Đề thi chọn học sinh giỏi Toán cấp THPT ngành GDTX năm 2024 — Sở GD&ĐT Hải Phòng

Thời gian: 180 phút
Số câu: 6 câu
Đáp án: Có đáp án

Câu 1

3,0 điểm

1)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: $y = \frac{x^2 + 3x + 3}{x + 2}$ .
2)
Một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ độ cao $5,975m$ với vận tốc ban đầu là $34,3m/s$ . Trong Vật lí, ta biết rằng khi bỏ qua sức cản của không khí thì độ cao $h$ (mét) của vật sau $t$ (giây) được cho bởi công thức $h(t) = 5,975 + 34,3t - 4,9t^2$ . Hỏi vật đạt độ cao lớn nhất là bao nhiêu? Khi nào?

Câu 2

1,0 điểm

Giải phương trình: $25^{2 - 3x} = 0,2^{x + 1}$ .

Câu 3

1,0 điểm

Bạn Tuấn dùng một tấm bìa hình vuông cạnh $6dm$ để làm một chiếc hộp có thể tích lớn nhất mà không có nắp, có đáy là hình vuông bằng cách cắt bỏ đi bốn hình vuông nhỏ ở bốn góc của tấm bìa, rồi gập tấm bìa như hình vẽ bên dưới.

hình vẽ tấm bìa hình vuông bị cắt bốn góc và chiếc hộp không nắp sau khi gập

Tính thể tích lớn nhất của chiếc hộp trên.

Câu 4

1,0 điểm

Giải phương trình: $2\sin 2x - 2\sqrt{3}\sin x = \sqrt{3} - 2\cos x$ .

Câu 5

3,0 điểm

Trong không gian $Oxyz$ , cho hình chóp tứ giác đều $S.OABC$ có đáy $OABC$ là hình vuông, tọa độ của $S(0;2;5)$ và $B(0;4;0)$ .

1)
Chứng minh rằng đường thẳng $OB$ vuông góc với mặt phẳng $(SAC)$ .
2)
Tính diện tích tam giác $SOB$ .
3)
Tính thể tích khối chóp $S.OABC$ .

Câu 6

1,0 điểm

Cho $a, b$ là hai số thực dương thỏa mãn điều kiện: $a + b = \frac{3}{2}$ . Chứng minh rằng: $\frac{2}{a} + \frac{1}{2b} \geq 3$ .

HẾT