Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 9 năm 2025–2026 — Sở GD&ĐT Hà Tĩnh

Rút gọn biểu thức $P = \dfrac{\sqrt{7+\sqrt{5}} + \sqrt{7-\sqrt{5}}}{\sqrt{7+2\sqrt{11}}} - \sqrt{3-2\sqrt{2}}$.

Cho hai số dương $a$, $b$ thỏa mãn điều kiện: $a^2 + ab - 6b^2 = 0$; $3a - 4b \neq 0$; $a - 4b \neq 0$.

Giá trị của biểu thức $F = \dfrac{2025a + 2b}{3a - 4b} + \dfrac{2026a - 2b}{4b - a}$ bằng bao nhiêu?

Cho hai đường thẳng $(d_1): y = (m+3)x + m + 2$ và $(d_2): y = (m^3 - 3m + 3)x + 3m - 2$.

Gọi $Q$ là tổng tất cả các giá trị của tham số $m$ để hai đường thẳng $(d_1)$ và $(d_2)$ song song với nhau. Giá trị của $Q$ bằng bao nhiêu?

Cho các đa thức $f(x) = x^3 -6x^2 + ax + b$; $g(x) = x^2 -5x + 6$; $h(x) = 2x - 3$.

Biết $f(x)$ chia cho $g(x)$ dư $h(x)$. Giá trị biểu thức $T = a + 2b$ bằng bao nhiêu?

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $x, y$ thỏa mãn: $2(x^2 + y^2) - 5(x + y) = 0$.

Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ để $13p + 1$ là lập phương của một số tự nhiên.

Gieo hai con xúc xắc cân đối, đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc này trong cùng một lần gieo là một số chính phương.

Trên phố có hai nhà sách X, Y. Ba bạn An, Bình, Cường mỗi người vào ngẫu nhiên một nhà sách. Tính xác suất của biến cố “Hai bạn vào nhà sách X, bạn còn lại vào nhà sách Y”.

Hai anh em Hùng và Lan tiết kiệm tiền để mua dụng cụ học tập giúp đỡ các bạn có hoàn cảnh khó khăn trong đợt lũ lụt năm 2025. Trong tháng 10 có tổng số tiền tiết kiệm được của hai anh em là $900\,000$ đồng. Tháng 11, số tiền tiết kiệm của Hùng, Lan lần lượt tăng $20\%$ và $30\%$ so với tháng 10 nên có tổng số tiền tiết kiệm được trong tháng 11 là $1\,130\,000$ đồng. Hãy cho biết số tiền của Lan tiết kiệm được trong tháng 11.

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $AH$ vuông góc với $BC$ ($H$ thuộc $BC$). Cho biết $AB = \sqrt{21}\text{ cm}$ và $HC = 4\text{ cm}$. Cạnh $AC$ có độ dài bằng bao nhiêu $\text{cm}$?

Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều, chiều cao bằng $4\text{ cm}$ và thể tích bằng $9\sqrt{3}\text{ cm}^3$. Hình lăng trụ đó có diện tích xung quanh bằng bao nhiêu $\text{cm}^2$?

Một vật dụng trang trí có dạng hai hình chóp tứ giác đều $M.ABCD$ và $N.ABCD$ chung đáy $ABCD$ (Hình vẽ). Biết thể tích hình chóp $M.ABCD$ gấp hai lần thể tích hình chóp $N.ABCD$ và độ dài cạnh đáy $ABCD$ bằng $2\text{ dm}$. Cho độ dài cạnh bên hình chóp $N.ABCD$ bằng $\sqrt{6}\text{ dm}$. Độ dài cạnh bên hình chóp $M.ABCD$ bằng bao nhiêu $\text{dm}$?

Trong một buổi trải nghiệm của đội tuyển học sinh giỏi Toán lớp 9 trường THCS X, để đo khoảng cách từ điểm $B$ trên bờ hồ đến điểm $A$ thuộc chân tháp, các bạn đó làm như sau: Tại một điểm $C$ nằm trên đường thẳng vuông góc với $AB$, dùng thước dây đo được độ dài $CB = 10m$, dùng giác kế đo được góc $\widehat{ACB} = 75^{\circ}$ (tham khảo hình vẽ). Em hãy giúp các bạn đó tính khoảng cách từ điểm $B$ đến điểm $A$.

(Yêu cầu kết quả không để dưới dạng tỉ số lượng giác của một góc).

Cho các số $x, y, z$ thỏa mãn: $x + y + z = 0$ và $x^{2} + y^{2} \neq z^{2}; y^{2} + z^{2} \neq x^{2}; z^{2} + x^{2} \neq y^{2}$.

Tính giá trị của biểu thức: $P = \dfrac{x^{2}}{x^{2} - y^{2} - z^{2}} + \dfrac{y^{2}}{y^{2} - z^{2} - x^{2}} + \dfrac{z^{2}}{z^{2} - x^{2} - y^{2}}$.

Cho đường tròn $(O; R)$ và một điểm $A$ sao cho $OA = 2R$. Qua $A$ kẻ các tiếp tuyến $AB, AC$ với đường tròn $(O; R)$ ($B, C$ là các tiếp điểm).

Với các số nguyên dương $a, b$ sao cho $p = a^{3} + b^{3} - 3ab + 1$ là số nguyên tố. Tìm số nguyên tố $p$ lớn nhất.

Cho các số thực $a, b$ thỏa mãn $a > b > 0$ và $(a - b)\sqrt{ab} = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S = \dfrac{1 + 4a^{2}b^{2}}{ab} + \dfrac{15}{a + b}$.