Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 9 năm 2025–2026 — Sở GD&ĐT Bắc NinhMã đề 194

Thời gian: 150 phút
Số câu: 21 câu
Đáp án: Có đáp án

Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn — 16 câu · 4,0 điểm

Phần II. Tự luận — 5 câu · 16,0 điểm

Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn4,0 điểm

Câu 1

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $BC = a$ và $\widehat{B} = 60^{\circ}$ . Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ là

A
$\displaystyle \frac{a\left(\sqrt{3}-1\right)}{4}$
B
$\displaystyle \frac{a\left(3-\sqrt{3}\right)}{4}$
C
$\displaystyle a\left(\sqrt{3}-1\right)$
D
$\displaystyle \frac{a\left(\sqrt{3}-1\right)}{2}$

Câu 2

Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất ba lần liên tiếp. Xác suất của biến cố “Số chấm xuất hiện tăng dần” là

A
$\displaystyle \frac{5}{54}$
B
$\displaystyle \frac{19}{216}$
C
$\displaystyle \frac{2}{27}$
D
$\displaystyle \frac{1}{12}$

Câu 3

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = \sqrt{(x-3)^2} + \sqrt{(x-5)^2}$ là

A
$\displaystyle \sqrt{3} + \sqrt{5}$
B
$\displaystyle 2$
C
$\displaystyle 8$
D
$\displaystyle 0$

Câu 4

Cho phương trình $x^{2} - 3x + 1 = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ . Giá trị của biểu thức $x_{1}^{2} + 3x_{2}$ là

A
$\displaystyle \frac{-11}{2}$
B
$\displaystyle \frac{7}{2}$
C
$\displaystyle 10$
D
$\displaystyle 8$

Câu 5

Lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng từ một hộp chứa 9 quả bóng được đánh số từ 1 đến 9. Tính xác suất để lấy được 2 quả bóng có tổng các số ghi trên hai quả bóng là một số chẵn.

A
$\displaystyle \frac{1}{6}$
B
$\displaystyle \frac{8}{9}$
C
$\displaystyle \frac{4}{9}$
D
$\displaystyle \frac{5}{18}$

Câu 6

Cho $A$ là tập hợp các số tự nhiên chẵn có ba chữ số khác nhau được lập ra từ các chữ số $0; 1; 2; 3; 4$ . Chọn ngẫu nhiên một phần tử của tập hợp $A$ . Số phần tử của không gian mẫu là

A
$\displaystyle 30$
B
$\displaystyle 15$
C
$\displaystyle 20$
D
$\displaystyle 10$

Câu 7

Một viên bi thép dạng hình cầu có khối lượng $5$ kg. Tính bán kính của viên bi theo đơn vị mét, biết rằng khối lượng riêng của thép làm viên bi là $7.800$ kg/m $^{3}$ .

A
$\displaystyle \sqrt{\frac{1}{6.240\pi}}$
B
$\displaystyle \sqrt[3]{\frac{1}{2080\pi}}$
C
$\displaystyle \sqrt{\frac{1}{2080\pi}}$
D
$\displaystyle \sqrt[3]{\frac{1}{6.240\pi}}$

Câu 8

Tất cả các giá trị của $m$ để hệ phương trình $\begin{cases} x - (m+1)y = -3 \\ x + my = m \end{cases}$ có nghiệm duy nhất $(x;y)$ sao cho $x + y > 0$ là

A
$\displaystyle m \ge \dfrac{-1}{2}$
B
$\displaystyle m > 1$
C
$\displaystyle m > \dfrac{-1}{2}$
D
$\displaystyle m \neq \dfrac{-1}{2}$

Câu 9

Tìm tất cả các số thực $m$ để phương trình $(x-2)(x^2-3x+2m-1)=0$ có ba nghiệm phân biệt.

A
$\displaystyle m > \dfrac{13}{8}$
B
$m < \dfrac{13}{8}$ và $m \neq \dfrac{3}{2}$
C
$\displaystyle m \ge \dfrac{13}{8}$
D
$\displaystyle m < \dfrac{13}{8}$

Câu 10

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB=3, AC=4$ , đường cao $AH$ . Điểm $I$ thuộc cạnh $AB$ sao cho $IA=2IB$ , $CI$ cắt $AH$ tại $E$ . Độ dài đoạn thẳng $CE$ là

A
$\displaystyle \dfrac{3\sqrt{33}}{2}$
B
$\displaystyle \dfrac{16\sqrt{5}}{11}$
C
$\displaystyle \dfrac{8\sqrt{13}}{13}$
D
$\displaystyle \dfrac{3\sqrt{5}}{2}$

Câu 11

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho parabol $(P): y=x^2$ và đường thẳng $(d): y=mx+1$ (với $m$ là tham số) cắt nhau tại $A$ và $B$ . Giá trị của tham số $m$ để đoạn thẳng $AB$ có độ dài nhỏ nhất là

A
$\displaystyle m=0$
B
$\displaystyle m=1$
C
$\displaystyle m=-1$
D
$\displaystyle m=2$

Câu 12

Cho đường thẳng $(d): y=(m-2)x-2m+5$ (với $m$ là tham số). Tìm $m$ để khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ tới đường thẳng $(d)$ đạt giá trị lớn nhất.

A
$\displaystyle m=\sqrt{5}$
B
$\displaystyle m=\sqrt{3}$
C
$\displaystyle m=0$
D
$\displaystyle m=2$

Câu 13

Cho hai đường tròn $(O;R)$ và $(O';2R)$ tiếp xúc ngoài với nhau tại $A$ . Một đường thẳng tiếp xúc với đường tròn $(O;R)$ tại $M$ và tiếp xúc với $(O';2R)$ tại $N$ ( $M,N$ là hai tiếp điểm khác $A$ ). Tính độ dài đoạn thẳng $MN$ theo $R$ .

