Đăng nhập

Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 năm 2024–2025 — Sở GD&ĐT Vĩnh PhúcMã đề 101

Thời gian
90 phút
Số câu
30 câu
Đáp án
Có đáp án
Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn — 15 câu · 9,0 điểm
Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai — 5 câu · 5,0 điểm
Phần III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn — 10 câu · 6,0 điểm

Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn9,0 điểm

Câu 1

Thống kê điểm trung bình môn Toán của một số học sinh lớp 12 ta được mẫu số liệu sau:

Khoảng điểm trung bıˋnh[6,5;7)[7;7,5)[7,5;8)[8;8,5)[8,5;9)[9;9,5)[9,5;10]Soˆˊ học sinh81016241374\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Khoảng điểm trung bình} & [6,5;7) & [7;7,5) & [7,5;8) & [8;8,5) & [8,5;9) & [9;9,5) & [9,5;10] \\ \hline \text{Số học sinh} & 8 & 10 & 16 & 24 & 13 & 7 & 4 \\ \hline \end{array}

Tìm hiệu của tứ phân vị thứ ba và tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu đã cho (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

  1. A

    7,58

  2. B

    8,63

  3. C

    1,05

  4. D

    1,06

Câu 2

Cho tam giác đều ABCABC, lấy điểm DD thỏa mãn DC→=2BD→\overrightarrow{DC}=2\overrightarrow{BD}. Gọi RR và rr lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của tam giác ADCADC. Tỉ số Rr\dfrac{R}{r} bằng

  1. A

    7+579\displaystyle \dfrac{7+5\sqrt{7}}{9}

  2. B

    5+779\displaystyle \dfrac{5+7\sqrt{7}}{9}

  3. C

    7+559\displaystyle \dfrac{7+5\sqrt{5}}{9}

  4. D

    52\displaystyle \dfrac{5}{2}

Câu 3

Giá trị cực tiểu của hàm số y=x3−3x2−9x+2y=x^{3}-3x^{2}-9x+2 là

  1. A

    7\displaystyle 7

  2. B

    3\displaystyle 3

  3. C

    −25\displaystyle -25

  4. D

    −20\displaystyle -20

Câu 4

Cho hàm số y=ax−bbx+1y=\dfrac{ax-b}{bx+1} có đồ thị (C)(C). Nếu (C)(C) có tiệm cận ngang là đường thẳng y=2y=2 và tiệm cận đứng là đường thẳng x=13x=\dfrac{1}{3} thì các giá trị aa và bb lần lượt là

  1. A

    −3-3 và −6-6

  2. B

    −16-\dfrac{1}{6} và −12-\dfrac{1}{2}

  3. C

    −12-\dfrac{1}{2} và −16-\dfrac{1}{6}

  4. D

    −6-6 và −3-3

Câu 5

Trong không gian với hệ trục tọa độ OxyzOxyz, cho vectơ a⃗=(1;−2;4)\vec{a}=(1;-2;4) và vectơ b⃗=(x0;y0;z0)\vec{b}=(x_{0};y_{0};z_{0}). Biết vectơ b⃗\vec{b} cùng phương với vectơ a⃗\vec{a}, vectơ b⃗\vec{b} tạo với tia OyOy một góc nhọn và ∣b⃗∣=21|\vec{b}|=\sqrt{21}. Giá trị của tổng x0+y0+z0x_{0}+y_{0}+z_{0} bằng

  1. A

    −3\displaystyle -3

  2. B

    3\displaystyle 3

  3. C

    −6\displaystyle -6

  4. D

    6\displaystyle 6

Câu 6

Đường cong trong hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số y=ax3+bx2+cx+dy=ax^{3}+bx^{2}+cx+d. Khẳng định nào sau đây đúng?

Đồ thị hàm số $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$
  1. A

    a>0,b>0,c>0,d<0\displaystyle a>0,b>0,c>0,d<0

  2. B

    a>0,b<0,c>0,d>0\displaystyle a>0,b<0,c>0,d>0

  3. C

    a>0,b>0,c<0,d>0\displaystyle a>0,b>0,c<0,d>0

  4. D

    a>0,b<0,c<0,d>0\displaystyle a>0,b<0,c<0,d>0

Câu 7

Biết đồ thị hàm số y=x2−x−1x−2y=\dfrac{x^2-x-1}{x-2} có hai điểm cực trị. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là

