqrt{41}}{4}$
B
$\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{3}$
C
$\displaystyle \frac{4+\sqrt{29}}{6}$
D
$\displaystyle \frac{2\sqrt{5}}{3}$

Câu 18

Trong không gian $Oxyz$ cho $A(1;-1;2)$ , $B(-2;0;3)$ , $C(0;1;-2)$ . Gọi $M(a;b;c)$ là điểm thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho biểu thức $S=\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MB}\cdot\overrightarrow{MC}+3\overrightarrow{MC}\cdot\overrightarrow{MA}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó $T=36a+12b+c$ có giá trị là

A
$\displaystyle T=5$
B
$\displaystyle T=-5$
C
$\displaystyle T=7$
D
$\displaystyle T=-7$

Câu 19

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f(0)=0$ và $f'(x)\cdot(1+e^{f(x)})=1+e^{x}$ $\forall x \in \mathbb{R}$ . Tính $\int_{1}^{3} f(x)dx$

A
$\displaystyle 4$
B
$\displaystyle e^{3}-5$
C
$\displaystyle 8$
D
$\displaystyle 2$

Câu 20

Diện tích $S$ của hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi các đường cong $y = -x^3 + 12x$ và $y = -x^2$ bằng

A
$\displaystyle \dfrac{793}{4}$
B
$\displaystyle \dfrac{937}{12}$
C
$\displaystyle \dfrac{343}{12}$
D
$\displaystyle \dfrac{937}{4}$

Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai4,5 điểm

Câu 1

Cho đồ thị $(C)$ của hàm số $y = f(x) = x^3 - 3x + 2$ có dạng như hình vẽ bên dưới. Gọi $(H)$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số đã cho và trục hoành.

a)
$F(x) = \dfrac{x^4}{4} - \dfrac{3x^2}{2} + 2x - 2024$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$
b)
Trục tung chia hình $(H)$ thành 2 phần có diện tích là $S_1, S_2$ $(S_1 < S_2)$ Khi đó $\dfrac{S_2}{S_1} = 5$
c)
Hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng $y = 4$ và đồ thị $(C)$ có diện tích bằng diện tích của $(H)$
d)
Biết đường thẳng $d: y = kx + 2$ cắt $(C)$ tại 3 điểm phân biệt theo thứ tự lần lượt là $A, B, C$ $(x_A < x_B < x_C)$ , đồng thời hình phẳng giới hạn bởi $d$ và $(C)$ bằng $\dfrac{625}{2}$ . Khi đó độ dài đoạn thẳng $AC = \sqrt{12.125}$ .

Câu 2

Cho hàm số $f(x)$ là hàm số bậc ba có bảng biến thiên như sau:

Bảng biến thiên của hàm số f(x): f′(x) > 0 trên (−∞; 1); f′(x) = 0 tại x = 1; f′(x) < 0 trên (1; 2); f′(x) = 0 tại x = 2; f′(x) > 0 trên (2; +∞). Hàm số f đồng biến trên (−∞; 1) và (2; +∞), nghịch biến trên (1; 2), đạt cực đại tại x = 1 với f(1) = 3, đạt cực tiểu tại x = 2 với f(2) = −2.

a)
Khoảng cách hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y = f(x)$ bằng $\sqrt{26}$
b)
Phương trình $f(x+1) = 1$ có 3 nghiệm phân biệt
c)
Hàm số $g(x) = f(1-2x)$ nghịch biến trên khoảng $\left(-\dfrac{1}{2};0\right)$
d)
Đồ thị hàm số $h(x) = \dfrac{x-2}{f^2(x)-4}$ có tổng số đường tiệm cận bằng 5

Câu 3

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(-1;2;5)$ và $B(3;-1;2)$ .

a)
Tọa độ điểm đối xứng với $A$ qua trục hoành là $A'(-1;-2;-5)$
b)
Tổng khoảng cách từ điểm $A$ và $B$ đến mặt phẳng $(Oxy)$ bằng 7
c)
Gọi $P(a;b;c)$ thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $PA + PB$ nhỏ nhất. Giá trị của $7(a+b-c)$ bằng 21.
d)
Xét hai điểm $M$ và $N$ thay đổi thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $MN=1$ . Giá trị nhỏ nhất của $AM^2 + BN^2$ bằng $28$ .

Câu 4

Cho lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ ; $BC=2a$ ; $\widehat{ABC}=30^{\circ}$ . Cạnh bên của lăng trụ bằng $2a\sqrt{3}$ .

a)
Hai mặt bên $(ABB'A')$ và $(ACC'A')$ vuông góc với nhau
b)
Số đo của góc nhị diện $[A,CC',B']$ bằng $60^{\circ}$
c)
Khoảng cách giữa $AA'$ và mặt phẳng $(BCC'B')$ bằng $3a$
d)
Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ACA'$ , $M$ là trung điểm của $BB'$ , $N$ trên cạnh $CC'$ sao cho $CN=2NC'$ . Thể tích của khối chóp $G.BCNM$ bằng $\dfrac{7}{9}a^3$ .

