Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 9 năm 2025 — Sở GD&ĐT Phú Yên

Câu 1

4,0 điểm

Cho biểu thức: $A = \left(\frac{x-1}{x+2\sqrt{x+1}+1} + \frac{1}{\sqrt{x+1}+2}\right) \times \frac{\sqrt{x+1}+1}{\sqrt{x+1}-1}$

a)
Tìm điều kiện xác định của $A$
b)
Chứng minh rằng: $A = \frac{\sqrt{x+1}+1}{\sqrt{x+1}}$
c)
Với giá trị nguyên nào của $x$ thì $A$ có giá trị nguyên.

Câu 2

3,0 điểm

Cho $\left\{\begin{array}{l} a = x + \frac{1}{x} \\ b = y + \frac{1}{y} \\ c = xy + \frac{1}{xy} \end{array}\right.$

và biểu thức $B = a^2 + b^2 + c^2 - abc$

Chứng minh rằng với mọi giá trị của $x, y$ thì biểu thức $B$ không phụ thuộc vào biến $x, y$ .

Câu 3

4,0 điểm

Giải phương trình sau: $x^2 + \left(\frac{x}{x-1}\right)^2 = \frac{5}{4}$

Câu 4

4,0 điểm

1)
Cho đường tròn tâm $(O)$ và hai dây cung $MN, PQ$ cắt nhau tại $I$ với cung $QN$ không chứa điểm $P$ và cung $MP$ không chứa điểm $Q$ . Chứng minh rằng: $\widehat{NIQ} = \frac{1}{2} sđ(\widehat{QN} + \widehat{MP})$ .
2)
Chứng minh rằng một tứ giác có tổng hai góc đối bằng $180$ độ là tứ giác nội tiếp.
3)
Trên đường tròn tâm $(O)$ lấy ba điểm $A, B, C$ sao cho $\widehat{AB} = \widehat{BC}$ . Dựng hai dây cung $BD$ và $BE$ , chúng cắt dây $AC$ lần lượt tại hai điểm $M$ và $N$ . Chứng minh rằng.
1. a)
  Tứ giác $EDMN$ là tứ giác nội tiếp
2. b)
  Nếu $AN = CM$ thì tứ giác $EDMN$ là hình gì? Vì sao?

Câu 5

3,0 điểm

Cho hai đường tròn $(O_1; R)$ và $(O_2; r)$ tiếp xúc ngoài tại $I$ $(R > r)$ . Một đường thẳng $d$ không đi qua $I$ đồng thời tiếp xúc với $(O_1; R)$ và $(O_2; r)$ lần lượt tại hai điểm $A, B$ . Gọi $H$ là chân đường cao kẻ từ $O_2$ đến cạnh $O_1A$ . Gọi $M$ là trung điểm của $AH$ , đường thẳng qua $M$ vuông góc với $AH$ cắt đường tròn $(O_1; R)$ tại điểm $K$ ( $K$ khác phía $I$ so với $AH$ ).

Chứng minh rằng:

a)
$AK = \sqrt{Rr}$ .
b)
Đường thẳng $KH$ tiếp xúc với $(O_2; r)$ .

Câu 6

2,0 điểm

Cho hai số $x \geq 0, y \geq 0$ . Chứng minh rằng: $\frac{(x-2y)(1-2xy)}{(x+1)^2(1+2y)^2} \leq \frac{1}{4}$