  1. A

    x+2y−1=0\displaystyle x+2y-1=0

  2. B

    2x−y−1=0\displaystyle 2x-y-1=0

  3. C

    2x−y−3=0\displaystyle 2x-y-3=0

  4. D

    x−2y−1=0\displaystyle x-2y-1=0

Câu 8

Cho hàm số y=f(x)y=f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây:

Bảng biến thiên của hàm số y = f(x)
x−∞−13+∞f′(x)+0−∣∣+2+∞f(x)↗↘↗−∞−2\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x & -\infty & & -1 & & 3 & & +\infty \\ \hline f'(x) & & + & 0 & - & || & + & \\ \hline & & & 2 & & & & +\infty \\ f(x) & & \nearrow & & \searrow & & \nearrow & \\ & -\infty & & & & -2 & & \\ \hline \end{array}

Khẳng định nào sau đây sai?

  1. A

    Hàm số đồng biến trên khoảng (3;+∞)(3;+\infty)

  2. B

    Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;2)(-\infty;2)

  3. C

    Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1;3)(-1;3)

  4. D

    Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;−1)(-\infty;-1)

Câu 9

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số mm để giá trị nhỏ nhất của hàm số y=x+2m2−mx−3y=\dfrac{x+2m^2-m}{x-3} trên đoạn [0;1][0;1] bằng −2-2

  1. A

    m=−1m=-1 hoặc m=32m=\dfrac{3}{2}

  2. B

    m=−2m=-2 hoặc m=32m=\dfrac{3}{2}

  3. C

    m=1m=1 hoặc m=−32m=-\dfrac{3}{2}

  4. D

    m=2m=2 hoặc m=−32m=-\dfrac{3}{2}

Câu 10

Trong không gian với hệ trục tọa độ OxyzOxyz, cho tam giác ABCABC có A(1;−1;−2)A(1;-1;-2) và trọng tâm G(2;1;−3).G(2;1;-3). Tọa độ của vectơ u⃗=AB→+AC→\vec{u}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} là

  1. A

    (3;6;−3)\displaystyle (3;6;-3)

  2. B

    (3;6;3)\displaystyle (3;6;3)

  3. C

    (3;−3;6)\displaystyle (3;-3;6)

  4. D

    (3;2;1)\displaystyle (3;2;1)

Câu 11

Khảo sát nhu cầu bồi dưỡng đánh giá năng lực với ba môn Vật lí, Hóa học, Sinh học của lớp 12A có sĩ số 40 học sinh và thu được kết quả như sau: Tất cả học sinh của lớp đều có nhu cầu học ít nhất một trong ba môn trên, trong đó số học sinh đăng kí học đúng một môn nhiều gấp 3 lần số học sinh đăng kí học cả ba môn và có 24 học sinh đăng kí học môn Vật lí, 20 học sinh đăng kí học môn Hóa học, 22 học sinh đăng kí học môn Sinh học. Hỏi cả lớp có bao nhiêu học sinh đăng kí học đúng hai môn?

  1. A

    21

  2. B

    17

  3. C

    12

  4. D

    14

Câu 12

Cho hàm số y=x+1x−1.y=\dfrac{x+1}{x-1}. Khẳng định nào sau đây đúng?

  1. A

    Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;1)(-\infty;1)

  2. B

    Hàm số nghịch biến trên tập R∖{1}\mathbb{R}\setminus\{1\}

  3. C

    Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;1)(-\infty;1) và khoảng (1;+∞)(1;+\infty)

  4. D

    Hàm số đồng biến trên khoảng (0;+∞)(0;+\infty)

Câu 13

Trong một buổi hoạt động ngoại khóa của trường THPT X có tổ chức chương trình rút thăm trúng thưởng. Ban tổ chức chuẩn bị một hộp kín chứa phiếu rút thăm gồm có: 7,5%7,5\% lượng phiếu trúng phần thưởng là hộp bút, 5%5\% lượng phiếu trúng phần thưởng là quyển vở, 2,5%2,5\% lượng phiếu trúng phần thưởng là cặp sách và còn lại là các phiếu không trúng thưởng. Với mỗi học sinh được tham gia chương trình chỉ rút thăm đúng một lần và rút ngẫu nhiên một phiếu trong hộp nhằm xác định phần thưởng rồi trả lại phiếu vào hộp để cho học sinh tiếp theo rút thăm. Hai học sinh A và B đều được tham gia rút thăm. Tính xác suất để cả hai học sinh đó đều được nhận thưởng và hai phần thưởng là khác nhau.

