Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Toán 12 lần 2 năm 2024–2025 — Trường THPT Nho Quan A, Ninh BìnhMã đề 108

Thời gian: 90 phút
Số câu: 22 câu
Đáp án: Có đáp án

Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn — 12 câu · 3,0 điểm

Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai — 4 câu · 4,0 điểm

Phần III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn — 6 câu · 3,0 điểm

Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn3,0 điểm

Câu 1

Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như Hình 1.

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?

A
$\displaystyle (0;1)$
B
$\displaystyle (1;2)$
C
$\displaystyle (-1;0)$
D
$\displaystyle (-1;1)$

Câu 2

Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S): x^2 + y^2 + z^2 + 4x - 2y - 8 = 0$ và điểm $A(0;-2;0)$ thuộc $(S)$ . Mặt phẳng tiếp xúc với $(S)$ tại $A$ có phương trình là

A
$\displaystyle 2x + 3y + 6 = 0$
B
$\displaystyle y + 2 = 0$
C
$\displaystyle 2x - 3y - 6 = 0$
D
$\displaystyle 2x - 3y - 4z - 6 = 0$

Câu 3

Cho hàm số $y = f(x)$ thỏa mãn $f(x) > 0, \forall x \in \mathbb{R}$ và hàm số $y = f'(x)$ có đồ thị như hình vẽ. Hỏi hàm số $y = e^{2f(x)+1} - 4.2^{f(x)}$ có bao nhiêu điểm cực trị?

A
$\displaystyle 3$
B
$\displaystyle 2$
C
$\displaystyle 4$
D
$\displaystyle 5$

Câu 4

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = \sqrt{x^2 - 4x + 10}$ trên đoạn $[-4;1]$ .

A
$\displaystyle \sqrt{7}$
B
$\displaystyle 0$
C
$\displaystyle \sqrt{6}$
D
$\displaystyle \sqrt{10}$

Câu 5

Gọi $x_1, x_2$ là các nghiệm của phương trình $2^{x-1} = 3^{x^2-x}$ . Tính giá trị của biểu thức $M = 3^{x_1} + 3^{x_2}$ .

A
$\displaystyle M = 6$
B
$\displaystyle M = 4$
C
$\displaystyle M = 5$
D
$\displaystyle M = 12$

Câu 6

Độ sâu $h$ (m) của mực nước ở một cảng biển vào thời điểm $t$ (giờ) sau khi thủy triều lên lần đầu tiên trong ngày được tính xấp xỉ bởi công thức $h(t) = 0,8\cos 0,5t + 4$ . Một con tàu cần mực nước sâu tối thiểu $3,6$ m để có thể di chuyển ra vào cảng an toàn. Hãy cho biết trong vòng $12$ tiếng sau khi thủy triều lên lần đầu tiên có bao nhiêu thời điểm $t$ để tàu có thể hạ thủy.

A
$\displaystyle 1$
B
$\displaystyle 2$
C
$\displaystyle 3$
D
$\displaystyle 4$

Câu 7

Một hộp có 6 bi đỏ, 5 bi xanh và 4 bi trắng cùng kích thước. Rút ngẫu nhiên lần lượt từng viên bi không trả lại cho đến khi được viên bi đỏ thì dừng. Hãy tìm xác suất để không có viên bi xanh nào được rút ra

A
$\displaystyle \frac{8}{11}$
B
$\displaystyle \frac{2}{11}$
C
$\displaystyle \frac{4}{11}$
D
$\displaystyle \frac{6}{11}$

Câu 8

Số cách chia 12 phần quà cho 3 học sinh sao cho ai cũng có ít nhất hai phần quà là

A
$\displaystyle 36$
B
$\displaystyle 28$
C
$\displaystyle 66$
D
$\displaystyle 220$

Câu 9

Cho hai điểm $A(0;6); B(8;0)$ . Đường tròn ngoại tiếp tam giác $OAB$ có phương trình là

A
$\displaystyle (x-8)^2 + (y-6)^2 = 25$
B
$\displaystyle (x+4)^2 + (y-3)^2 = 25$
C
$\displaystyle (x+4)^2 + (y+3)^2 = 100$
D
$\displaystyle (x-4)^2 + (y-3)^2 = 25$

Câu 10

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Hình chiếu vuông góc của $B'$ lên đáy $(ABCD)$ trùng với điểm $H$ nằm trên $BD$ sao cho $DH = 2BH$ . Biết $B'H = 2a\sqrt{3}$ , $BD = 3a$ , $HC = 2a$ , $BC = a\sqrt{5}$ . Góc tạo bởi hai mặt phẳng $(B'HC)$ và $(B'BCC')$ bằng

A
$\displaystyle 60^o$
B
$\displaystyle 30^o$
C
$\displaystyle 90^o$
D
$\displaystyle 45^o$

Câu 11

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $M(3;-2;5)$ , $N(-1;6;-3)$ . Mặt cầu đường kính $MN$ có phương trình là:

A
$\displaystyle (x+1)^2 + (y+2)^2 + (z+1)^2 = 6$
B
$\displaystyle (x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-1)^2 = 6$
C
$\displaystyle (x+1)^2 + (y+2)^2 + (z+1)^2 = 36$
D
$\displaystyle (x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-1)^2 = 36$

Câu 12

Một viên gạch hoa hình vuông cạnh $40\text{cm}$ . Người thiết kế đã sử dụng bốn đường parabol có chung đỉnh tại tâm viên gạch để tạo ra bốn cánh hoa (được tô đen như hình vẽ dưới).