Phần III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn4,5 điểm

Câu 1

Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị $(C)$ và bảng biến thiên như hình vẽ.

Bảng biến thiên của hàm số f(x): f′(x) > 0 trên (−∞; −2); f′(x) = 0 tại x = −2; f′(x) < 0 trên (−2; −1); f′(x) không xác định tại x = −1; f′(x) < 0 trên (−1; 0); f′(x) = 0 tại x = 0; f′(x) > 0 trên (0; +∞). Hàm số f đồng biến trên (−∞; −2) và (0; +∞), nghịch biến trên (−2; −1) và (−1; 0), đạt cực đại tại x = −2 với f(−2) = −3, đạt cực tiểu tại x = 0 với f(0) = 1.

Phương trình $|f(x+1)|=a$ với $a\in (1;3]$ có bao nhiêu nghiệm lớn hơn $-1$ ?

Trả lời:

Câu 2

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1;2;3)$ , $B(4;1;-1)$ . Gọi $M(x_0;y_0;z_0)$ là điểm thuộc mặt phẳng $(Oyz)$ sao cho $MA^2+MB^2-2\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}+\left(\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}\right)^2=26$ và $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}$ đạt giá trị lớn nhất. Biết $y_0>0$ . Giá trị $y_0$ bằng bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Trả lời:

Câu 3

Tính tổng các nghiệm của phương trình $\log_3 \dfrac{4x^2+3}{x^6+x^2+1}=x^6-3x^2-2$ .

Trả lời:

Câu 4

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ . Hàm số $f'(x)=x^3+ax^2+bx+c$ có đồ thị như hình bên dưới.

Đồ thị hàm số f'(x) = x^3 + a x^2 + b x + c

Số điểm cực trị của hàm số $y=f\left[f'(x)\right]$ bằng bao nhiêu?

Trả lời:

Câu 5

Một hoa văn trang trí được tạo ra từ một miếng bìa mỏng hình vuông cạnh bằng $10\text{ cm}$ bằng cách khoét đi bốn phần bằng nhau có hình dạng parabol như hình bên. Biết $AB = 5\text{ cm}$ , $OH = 4\text{ cm}$ . Tính diện tích $(cm^{2})$ bề mặt hoa văn đó (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Hoa văn hình vuông với bốn phần parabol bị khoét, minh họa các điểm A, B, O, H

Trả lời:

Câu 6

Có 2 bình, mỗi bình đựng 6 viên bi trắng và 5 viên bi đen. Lần lượt lấy ngẫu nhiên ra 1 viên bi từ bình thứ nhất và 1 viên bi từ bình thứ hai. Xác suất để lấy được viên bi ở bình thứ nhất màu trắng và viên bi ở bình thứ hai màu đen bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Trả lời:

Phần IV. Tự luận6,0 điểm

Câu 1

2,0 điểm

Tính tích phân sau $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x \sin x + (x + 1) \cos x}{x \sin x + \cos x}dx$

Câu 2

3,0 điểm

Cho hình lăng trụ đứng $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy $ABCD$ là hình thang cân, $AD$ song song với $BC$ , $AB = BC = CD = a$ , $AD = 2a$ . Góc giữa hai mặt phẳng $(A'CD)$ và $(ABCD)$ bằng $45^{\circ}$ .

a)
Tính khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $(A'CD)$ .
b)
Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua $B$ và vuông góc với đường thẳng $A'C$ . Mặt phẳng $(P)$ chia khối lăng trụ đã cho thành hai khối đa diện. Tính thể tích khối đa diện chứa đỉnh $A$ .

Câu 3

1,0 điểm

Một cái ao hình $ABCDE$ (như hình vẽ), ở giữa ao có một mảnh vườn hình tròn có bán kính $10\text{ m}$ . Người ta muốn bắc một cây cầu từ bờ $AB$ của ao đến vườn. Tính gần đúng độ dài tối thiểu $l$ của cây cầu biết: Hai bờ $AE$ và $BC$ nằm trên hai đường thẳng vuông góc với nhau, hai đường thẳng này cắt nhau tại điểm $O$ ; Bờ $AB$ là một phần của một parabol có đỉnh là điểm $A$ và có trục đối xứng là đường thẳng $OA$ ; Độ dài đoạn $OA$ và $OB$ lần lượt là $40\text{ m}$ và $20\text{ m}$ ; Tâm $I$ của mảnh vườn lần lượt cách đường thẳng $AE$ và $BC$ lần lượt $40\text{ m}$ và $30\text{ m}$ .

Sơ đồ ao ABCDE với bờ AB là parabol đỉnh A, mảnh vườn hình tròn tâm I bán kính 10 m và cây cầu nối bờ AB với vườn

HẾT