  1. A

    9400\displaystyle \frac{9}{400}

  2. B

    11800\displaystyle \frac{11}{800}

  3. C

    21800\displaystyle \frac{21}{800}

  4. D

    7800\displaystyle \frac{7}{800}

Câu 14

Trong không gian với hệ trục tọa độ OxyzOxyz, cho ΔABC\Delta ABC biết A(2;0;0)A(2;0;0), B(0;2;0)B(0;2;0), C(1;1;3)C(1;1;3). Điểm H(x0;y0;z0)H(x_{0};y_{0};z_{0}) là chân đường cao hạ từ đỉnh AA xuống BCBC. Khi đó x0+y0+z0x_{0}+y_{0}+z_{0} bằng

  1. A

    389\displaystyle \frac{38}{9}

  2. B

    3011\displaystyle \frac{30}{11}

  3. C

    3411\displaystyle \frac{34}{11}

  4. D

    1134\displaystyle \frac{11}{34}

Câu 15

Khẳng định nào sau đây đúng?

  1. A

    lim⁡x→−∞−x2+x−4x−1=−∞\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{-x^{2}+x-4}{x-1} = -\infty

  2. B

    lim⁡x→−∞−x2+x−4x−1=4\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{-x^{2}+x-4}{x-1} = 4

  3. C

    lim⁡x→−∞−x2+x−4x−1=+∞\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{-x^{2}+x-4}{x-1} = +\infty

  4. D

    lim⁡x→−∞−x2+x−4x−1=−1\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{-x^{2}+x-4}{x-1} = -1

Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai5,0 điểm

Câu 1

Một cửa hàng kinh doanh quần áo, chuyên nhập và bán sản phẩm cho một hãng thời trang. Cửa hàng nhập và bán hai loại sản phẩm là sản phẩm cao cấp và sản phẩm phổ thông. Mỗi sản phẩm cao cấp có giá nhập vào là 2.000.000 đồng và bán ra với giá 2.500.000 đồng, mỗi sản phẩm phổ thông có giá nhập vào là 350.000 đồng và bán ra với giá 400.000 đồng. Mỗi tháng cửa hàng luôn nhập và bán hết 15 sản phẩm cao cấp, với sản phẩm phổ thông cửa hàng nhập và bán theo số lượng thay đổi đáp ứng nhu cầu của thị trường. Biết chi phí cố định của cửa hàng mỗi tháng là 2.000.000 đồng (gồm tiền thuê cửa hàng, thuê nhân viên bán hàng, tiền điện, nước,...). Giả sử một tháng cửa hàng nhập và bán ra được xx sản phẩm phổ thông, khi đó tiền lãi trung bình cho mỗi sản phẩm được bán ra trong tháng (gồm cả hai loại sản phẩm bán ra) là hàm số L(x)L(x) đồng/sản phẩm.

  1. a)

    L(x)=50.000x+7.500.000x+15L(x) = \frac{50.000x+7.500.000}{x+15} (với x∈Nx \in \mathbb{N})

  2. b)

    Tiền lãi trung bình cho mỗi sản phẩm bán ra trong tháng sẽ tăng lên khi sản phẩm phổ thông bán ra trong tháng tăng lên

  3. c)

    Nếu mỗi tháng cửa hàng bán được 485 sản phẩm phổ thông thì tiền lãi trung bình mỗi sản phẩm đã bán ra trong tháng ấy là 23.500 đồng/sản phẩm

  4. d)

    Khi xx tăng lên thì tiền lãi trung bình mỗi sản phẩm bán ra trong tháng cũng tăng nhưng không vượt quá 45.500 đồng/sản phẩm

Câu 2

Bạn A tìm mua được các miếng dán cùng loại, cùng màu và có cùng kích thước 1m×3m1m \times 3m dùng để trang trí kín một mảng tường hình chữ nhật có kích thước là 3×n3 \times n (với nn là số nguyên dương, các kích thước có đơn vị đo là mét). Mỗi miếng dán có thể dán ngang hoặc dọc sao cho đảm bảo không có miếng dán nào bị cắt và không có miếng dán nào chồng lên nhau. (Miếng dán và mảng tường cần trang trí có dạng như hình vẽ).