Viên gạch hoa hình vuông với bốn cánh hoa tô đen tạo bởi bốn parabol chung đỉnh tại tâm

Diện tích mỗi cánh hoa của viên gạch bằng

A
$\displaystyle 800\text{ cm}^2$
B
$\displaystyle \frac{800}{3}\text{ cm}^2$
C
$\displaystyle \frac{400}{3}\text{ cm}^2$
D
$\displaystyle 250\text{ cm}^2$

Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai4,0 điểm

Câu 1

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A_1B_1C_1$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$ , $AB = AC = a$ và cạnh bên $AA_1 = a\sqrt{2}$ (tham khảo hình vẽ)

Hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có đáy là tam giác vuông cân tại A

a)
Thể tích của khối lăng trụ $ABC.A_1B_1C_1$ bằng $\frac{a^3\sqrt{2}}{2}$
b)
Góc giữa hai đường thẳng $BC_1$ và $AC$ bằng $60^o$
c)
Khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(A_{1}BC_{1})$ bằng $\dfrac{a\sqrt{6}}{6}$
d)
Gọi $M, N$ lần lượt là hai điểm di động trên các đoạn thẳng $A_{1}C_{1}$ và $BC_{1}$ sao cho $MN = \dfrac{a}{2}$ . Thể tích của khối chóp $A.A_{1}BNM$ có giá trị nhỏ nhất bằng $\dfrac{7\sqrt{2}}{48}a^{3}$ .

Câu 2

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ , có bảng biến thiên như sau:

\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x & -\infty & & 0 & & 3 & & +\infty \\ \hline f'(x) & & - & 0 & - & 0 & + & \\ \hline & 2 & & & & +\infty & & +\infty \\ f(x) & & \searrow & & \Big|\Big| & & \searrow & & \nearrow \\ & & & -\infty & & & 2 & & \\ \hline \end{array}

a)
Hàm số $f(x)$ đạt cực tiểu tại $x = 3$
b)
Trên đoạn $[1;2]$ , hàm số $y = 2 + \sqrt{f(x) - 2}$ có giá trị nhỏ nhất bằng $2$
c)
Hàm số $f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(-\infty;3)$
d)
Trên khoảng $(-3;-1)$ , hàm số $y = 2025 + 2024f(f(x) - 2)$ nghịch biến

Câu 3

Cho parabol $(P): y = x^{2}$ và một đường thẳng $d$ thay đổi cắt $(P)$ tại hai điểm $A, B$ . Giả sử $A(a;a^{2})$ và $B(b;b^{2}) (b > a)$ sao cho $AB = 2024$ . Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(P)$ và đường thẳng $d$ .

a)
Phương trình đường thẳng $d$ là: $y = (a+b)x - ab$
b)
$S = \dfrac{1}{3}(b-a)^{3}$
c)
Giá trị lớn nhất $S_{\max}$ của $S$ là $S_{\max} = \dfrac{2024^{3}}{5}$
d)
Giá trị lớn nhất $S_{\max}$ của $S$ xảy ra khi $a = -1012$ và $b = 1012$

Câu 4

Một công ty xây dựng đấu thầu $3$ dự án $X, Y$ và $Z$ . Xác suất để ba dự án $X, Y$ và $Z$ trúng thầu tương ứng là $x, y$ và $0,8$ $(x > y)$ . Biết rằng xác suất để ít nhất một trong ba dự án trúng thầu là $0,964$ và xác suất để cả ba dự án đều trúng thầu là $0,224$ . Giả sử việc trúng thầu của ba dự án $X, Y$ và $Z$ là độc lập với nhau. Gọi $A$ là biến cố: “Có ít nhất một trong ba dự án trúng thầu” và $B$ là biến cố: “Cả ba dự án trúng thầu”.

a)
Biến cố đối của biến cố $A$ là $\overline{A}$ : “Cả ba dự án đều không trúng thầu”
b)
Xác suất để xảy ra biến cố $B$ là $P(B) = 0,8xy$
c)
Xác suất để dự án $X$ trúng thầu là $0,6$
d)
Xác suất để có đúng hai dự án trúng thầu là $0,488$

