Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 8 năm 2025 — Phòng GD&ĐT Thị xã Việt Yên, Bắc GiangMã đề 801

Thời gian: 120 phút
Số câu: 24 câu
Đáp án: Có đáp án

Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn — 20 câu · 6,0 điểm

Phần II. Tự luận — 4 câu · 14,0 điểm

Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn6,0 điểm

Câu 1

Lớp 8A có 32 học sinh. Khi hỏi mỗi học sinh về môn thể thao yêu thích nhất của mình thì kết quả có 18 em thích Bóng đá, 6 em thích Cầu lông và còn lại là thích Bơi lội. Nếu chọn ngẫu nhiên một học sinh của lớp 8A thì xác suất để học sinh được chọn thích môn Bơi lội là bao nhiêu?

A
$\displaystyle \frac{1}{2}$
B
$\displaystyle \frac{2}{3}$
C
$\displaystyle \frac{3}{4}$
D
$\displaystyle \frac{1}{4}$

Câu 2

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của $x$ để phân thức $A = \frac{2x^2 + x - 5}{2x - 1}$ nhận giá trị là số nguyên.

Câu 3

Cho hình chóp tam giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau. Biết chiều cao mặt đáy của nó bằng $3\sqrt{3}cm$ . Độ dài trung đoạn của hình chóp đó là

A
$\displaystyle 3\sqrt{3}cm$
B
$\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}cm$
C
$\displaystyle \frac{3}{2}cm$
D
$\displaystyle 3cm$

Câu 4

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$ , đường phân giác $AD$ ( $H, D \in BC$ ). Biết $AB = 6cm, BC = 10cm$ . Tính độ dài đoạn thẳng $HD$ . (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)

A
$\displaystyle 2,11cm$
B
$\displaystyle 0,70cm$
C
$\displaystyle 0,69cm$
D
$\displaystyle 0,68cm$

Câu 5

Cho tam giác $ABC$ có diện tích bằng $36cm^2$ . Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm của các đoạn $AB, BC, CA$ . Diện tích của tam giác $MNP$ bằng

A
$\displaystyle 9cm^2$
B
$\displaystyle 4cm^2$
C
$\displaystyle 12cm^2$
D
$\displaystyle 3cm^2$

Câu 6

Cho tam giác $ABC$ , từ điểm $D$ thuộc cạnh $BC$ , kẻ đường thẳng song song với $AB$ cắt cạnh $AC$ tại $F$ và kẻ đường thẳng song song với $AC$ cắt cạnh $AB$ tại $E$ . Giá trị của biểu thức $\frac{AE}{AB} + \frac{AF}{AC}$ bằng

Câu 7

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ . Biết $AB = 4cm$ và diện tích tam giác $ABC$ bằng $6cm^2$ . Độ dài cạnh huyền của tam giác $ABC$ bằng

A
$\displaystyle 7cm$
B
$\displaystyle 8cm$
C
$\displaystyle 6cm$
D
$\displaystyle 5cm$

Câu 8

Cho hai số thực $a, b$ . Biết $(x + a)(x^2 + bx + 16) = x^3 - 64$ với mọi giá trị của $x$ . Khi đó giá trị của biểu thức $a + 2b$ bằng

A
4
B
0
C
8
D
$\displaystyle -4$

Câu 9

Biết giá trị lớn nhất của biểu thức $P = (x - 1)^2 - 2(x + 1)^2 + 5$ bằng $m$ khi $x = x_0$ . Giá trị của biểu thức $x_0 + m$ bằng

A
7
B
13
C
10
D
$\displaystyle -16$

Câu 10

Biết phương trình $2x^{2} - (2m+1)x - m - 1 = 0$ có một nghiệm $x = 3$ . Nghiệm còn lại của phương trình là

A
$\displaystyle x = \dfrac{3}{2}$
B
$\displaystyle x = \dfrac{-1}{2}$
C
$\displaystyle x = \dfrac{-3}{2}$
D
$\displaystyle x = \dfrac{1}{2}$

Câu 11

Trong hộp có 50 quả bóng có cùng kích thước, mỗi quả bóng có một trong hai màu xanh hoặc đỏ. Lấy ngẫu nhiên một quả bóng trong hộp, xem màu của quả bóng rồi lại thả vào trong hộp. Làm như vậy 100 lần thì thấy có 60 lần lấy được bóng màu xanh. Hỏi trong hộp có khoảng bao nhiêu quả bóng màu đỏ?

A
$\displaystyle 40$
B
$\displaystyle 10$
C
$\displaystyle 30$
D
$\displaystyle 20$

Câu 12

Cho $x, y, z$ thoả mãn: $x^{2} + y^{2} + 4z^{2} + 11 = 2(x - 3y + 2z)$ . Giá trị của biểu thức $P = (x - 2z)^{2024} + (y + 2)^{2025}$ bằng

A
$\displaystyle 0$
B
$\displaystyle -1$
C
$\displaystyle 2$
D
$\displaystyle 1$

Câu 13

Phân tích đa thức $M = x(x+4)(x+6)(x+10) + 128$ thành nhân tử ta được kết quả là $(x+a)(x+b)(x^{2} - cx + d)$ với $a, b, c, d \in \mathbb{Z}$ . Khi đó $a + b + c + d$ bằng

A
$\displaystyle 28$
B
$\displaystyle 8$
C
$\displaystyle 10$
D
$\displaystyle 16$

Câu 14

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho ba điểm $A(1;1)$ , $B(a;-5)$ , $C(2;-2)$ $(a \in \mathbb{R})$ . Giá trị của $a$ để ba điểm $A, B, C$ thẳng hàng là

