Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 9 năm 2025–2026 — Sở GD&ĐT Hải PhòngMã đề 101

Cho đường tròn tâm $O$, đường kính $AB = 2R$, $M$ là một điểm nằm giữa $O$ và $A$ ($M$ khác $O$ và khác $A$). Dây cung $CD$ của $(O)$ đi qua điểm $M$. Biết rằng: $CM = \sqrt{56}$ cm, $DM = 12$ cm, $\widehat{AMC} = 45^{\circ}$, $\widehat{AOC}$ và $\widehat{BOD}$ là các góc nhọn (tham khảo hình vẽ bên dưới).

Độ dài bán kính $R$ bằng

Số nghiệm nguyên của phương trình $x^{2}+y^{2}=2x^{2}y^{2}$ là

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $O$ đường kính $BC$. Trên tia đối của tia $AB$ lấy điểm $M$, trên tia đối của $BA$ lấy $N$ sao cho $ON = OM$. Biết $OA = \sqrt{2011}$, $OM = \sqrt{2026}$, giá trị của biểu thức $AC^{2}+AM^{2}+AN^{2}$ bằng

Hai bạn An và Bình chơi một trò chơi như sau: An chọn ngẫu nhiên một số trong tập hợp $\{7; 8; 9; 10; 12\}$, Bình chọn ngẫu nhiên một số trong tập hợp $\{5; 6; 8; 9; 13; 14\}$; bạn nào chọn được số lớn hơn thì sẽ là người thắng cuộc, nếu hai số chọn được bằng nhau thì kết quả là hoà. Xác suất để bạn An không thua cuộc là

Cho $\sqrt{\frac{7+3\sqrt{5}}{2}}=a+b\sqrt{5}$, với $a, b \in \mathbb{Q}$. Giá trị của biểu thức $a+b$ là

Giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\frac{-x^{2}+x-11}{x^{2}-2x+1}$ $(x \neq 1)$ là

Từ điểm $F$ nằm ngoài đường tròn tâm $O$, kẻ tiếp tuyến $AF$ với đường tròn đó ($A$ là tiếp điểm), kẻ cát tuyến $FCB$ với đường tròn ($C$ nằm giữa $F$ và $B$). Phân giác $AG$ của tam giác $ABC$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai là $D$ $(D \neq A, G \in BC)$, $E$ là giao điểm của $DC$ và $AF$ (tham khảo hình vẽ bên dưới).

Biết $\widehat{CEA} - \widehat{BAG} = 21^{\circ}$, số đo của $\widehat{AGC}$ là

Trong hình bên dưới, biết tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$ $(H \in BC)$, $3AC = 5AB$, $CH - HB = 8\text{m}$.

Chiều cao $BC$ của cây là

Cho cặp số $(x_0; y_0)$ là nghiệm nguyên của phương trình $x + y + xy = 4$ đồng thời $(x_0; y_0)$ thỏa mãn hệ thức $x_0 - 2026y_0 = 4$. Giá trị của $x_0$ là

Tổng các nghiệm thực phân biệt của phương trình $\frac{2}{(x+1)^2} + 2x^2 = x + \frac{4x-1}{x+1}$ là

Cho đa thức $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ với $a \neq 0$, biết $f(0) = 10$, $f(1) = 12$, $f(2) = 4$, $f(3) = 1$. Tổng $a^2 + b^2 + c^2 + d^2$ bằng

Cho ba số $a, b, c$ đôi một khác nhau thỏa mãn $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$ và $abc \neq 0$. Giá trị của biểu thức $B = \frac{8(a+b)}{c} - \frac{3(b+c)}{a} - \frac{2026(c+a)}{b}$ là

Từ điểm $I$ nằm ngoài đường tròn $(O)$ kẻ hai tiếp tuyến $IA, IB$ với đường tròn $(O)$ ($A, B$ là các tiếp điểm). Qua $A$ kẻ đường thẳng song song với $IB$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai là $C$ ($C$ khác $A$). Đường thẳng $IC$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai là $D$ ($D$ khác $C$) và cắt $AB$ tại $F$. Đường thẳng $AD$ cắt $IB$ tại $E$.

Cho một lưới ô vuông gồm 25 ô vuông nhỏ (độ dài cạnh của mỗi ô vuông nhỏ bằng 1 mét) được đặt trong hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ bên dưới, đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét. Hai con robot di chuyển theo quy luật sau: Con robot thứ nhất, ban đầu ở vị trí điểm $O$ (gốc tọa độ) di chuyển đến vị trí điểm $A(5;5)$ với tốc độ $2$ m/phút, chỉ được phép di chuyển trên các cạnh của hình vuông nhỏ theo hướng từ trái qua phải (chiều dương của trục $Ox$) hoặc từ dưới lên trên (chiều dương của trục $Oy$); con robot thứ hai, ban đầu ở vị trí điểm $A$ di chuyển đến vị trí điểm $O$ với tốc độ $3$ m/phút, chỉ được phép di chuyển trên các cạnh của hình vuông nhỏ theo hướng từ phải qua trái (chiều âm của trục $Ox$) hoặc từ trên xuống dưới (chiều âm của trục $Oy$). Hai con robot xuất phát cùng một thời điểm.

