Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 9 (Bảng A) năm 2025–2026 — Sở GD&ĐT Nghệ An

Thời gian: 150 phút
Số câu: 6 câu
Đáp án: Có đáp án

Câu 1

2,5 điểm

a)
Chứng minh rằng $n^3 - 2029n$ chia hết cho $6$ với mọi số nguyên $n$ .
b)
Bạn An vào một cửa hàng để mua bút và vở. Biết giá mỗi chiếc bút là $10$ nghìn đồng, giá mỗi quyển vở là $23$ nghìn đồng và tổng số tiền An mua hai loại là $400$ nghìn đồng. Hỏi bạn An đã mua số lượng mỗi loại là bao nhiêu?

Câu 2

6,0 điểm

a)
Giải phương trình $(x^2 - x + 5)(x^2 - 3x + 5) = 15x^2$ .
b)
Giải hệ phương trình
$\begin{cases} y^3 - (y^2 + y + 1)x = 1 \\ (y - 1)(2026 - x^{2025}) = 2025 \end{cases}$

Câu 3

1,5 điểm

Anh Bình dự định mua $5$ tấm kính hình chữ nhật để ghép thành một bể cá có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp, đáy có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Biết kinh phí để mua kính là $1.080.000$ đồng và giá mua kính là $500.000$ đồng/m $^2$ . Hỏi anh Bình cần chọn các tấm kính có kích thước như thế nào để bể cá có thể tích lớn nhất? (Xem độ dày kính không đáng kể).

Câu 4

2,0 điểm

Lớp 9A trường THCS X có $40$ học sinh, trong đó số học sinh nữ nhiều hơn số học sinh nam $16$ bạn. Nhân dịp 20/10, các bạn nam chuẩn bị cho mỗi bạn nữ một món quà, trong đó có $4$ món quà đặc biệt (mỗi món chứa một chiếc áo) và mỗi món quà còn lại là một món đồ lưu niệm hoặc một loại bánh kẹo. Biết rằng số tiền trung bình mua các món đồ lưu niệm lớn hơn số tiền trung bình mua các loại bánh kẹo, đồng thời trung bình của hai số này bằng số tiền trung bình mua tất cả món đồ lưu niệm và bánh kẹo. Hoa là một bạn nữ trong lớp được phát ngẫu nhiên một món quà. Tính xác suất để Hoa nhận được món quà chứa đồ lưu niệm.

Câu 5

7,0 điểm

Cho đường tròn $(O)$ , biết $MA$ và $MB$ là hai tiếp tuyến của đường tròn đó ( $A, B$ là các tiếp điểm) thỏa mãn $\widehat{AMB} < 90^\circ$ . Trên cung nhỏ $AB$ của đường tròn $(O)$ lấy điểm $K$ ( $K \neq B$ ) sao cho $\widehat{AOK} > 90^\circ$ . Tiếp tuyến tại $K$ của đường tròn $(O)$ cắt $MA, MB$ lần lượt tại $E$ và $F$ .

a)
Chứng minh chu vi tam giác $MEF$ bằng $2MA$ .
b)
Gọi $C$ là giao điểm của tia $KO$ và đường tròn $(O)$ ( $C \neq K$ ), $D$ là giao điểm của $MC$ và $EF$ . Vẽ $MH$ vuông góc với đường thẳng $EF$ ( $H$ thuộc đường thẳng $EF$ ). Tia $OD$ cắt $MH$ tại $T$ . Chứng minh $\widehat{EOF} = \widehat{MAB}$ và $AH + BM > 2AT$ .
c)
Tính $\dfrac{DE^2 + 2025BF^2}{2026DE.BF}$ .

Câu 6

1,0 điểm

Tạo một mô hình như sau: Vẽ một đường tròn bán kính bằng $1$ và đường thẳng $d$ là tiếp tuyến của nó, bên trong đường tròn này ta vẽ thêm hữu hạn đường tròn có tổng độ dài đường kính bằng $4.049$ . Chứng minh rằng mô hình đó có không ít hơn $2026$ đường tròn và có thể dựng được một đường thẳng song song với $d$ đồng thời cắt các đường tròn của mô hình tại ít nhất $4.052$ điểm.

HẾT