A
$\displaystyle R\sqrt{10}$
B
$\displaystyle 2R$
C
$\displaystyle 2\sqrt{2}R$
D
$\displaystyle 4R$

Câu 14

Biết $\sqrt{\sqrt{9-4\sqrt{2}}+4}=a+b\sqrt{2}$ với $a,b$ là các số nguyên. Giá trị của biểu thức $a^3-b^3$ bằng

A
$\displaystyle -2$
B
$\displaystyle 6$
C
$\displaystyle 1$
D
$\displaystyle 0$

Câu 15

Cho $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn $a+b+c-10=2\left(\sqrt{a-7}+\sqrt{4b-32}+\sqrt{9c-81}\right)$ . Giá trị của biểu thức $a+2b-c$ bằng

A
$\displaystyle 7$
B
$\displaystyle 36$
C
$\displaystyle 32$
D
$\displaystyle 14$

Câu 16

Một thùng hình trụ có chiều cao bằng $1$ m, đường kính đáy $1$ m. Chiều cao mực nước trong thùng là $0,8$ m. Người ta đặt một vật thể dạng hình nón vào trong thùng sao cho đỉnh của hình nón trùng với tâm một đáy của hình trụ, đáy của hình nón trùng với đáy còn lại của hình trụ (như hình vẽ bên). Biết rằng nước không vào được bên trong hình nón. Hỏi thể tích nước bị tràn ra ngoài là bao nhiêu lít (giả sử độ dày của thành thùng và đáy thùng không đáng kể, kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

A
$\displaystyle 419$
B
$\displaystyle 105$
C
$\displaystyle 157$
D
$\displaystyle 104$

Phần II. Tự luận16,0 điểm

Câu 1

4,0 điểm

1)
Cho biểu thức $P=\dfrac{x\sqrt{x}+x+2\sqrt{x}+2}{x\sqrt{x}+1}-\dfrac{1}{x-\sqrt{x}+1}-1$ với $x \ge 0$ .
1. a)
  Rút gọn biểu thức $P$ .
2. b)
  Tìm giá trị lớn nhất của $P$ .
2)
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho parabol $(P): y=x^{2}$ và đường thẳng $(d): y=2mx+3$ (với $m$ là tham số). Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $\left(x_{2}^{2}-2mx_{1}-3\right)\left(x_{1}^{2}-2mx_{2}-3\right)=-64$ .

Câu 2

3,0 điểm

1)
Giải phương trình: $4x^{2}-2x-1=(2x+1)\sqrt{4x^{2}-8x+5}$ .
2)
Giải hệ phương trình: $\begin{cases} x^{3}-x^{2}y+3x^{2}+5x-5y+15=0 \\ \dfrac{xy+3x-6y-18}{x^{2}-6x+12}=(y-3)(\sqrt{x+3}-3) \end{cases}$

Câu 3

3,0 điểm

1)
Cho hai số nguyên dương $m, n$ và số nguyên tố $p$ thỏa mãn $2\left(p-3\sqrt{mn}\right)=m+n$ . Chứng minh rằng $p+4m$ và $p+4n$ đều là các số chính phương.
2)
Cho đa thức $P(x)$ có các hệ số đều nguyên. Biết rằng tồn tại ba số nguyên phân biệt $a, b, c$ thỏa mãn $P(a^{2025})=P(b^{2025})=P(c^{2025})=2025$ . Tìm nghiệm nguyên của phương trình $P(x)=2026$ .

Câu 4

5,0 điểm

1)
Cho tam giác nhọn $ABC$ có $AB < AC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ , $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ . Đường thẳng $AI$ cắt $BC$ tại $M$ và cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai là $K$ . Gọi $P$ là điểm chính giữa cung $BC$ chứa $A$ trên $(O)$ , $D$ là hình chiếu vuông góc của $I$ trên cạnh $BC$ , $G$ là giao điểm khác $A$ của $AD$ với đường tròn $(O)$ , $H$ là giao điểm của $PG$ và $ID$ .
1. a)
  Chứng minh $KB=KC=KI$ và tứ giác $IBHC$ nội tiếp.
2. b)
  Gọi $N, Q$ lần lượt là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tứ giác $IBHC$ với các đường thẳng $PH, AI$ . Gọi $U$ là trung điểm của $BC$ . Chứng minh $UB$ là tia phân giác của $\widehat{NUH}$ và ba điểm $N, Q, U$ thẳng hàng.
2)
Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $90^{\circ} < \widehat{BAC} < 120^{\circ}$ . Trên cạnh $AB$ lấy điểm $D$ sao cho $BC=CD\sqrt{2}$ . Qua $D$ vẽ đường thẳng vuông góc với $AB$ , cắt $CA$ tại $E$ . Chứng minh rằng đường thẳng $CD$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng $BE$ .

Câu 5

1,0 điểm

1)
Cho $x, y, z$ là các số thực dương thỏa mãn $x \ge z$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
$P=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}+\frac{y}{\sqrt{y^{2}+z^{2}}}+\sqrt{\frac{z}{z+x}}.$
2)
Xét bảng ô vuông cỡ $20 \times 20$ gồm 400 hình vuông có cạnh 1 đơn vị. Người ta điền vào mỗi ô vuông của bảng một số nguyên tùy ý sao cho hiệu hai số được điền ở hai ô chung cạnh bất kì đều có giá trị tuyệt đối không vượt quá 1. Chứng minh rằng tồn tại một số nguyên xuất hiện trong bảng ít nhất 11 lần.

HẾT