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $AH \perp BC$, $H$ thuộc cạnh $BC$. Các điểm $E$ và $F$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $H$ lên các cạnh $AB$ và $AC$. $M$ là trung điểm của $BC$, $AM$ cắt $EF$ tại $D$, $J$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCE$ (hình vẽ bên dưới).

Cho biểu thức: $A = \sqrt{\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\cdot\dfrac{1}{x+y+2\sqrt{xy}}+\dfrac{2}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^3}\cdot\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}\right)} : \dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{xy\sqrt{xy}}$ với $x > 0$, $y > 0$, $x \neq y$.

Một hộp chứa 40 thẻ cùng loại, trên mỗi thẻ được ghi một số tự nhiên từ 60 đến 99 (các thẻ khác nhau được ghi các số khác nhau). Người ta lấy ngẫu nhiên đồng thời ba thẻ trong hộp. Xác suất của biến cố: “Tổng các số ghi trên ba thẻ được lấy ra là một số chia hết cho 3 và không có hai số là hai số tự nhiên liên tiếp” là một số có dạng $\dfrac{a}{b}$ với $a$, $b$ là các số nguyên dương, $a$ và $b$ là hai số nguyên tố cùng nhau. Tính giá trị của $T = a+b$.

Cho hình chữ nhật $ABCD$, đường tròn $(I;R)$ nội tiếp tam giác $ABC$ và nửa đường tròn đường kính $DK$ tiếp xúc với nhau tại điểm $H$ ($H$ thuộc đoạn thẳng $AC$, $K$ thuộc đoạn thẳng $DC$, tham khảo hình vẽ bên dưới). Cho biết $R = 8\text{cm}$, $DK = 24\text{cm}$, chu vi của hình chữ nhật $ABCD$ bằng bao nhiêu cm?

Một công ty sản xuất dụng cụ thể thao nhận được một đơn đặt hàng sản xuất 100.000 (một trăm nghìn) quả bóng tennis. Công ty này đang sở hữu 50 máy sản xuất bóng tennis (các máy đều hoạt động tốt), mỗi máy sản xuất 40 quả bóng tennis trong một giờ (năng suất của các máy là như nhau). Chi phí thiết lập cho mỗi máy là 250.000 đồng (hai trăm năm mươi nghìn đồng). Khi được thiết lập, hoạt động sản xuất diễn ra tự động dưới sự giám sát của con người. Số tiền chi trả cho người giám sát trong một giờ là 160.000 đồng (một trăm sáu mươi nghìn đồng), người này sẽ giám sát tất cả các máy đang hoạt động. Để hoàn thành đơn hàng trên sao cho tổng chi phí (bao gồm chi phí thiết lập và chi phí giám sát) là thấp nhất, số máy công ty nên sử dụng để sản xuất là bao nhiêu?

Cho phương trình $x^{2}y^{2} - x^{2} - 10y^{2} = 2xy$. Hỏi có bao nhiêu số cặp số nguyên $(x; y)$ thỏa mãn phương trình trên?

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, hình vuông $EGFD$ có điểm $D$ thuộc cạnh $AC$, điểm $F$ thuộc cạnh $AB$ và các điểm $G$ và $E$ thuộc cạnh $BC$ ($G$ nằm giữa $B$ và $E$), khi đó ta nói hình vuông $EGFD$ nội tiếp tam giác $ABC$. Bằng cách tương tự, hình vuông $KHIJ$ nội tiếp tam giác $BGF$, hình vuông $PQRS$ nội tiếp tam giác $ADF$, hình vuông $MNOL$ nội tiếp tam giác $CDE$ (tham khảo hình vẽ bên dưới). Cho biết diện tích của các hình vuông $KHIJ$ và $MNOL$ lần lượt bằng $36\text{cm}^2$ và $44\text{cm}^2$. Diện tích của hình vuông $PQRS$ bằng bao nhiêu $\text{cm}^2$?

Cho hệ phương trình

có nghiệm $(x_{0}; y_{0})$ trong đó $y_{0}$ có dạng $\dfrac{a\sqrt{b}}{c}$ với $a, b, c$ là các số nguyên dương và $b$ là số nguyên tố. Tìm giá trị của $b$.