Miếng dán 1×3 và mảng tường hình chữ nhật kích thước 3×n

  1. a)

    Nếu mảng tường có kích thước 3m×2m3m \times 2m thì bạn A phải dùng hai miếng dán và chỉ có duy nhất 1 cách dán là xoay dọc cả hai miếng dán

  2. b)

    Nếu mảng tường có kích thước 3m×3m3m \times 3m thì bạn A phải dùng 3 miếng dán và chỉ có đúng 2 cách dán là xoay dọc cả 3 miếng hoặc xoay ngang cả 3 miếng

  3. c)

    Nếu mảng tường có kích thước 3m×6m3m \times 6m thì bạn A sẽ có tất cả 4 cách dán

  4. d)

    Mảng tường thực tế bạn A cần dán có kích thước 3m×14m3m \times 14m, khi đó bạn A có tất cả 129 cách dán

Câu 3

Trong không gian với hệ trục tọa độ OxyzOxyz, cho hình vuông ABCDABCD có B(3;0;8)B(3;0;8), D(−5;−4;0)D(-5;-4;0). Biết đỉnh AA thuộc mặt phẳng (Oxy)(Oxy) và có tọa độ là những số nguyên, khi đó:

  1. a)

    Độ dài vectơ CA→+CB→\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB} bằng 6106\sqrt{10}

  2. b)

    Điểm EE thuộc trục OxOx sao cho tam giác BCEBCE vuông tại BB, khi đó độ dài CECE bằng 7\sqrt{7}

  3. c)

    Trọng tâm của tam giác ABCABC có tọa độ là (13;−43;163)\left(\dfrac{1}{3}; -\dfrac{4}{3}; \dfrac{16}{3}\right)

  4. d)

    Điểm M(x;y;z)M(x; y; z) thuộc đường thẳng CDCD sao cho ∣MA→+2MB→∣\left|\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB}\right| đạt giá trị nhỏ nhất, khi đó x+y+z=6x + y + z = 6

Câu 4

Cho hàm số bậc ba y=f(x)=ax3+bx2+cx+dy = f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ dưới đây:

Đồ thị hàm số bậc ba với điểm cực đại tại $(0;2)$ và điểm cực tiểu tại $(2;-2)$
  1. a)

    Hàm số đạt cực đại tại điểm x=2x = 2

  2. b)

    Đường cong trên là đồ thị hàm số f(x)=x3−3x2+2f(x) = x^3 - 3x^2 + 2

  3. c)

    Có tất cả 3 giá trị nguyên của tham số mm để phương trình f(x)=mf(x) = m có 3 nghiệm phân biệt

  4. d)

    Gọi MM và mm lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f(2sin⁡x+1)y = f(2\sin x + 1), khi đó M+m=5M + m = 5

Câu 5

Cho hàm số y=f(x)y = f(x) có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Gọi II là giao điểm của hai đường tiệm cận.

Đồ thị hàm số $y = f(x)$ có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận xiên, điểm cực đại $(-1;0)$, điểm cực tiểu $(3;8)$ và giao điểm hai tiệm cận $I(1;4)$
  1. a)

    Hàm số y=f(x)y = f(x) đồng biến trên từng khoảng (−∞;1)(-\infty;1) và (1;+∞)(1;+\infty)

  2. b)

    Hàm số y=f(x)y = f(x) đạt cực đại tại x=−1x = -1 và đạt cực tiểu tại x=3x = 3

  3. c)

    Hàm số y=f(x)y = f(x) có đồ thị đã cho ở trên là y=x2+2x+1x−1y = \dfrac{x^2 + 2x + 1}{x - 1}

  4. d)

    Điểm MM có hoành độ dương trên đồ thị hàm số y=f(x)y = f(x) sao cho khoảng cách từ MM đến điểm II nhỏ nhất, khi đó hoành độ điểm MM là 22+1\sqrt{2\sqrt{2}+1}

Phần III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn6,0 điểm

Câu 1

Cho hàm số y=f(x)y = f(x). Biết hàm số y=f′(x)y = f'(x) có đồ thị như hình dưới đây.

Đồ thị hàm số $y = f'(x)$

Hàm số g(x)=2f(x)+(1−x)2g(x) = 2f(x) + (1 - x)^2 đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn [−4;3][-4;3] tại điểm nào?