A
$\displaystyle a = 3$
B
$\displaystyle a = -5$
C
$\displaystyle a = 19$
D
$\displaystyle a = -3$

Câu 15

Nghiệm của phương trình: $1 + \dfrac{1}{2}(1+2) + \dfrac{1}{3}(1+2+3) + ... + \dfrac{1}{x}(1+2+3+...+x) = 612$ với $x \in \mathbb{N}^{*}$ là

A
$\displaystyle x = 54$
B
$\displaystyle x = 48$
C
$\displaystyle x = 51$
D
$\displaystyle x = 52$

Câu 16

Một mô hình kim tự tháp có dạng hình chóp tứ giác đều có độ dài cạnh đáy bằng $6$ cm. Biết thể tích của mô hình Kim tự tháp đó bằng $84 cm^{3}$ . Độ dài chiều cao của mô hình đó là

A
$\displaystyle 7 cm$
B
$\displaystyle 21 cm$
C
$\displaystyle 14 cm$
D
$\displaystyle 9 cm$

Câu 17

Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên từ tập hợp $E = \{1;2;3;...;25\}$ . Tính xác suất để chọn được một số nguyên tố?

A
$\displaystyle \dfrac{7}{25}$
B
$\displaystyle \dfrac{9}{25}$
C
$\displaystyle \dfrac{8}{25}$
D
$\displaystyle \dfrac{2}{5}$

Câu 18

Tổng các giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $(d): y = (2m+3)x + m - 4$ song song với đường thẳng $y = (2m^{2} - m)x + m - 1$ là bao nhiêu?

A
$\displaystyle 0$
B
$\displaystyle \dfrac{-3}{2}$
C
$\displaystyle \dfrac{1}{2}$
D
$\displaystyle \dfrac{3}{2}$

Câu 19

Trong lọ có 6 bông hoa hồng và 8 bông hoa ly. Lấy ngẫu nhiên một bông hoa từ lọ hoa đó. Xác suất để lấy được bông hoa hồng là $\dfrac{m}{n}$ (với $\dfrac{m}{n}$ là phân số tối giản). Giá trị của biểu thức $2m - 5n + 2025$ bằng bao nhiêu?

A
$\displaystyle 2024$
B
$\displaystyle 2025$
C
$\displaystyle 1996$
D
$\displaystyle 2000$

Câu 20

Cho các số $a, b, c$ khác $0$ , thỏa mãn $a + b + c = abc$ và $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} = 2$ . Giá trị của biểu thức $P = \dfrac{1}{a^{2}} + \dfrac{1}{b^{2}} + \dfrac{1}{c^{2}}$ bằng

A
$\displaystyle 1$
B
$\displaystyle 3$
C
$\displaystyle 2$
D
$\displaystyle 4$

Phần II. Tự luận14,0 điểm

Câu 21

5,0 điểm

1)
Cho biểu thức: $P=\dfrac{x+2}{3}\cdot\left(\dfrac{x}{3+x}+\dfrac{x^2+9}{9-x^2}\right):\left(\dfrac{3x+1}{x^2-3x}-\dfrac{1}{x}\right)$ với $x \neq 0, x \neq 3, x \neq -2$ . Tìm các giá trị nguyên của $x$ để $\dfrac{1}{P}$ nhận giá trị nguyên.
2)
Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho đường thẳng $(d)$ có phương trình $y=mx+6$ ( $m$ là tham số). Biết đường thẳng $(d)$ cắt trục tung tại điểm $A$ , trục hoành tại điểm $B$ . Tìm tất cả các giá trị của $m$ để tam giác $OAB$ có diện tích bằng $9$ .
3)
Cho $a-b=9$ . Tính giá trị của biểu thức $M=a^2(a+1)-b^2(b-1)+3ab^2-2ab-3a^2b$ .

Câu 22

4,0 điểm

1)
Tìm tất cả các số nguyên $n$ để $n^2+4n-1$ là số chính phương.
2)
Cho đa thức $P(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ . Biết rằng khi chia $P(x)$ cho $x-1; x-2; x-3$ thì có số dư lần lượt là $10; 20; 30$ . Tính giá trị biểu thức $H=\dfrac{P(12)+P(-8)}{2025}$ .
3)
Tìm các cặp số tự nhiên $(x, y)$ thỏa mãn $x^2(x+1)+x^2+3x+2=2^y$ .

Câu 23

4,0 điểm

Cho tam giác $ABC$ nhọn có các đường cao $AA', BB', CC'$ và trực tâm $H$ .

1)
Chứng minh rằng tam giác $\Delta AA'B$ đồng dạng với $\Delta CC'B$ và $BC'.BA+CB'.CA=BC^2$ .
2)
Chứng minh rằng $\dfrac{HA'}{AA'}+\dfrac{HB'}{BB'}+\dfrac{HC'}{CC'}=1$ và $\dfrac{HB.HC}{AB.AC}+\dfrac{HA.HB}{BC.AC}+\dfrac{HC.HA}{BC.BA}=1$ .
3)
Gọi $D$ là trung điểm của đoạn $BC$ . Qua điểm $H$ , kẻ đường thẳng $d$ vuông góc với $DH$ , đường thẳng $d$ cắt $AB, AC$ lần lượt tại $M$ và $N$ . Chứng minh rằng $H$ là trung điểm của đoạn $MN$ .

Câu 24

1,0 điểm

Cho bảng ô vuông kích thước $10\times10$ gồm $100$ ô vuông đơn vị. Điền vào mỗi ô vuông của bảng này một số nguyên dương không vượt quá $10$ sao cho hai ô vuông chung cạnh hoặc chung đỉnh được điền hai số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng: trong bảng ô vuông đã cho có một số xuất hiện ít nhất $17$ lần.

HẾT