Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 9 năm 2024–2025 — Sở GD&ĐT Sóc Trăng

Câu 1

4,0 điểm

Cho biểu thức $P = \dfrac{2\sqrt{x}}{x - 4\sqrt{x} + 3} + \dfrac{2 - \sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} + \dfrac{2\sqrt{x} - 5}{\sqrt{x} - 3}$ với $x \ge 0$ và $x \ne 1, x \ne 9$ .

a)
Rút gọn biểu thức $P$ .
b)
Tìm tất cả các số nguyên $x$ sao cho $P$ nhận giá trị là số chẵn.

Câu 2

4,0 điểm

a)
Một con ếch đang ở giữa một bảng có $5 \times 5$ ô vuông được tô hai màu trắng và đen (như hình vẽ). Mỗi bước nhảy con ếch nhảy sang một ô khác có chung cạnh hoặc chung đỉnh với ô trước đó. Tính xác suất sau hai bước nhảy con ếch ở ô màu đen.
b)
Tìm tất cả các số nguyên $x, y$ thoả mãn $x(x+2)(2x+1)(2x+5) = y^{2}$ .

Câu 3

4,0 điểm

a)
Giải hệ phương trình
$\begin{cases} \sqrt{3x + 2y + 5} - \sqrt{x + y} = 2 \\ 4x + 3y = 5 \end{cases}$
b)
Trên một cánh đồng trống tiếp giáp với một bờ sông, người nông dân dự định rào lại cánh đồng hình chữ nhật để trồng cây với diện tích cần rào là $180\,000 \text{ m}^{2}$ và không cần rào phía giáp bờ sông. Người nông dân cần chọn các kích thước cần rào như thế nào để độ dài của hàng rào là nhỏ nhất?

Câu 4

4,0 điểm

Cho hai đường tròn $(O; R)$ và $(O'; R')$ cắt nhau tại $A$ và $B$ $(R > R')$ . Vẽ hai tiếp tuyến chung của hai đường tròn đó, chúng cắt nhau ở $S$ . Gọi $C$ và $M$ là hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến trên với $(O; R)$ , $D$ là tiếp điểm của tiếp tuyến $SC$ với $(O'; R')$ (ba điểm $A, C$ và $D$ thuộc cùng nửa mặt phẳng bờ $SO$ ). Gọi $F$ là giao điểm của tia $BA$ với $CD$ .

a)
Chứng minh $FC^{2} = FA \cdot FB$ .
b)
Tia $SA$ cắt $(O; R)$ tại $E$ , $SO$ cắt $CM$ tại $H$ . Chứng minh tứ giác $AHOE$ nội tiếp.
c)
Chứng minh $\widehat{ADC} = \widehat{CAE}$ .

Câu 5

4,0 điểm

a)
Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $O$ , ngoại tiếp đường tròn tâm $I$ . Tia $AI$ cắt $BC$ tại $A_{1}$ và cắt đường tròn $(O)$ tại $A_{2}$ . Tương tự, lần lượt ta thu được các điểm $B_{1}, B_{2}$ và $C_{1}, C_{2}$ . Chứng minh rằng $A_{2}B = A_{2}C = A_{2}I$ và $\dfrac{A_{2}B + A_{2}C}{A_{1}A_{2}} + \dfrac{B_{2}A + B_{2}C}{B_{1}B_{2}} + \dfrac{C_{2}A + C_{2}B}{C_{1}C_{2}} \ge 12$ .
b)
Trên bàn có 2026 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 2026. Hai bạn An và Bình tiến hành trò chơi bằng cách thay phiên nhau lấy thẻ, đến lượt chơi mỗi bạn sẽ lấy một thẻ cho đến khi hết tấm thẻ trên bàn. Sau đó mỗi người cộng số trên các thẻ mà mình có, ai ra số chẵn sẽ thắng. Nếu An chơi trước thì bạn nào có chiến thuật để luôn thắng và chiến thuật đó như thế nào?