Trả lời:

Câu 2

Trong một buổi ngoại khóa có 20 học sinh được xếp thành một vòng tròn để tham gia trò chơi. Tuy nhiên, người dẫn chương trình nhận thấy điều kiện sân khấu hẹp nên cần rút bớt 6 học sinh ra khỏi vòng tròn đã xếp sẽ hợp lí hơn. Tính xác suất để người dẫn chương trình rút ngẫu nhiên ra khỏi vòng tròn đã xếp 6 học sinh mà không có hai học sinh nào đứng cạnh nhau. (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Trả lời:

Câu 3

Trong không gian với hệ trục tọa độ OxyzOxyz, cho ba điểm A(1;−2;1)A(1;-2;1), B(0;2;−1)B(0;2;-1), C(2;−3;1)C(2;-3;1). Điểm M(xM;yM;zM)M(x_M;y_M;z_M) thỏa mãn T=MA2−MB2+MC2T = MA^2 - MB^2 + MC^2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị biểu thức P=xM2+2yM2+3zM2P = x_M^2 + 2y_M^2 + 3z_M^2.

Trả lời:

Câu 4

Gọi SS là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số mm để đồ thị hàm số y=x−12x2−2x−m−x−1y = \dfrac{x-1}{\sqrt{2x^2 - 2x - m} - x - 1} có đúng bốn đường tiệm cận. Tìm số phần tử của tập hợp SS.

Trả lời:

Câu 5

Hai chiếc flycam được điều khiển cùng bay lên tại một địa điểm. Sau một thời gian bay, chiếc flycam thứ nhất cách mặt đất 5m5m, cách điểm xuất phát 3m3m về phía nam và 2m2m về phía đông. Chiếc flycam thứ hai cách mặt đất 5m5m, cách điểm xuất phát 6m6m về phía bắc và 6m6m về phía tây. Chọn hệ trục tọa độ OxyzOxyz với gốc OO đặt tại điểm xuất phát của hai chiếc flycam, mặt phẳng (Oxy)(Oxy) trùng với mặt đất (coi như phẳng) có trục OxOx hướng về phía nam, trục OyOy hướng về phía đông và trục OzOz hướng thẳng đứng lên trời (đơn vị đo mỗi trục là mét). Trên mặt đất, người ta xác định được một vị trí sao cho tổng khoảng cách từ vị trí đó đến hai chiếc flycam ngắn nhất. Hỏi khoảng cách từ điểm xuất phát đến vị trí đó bằng bao nhiêu mét?

Trả lời:

Câu 6

Cho hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số y=f(x)y = f(x).

Đồ thị hàm số $y = f(x)$

Gọi SS là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số mm để hàm số y=∣f(x−1)+m∣y = |f(x-1) + m| có đúng 55 điểm cực trị. Tổng các phần tử của tập hợp SS bằng bao nhiêu?

Trả lời:

Câu 7

Một hộ làm nghề dệt vải lụa tơ tằm sản xuất mỗi ngày được xx mét vải lụa (với 1≤x≤181 \le x \le 18). Tổng chi phí sản xuất xx mét vải lụa cho bởi hàm chi phí C(x)=x3−3x2−20x+500C(x) = x^3 - 3x^2 - 20x + 500 (đơn vị nghìn đồng). Giả sử hộ làm nghề dệt này bán hết sản phẩm mỗi ngày với giá 220220 nghìn đồng/mét. Gọi L(x)L(x) là lợi nhuận thu được khi bán xx mét vải lụa. Hỏi lợi nhuận tối đa của hộ làm nghề dệt vải lụa tơ tằm đó trong một ngày bằng bao nhiêu (đơn vị nghìn đồng)?

Trả lời:

Câu 8

Cho hàm số y=x2+mx+2mx+1y = \frac{x^2 + mx + 2m}{x+1}. Gọi SS là tập hợp tất cả các giá trị của tham số mm để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A,BA, B và tam giác OABOAB vuông tại OO. Tính tổng các phần tử của tập hợp SS.

Trả lời:

Câu 9

Cho hình chóp S.ABCDS.ABCD thỏa mãn SA=5,SB=SC=SD=AB=BC=CD=DA=3SA = \sqrt{5}, SB = SC = SD = AB = BC = CD = DA = \sqrt{3}. Gọi MM là trung điểm của cạnh BCBC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SM,CDSM, CD. (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Trả lời:

Câu 10

Cho các số thực dương x,y,zx, y, z thỏa mãn đồng thời các điều kiện 1log⁡2x+1log⁡2y+1log⁡2z=12024\frac{1}{\log_2 x} + \frac{1}{\log_2 y} + \frac{1}{\log_2 z} = \frac{1}{2024} và log⁡2(xyz)=2024\log_2(xyz) = 2024. Tính giá trị biểu thức T=log⁡2[xyz(x+y+z)−xy−yz−zx+1]T = \log_2[xyz(x + y + z) - xy - yz - zx + 1].

Trả lời:
HẾT
Đăng nhập để làm bài