Đề khảo sát học sinh giỏi Toán 9 năm 2025–2026 — Trường THPT chuyên Hà Nội — Amsterdam

Giải phương trình $3(x-1)(x-7)+4x\sqrt{x+1}=0$.

Với các số thực $a,b,c,d,e,f$ khác $-1$, thỏa mãn $be+cf=d$; $cf+ad=e$; $ad+be=f$ và $d+e+f \neq 0$. Tính giá trị của biểu thức $P=\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}$.

Với số nguyên dương $n$ thỏa mãn $5n+6$ và $6n+346$ đều là số chính phương, chứng minh rằng $23n-2025$ chia hết cho $88$.

Tìm các số nguyên dương $x,y$ thỏa mãn $(x+y)^7=2025x+162$.

Một khu dân cư dự định lắp đặt các trụ sạc cho xe điện để đảm bảo tổng công suất từ 1000 kW trở lên. Có hai loại trụ sạc: trụ sạc AC có công suất 22 kW, giá lắp đặt là 65 triệu đồng mỗi trụ; trụ sạc DC có công suất 30 kW, giá lắp đặt là 90 triệu đồng mỗi trụ. Hỏi khu dân cư nên lắp đặt bao nhiêu trụ sạc mỗi loại để tổng chi phí là nhỏ nhất?

Với các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=2$, tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\sqrt{a^2+bc}+\sqrt{b^2+ca}+\sqrt{c^2+ab}$.

Chứng minh $BO$ vuông góc với $DE$.

Chứng minh $IQ \cdot BC = HP \cdot OA$.

Gọi $M$ là trung điểm $AC$. Chứng minh $B,I,M$ thẳng hàng.

Chứng minh rằng tồn tại số nguyên $k$ để có ít nhất 2025 cặp số nguyên dương $(x,y)$ thỏa mãn $x^2-x=y^2-k$.

Một tập hợp $S$ chứa hữu hạn các số nguyên dương được gọi là có mức độ $n$ nếu với mọi $a,b \in S, a \neq b$, ta luôn có $n|a-b| \ge ab$.