Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 9 năm 2026 — Sở GD&ĐT Hà Nội

Thời gian: 150 phút
Số câu: 5 câu
Đáp án: Có đáp án

Câu I

5,0 điểm

1)
Giải phương trình $x + 4\sqrt{5 - x} = 9$ .
2)
Cho $a, b, c$ là các số thực đôi một khác nhau thỏa mãn $(a^{2} + 1)(b + c) = (b^{2} + 1)(c + a) = -10$ . Tính giá trị của biểu thức $P = (a + b)(b + c)(c + a)$ .

Câu II

5,0 điểm

1)
Một tiệm bánh ngọt dự định sản xuất hai loại bánh cho một đơn hàng. Lượng đường cần cho mỗi chiếc bánh loại I và loại II lần lượt là 40 g và 60 g. Lợi nhuận thu được khi bán mỗi chiếc bánh loại I và loại II lần lượt là 12 nghìn đồng và 15 nghìn đồng. Biết rằng tiệm chỉ còn 14 kg đường để làm bánh và tiệm phải làm ít nhất 80 chiếc bánh loại I và 100 chiếc bánh loại II. Hỏi tiệm nên làm bao nhiêu chiếc bánh mỗi loại để lợi nhuận thu được là lớn nhất?
2)
Cho các số nguyên dương $a, b, c$ thỏa mãn $a^{2} - 6b^{2} = 1$ và $a^{2} + 4ab + 4b^{2} = 11c + 1$ . Chứng minh $c$ chia hết cho 40.

Câu III

2,0 điểm

Với $a, b, c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a + b + c = 1$ , tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{a(1 - b)}{3 - a} + \frac{b(1 - c)}{3 - b} + \frac{c(1 - a)}{3 - c}$ .

Câu IV

6,0 điểm

Cho tam giác nhọn $ABC$ $(AB < AC)$ , các đường cao $AD, BE, CF$ đồng quy tại điểm $H$ .

1)
Gọi $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $BC$ . Chứng minh bốn điểm $D, F, E, I$ cùng thuộc một đường tròn.
2)
Đường thẳng $DF$ cắt đường thẳng $BH$ tại điểm $K$ . Gọi $L$ là điểm đối xứng với điểm $K$ qua điểm $H$ . Gọi $P$ là giao điểm của đường thẳng $IE$ và đường thẳng $CH$ . Chứng minh đường thẳng $LP$ song song với đường thẳng $HI$ .
3)
Đường thẳng qua điểm $B$ và vuông góc với $AB$ cắt đường trung trực của đoạn thẳng $BE$ tại điểm $G$ . Gọi $Q$ là điểm đối xứng với điểm $D$ qua điểm $H$ . Chứng minh $\widehat{EQL} = \widehat{EGC}$ .

Câu V

2,0 điểm

1)
Tìm tất cả số nguyên tố $p, q$ để $pq + p + 4$ và $pq + q + 4$ đồng thời là các số chính phương.
2)
Hai bạn An và Bình cùng nhau tiết kiệm tiền để ủng hộ người nghèo. Biết rằng hai bạn bắt đầu tiết kiệm vào cùng một ngày. Sau 365 ngày, mỗi bạn đều tiết kiệm được một triệu đồng. Chứng minh trong 365 ngày nói trên, tồn tại 183 ngày mà tổng số tiền tiết kiệm của mỗi bạn trong 183 ngày đó không nhỏ hơn 500.000 đồng.

HẾT