Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 9 cấp tỉnh năm 2025–2026 — Sở GD&ĐT Thanh Hóa

Rút gọn biểu thức:

$M=\left(\frac{x+2\sqrt{x}+4}{x\sqrt{x}-8}+\frac{x+2\sqrt{x}+1}{x-1}\right):\left(\frac{3\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}-2}+\frac{2\sqrt{x}+10}{x+6\sqrt{x}+5}\right). \quad \text{(với } x \ge 0; x \ne 1,3,4\text{).}$

Cho đa thức $P(x)=x^{3}+6x^{2}+ax+b$ với $a, b$ là các số hữu tỉ, thỏa mãn $P(1-\sqrt{3})=0$. Tính giá trị của biểu thức: $Q=17.P(3)+12.P(2)+2025(a+b+35)^{2026}+54$

Giải hệ phương trình:

Gọi X là tập hợp các số tự nhiên có 5 chữ số phân biệt được lập từ các chữ số $1; 2; 3; 4; 5$. Chọn ngẫu nhiên một phần tử của X. Tính xác suất để phần tử đó là một số nhỏ hơn $45.000$.

Chứng minh rằng nếu các số tự nhiên $a, b, c$ thoả mãn:

$ab^{2}+b=(a+1)c^{2}+c \text{ thì } ab+ac+1 \text{ là số chính phương.}$

Ba xe ô tô cùng xuất phát từ địa điểm $A$ đến địa điểm $B$. Mỗi giờ, xe thứ nhất đi được nhiều hơn xe thứ hai $15\text{km}$, nhiều hơn xe thứ ba $5\text{km}$. Biết rằng xe thứ hai tới $B$ chậm hơn xe thứ nhất $28$ phút, chậm hơn xe thứ ba $20$ phút. Tìm tốc độ từng xe (xem như tốc độ của từng xe là không đổi trong suốt hành trình).

Hai bể cá hình tròn lần lượt có tâm $A$, bán kính $r_{1}=10\text{ m}$ và tâm $B$, bán kính $r_{2}=20\text{ m}$, $AB=60\text{ m}$, ở gần một con kênh có bờ là một đường thẳng $d$ song song với $AB$. Khoảng cách từ $A, B$ đến bờ kênh là $40\text{ m}$. Người ta cần chọn một vị trí $M$ trên bờ kênh để lắp máy bơm nước đến 2 bể. Các ống dẫn nước $MN, MP$ là các đoạn thẳng nối từ $M$ đến mép bể (tham khảo hình vẽ). Hỏi tổng độ dài 2 ống dẫn nước nhỏ nhất là bao nhiêu (biết rằng chênh lệch về độ cao của các bể so với bờ kênh là không đáng kể)?

Hình vuông $ABCD$ có $O$ là giao điểm của hai đường chéo, $K$ là trung điểm của $OB$. Đường tròn tâm $D$ bán kính $DA$ và đường tròn đường kính $AB$ cắt nhau tại điểm $E$ khác $A$. Tia $EO$ cắt $AD$ tại $M$, cắt tia $CD$ tại $F$.

Cho hình chữ nhật $ABCD$, có $AB = 60cm$, $BC = 70cm$. Trên cạnh $AB$ lấy điểm $E$, trên cạnh $BC$ lấy điểm $F$ sao cho $AE = 20cm$, $BF = 30cm$. Các điểm $H, G$ lần lượt di động trên các cạnh $AD, CD$. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng $EH + HG + GF$.

Một lưới ô vuông kích thước $12 \times 12$, gồm $144$ ô vuông nhỏ bằng nhau. Tô màu mỗi ô bởi một trong ba màu: đỏ, vàng, xanh tuỳ ý sao cho mỗi ô được tô bởi đúng một màu (hình vẽ minh họa). Chứng minh rằng tồn tại ít nhất bốn ô được tô cùng màu nằm ở bốn góc của một hình chữ nhật.