Phần III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn3,0 điểm

Câu 1

Một lớp học có tổng số $36$ học sinh, trong đó số học sinh nam nhiều hơn số học sinh nữ. Lớp học được phân thành hai nhóm, nhóm $1$ gồm các học sinh nam và nhóm $2$ gồm các học sinh nữ để khảo sát về kĩ năng bơi của học sinh. Biết mỗi học sinh chỉ tích chọn một trong hai hình thức: biết bơi hoặc chưa biết bơi và nhóm nào cũng có cả hai hình thức. Lấy ngẫu nhiên mỗi nhóm một học sinh, xác suất lấy được hai học sinh biết bơi là $\dfrac{140}{299}$ . Biết số học sinh nữ biết bơi là số lẻ, Số học sinh nam biết bơi là................................................

Trả lời:

Câu 2

Một chuỗi nhà hàng ăn nhanh bán đồ ăn từ $10h00$ sáng đến $22$ h $00$ mỗi ngày. Nhân viên phục vụ của nhà hàng làm việc theo hai ca, mỗi ca $8$ tiếng, ca I từ $10$ h $00$ đến $18$ h $00$ và ca II từ $14$ h $00$ đến $22$ h $00$ . Tiền lương của nhân viên được tính theo giờ (bảng bên).

\begin{array}{|l|l|} \hline \text{Khoảng thời gian làm việc} & \text{Tiền lương/giờ} \\ \hline 10h00-18h00 & 20.000 \text{ đồng} \\ \hline 14h00-22h00 & 22.000 \text{ đồng} \\ \hline \end{array}

Để mỗi nhà hàng hoạt động được thì cần tối thiểu 6 nhân viên trong khoảng $10h00 - 18h00$ , tối thiểu 24 nhân viên trong thời gian cao điểm $14h00 - 18h00$ và không quá 20 nhân viên trong khoảng $18h00 - 22h00$ . Do lượng khách trong khoảng $14h00 - 22h00$ thường đông hơn nên nhà hàng cần số nhân viên ca II ít nhất phải gấp đôi số nhân viên ca I. Em hãy giúp chủ chuỗi nhà hàng chỉ ra cách huy động số lượng nhân viên cho ca II sao cho chi phí tiền lương mỗi ngày là ít nhất.

Trả lời:

Câu 3

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $M(3;3;-2)$ và hai đường thẳng

d_{1}: \frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{3} = \frac{z}{1}; d_{2}: \frac{x+1}{-1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-2}{4}.

Đường thẳng $d$ đi qua $M$ cắt $d_{1}$ , $d_{2}$ lần lượt tại $A$ và $B$ . Độ dài đoạn thẳng $AB$ bằng bao nhiêu?

Trả lời:

Câu 4

Anh Nam có một cái ao với diện tích $50m^{2}$ để nuôi cá diêu hồng. Vụ vừa qua, anh nuôi với mật độ $20\text{con}/m^{2}$ và thu được $1,5$ tấn cá thành phẩm. Theo kinh nghiệm nuôi cá của mình anh thấy cứ thả giảm đi $8\text{con}/m^{2}$ thì mỗi con cá thành phẩm thu được tăng thêm $0,5kg$ . Để tổng năng suất cao nhất thì vụ tới anh nên mua bao nhiêu cá giống để thả? (giả sử không có hao hụt trong quá trình nuôi)

Trả lời:

Câu 5

Một công ty dược phẩm giới thiệu một dụng cụ để kiểm tra sớm bệnh sốt xuất huyết. Về báo cáo kiểm định chất lượng của sản phẩm, họ cho biết như sau: Số người được thử là $8.000$ , trong số đó có $1.200$ người đã bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết và có $6.800$ người không bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết. Nhưng khi kiểm tra lại bằng dụng cụ của công ty, trong $1.200$ người đã bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết, có $70\%$ số người đó cho kết quả dương tính, còn lại cho kết quả âm tính. Trong $6.800$ người không bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết, có $5\%$ số người đó cho kết quả dương tính, còn lại cho kết quả âm tính. Xác suất mà một bệnh nhân với kết quả kiểm tra dương tính là bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết bằng bao nhiêu? (viết kết quả dưới dạng số thập phân và làm tròn đến hàng phần trăm).

Trả lời:

Câu 6

Trong không gian $Oxyz$ , cho bốn điểm $A(1;1;2), B(2;2;4), C(2;0;1), D(3;1;0)$ . Hai mặt phẳng $(P)$ , $(Q)$ vuông góc với nhau, cùng đi qua hai điểm $A, B$ và cắt đường thẳng $CD$ tại hai điểm $M, N$ . Độ dài $MN$ ngắn nhất bằng bao nhiêu? (viết kết quả dưới dạng số thập phân và làm tròn đến hàng phần trăm)

Trả lời:

HẾT