Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 7 năm 2024 — Phòng GD&ĐT Bắc Ninh

Câu 1

4,0 điểm

Tính giá trị các biểu thức sau:

1)
$A = \dfrac{7}{23} \cdot \dfrac{5}{17} + \dfrac{7}{17} \cdot \dfrac{12}{23} + \dfrac{-30}{23};$ $B = \dfrac{0,375 - 0,3 + \dfrac{3}{11} - \dfrac{3}{12}}{0,625 - 0,5 + \dfrac{5}{11} - \dfrac{5}{12}}.$
2)
$C = x + 3y + 2z$ , biết $x + y = 5$ ; $y + z = -8$ .

4,0 điểm

1)
Tìm $x$ biết: $\left|\dfrac{11}{2} - x^{2}\right| = \dfrac{3}{2}.$
2)
Tìm $x, y$ thỏa mãn: $\dfrac{3x - 1}{4} = \dfrac{7y - 4}{5} = \dfrac{3x + 7y - 5}{3x}.$

3,0 điểm

1)
Cho $b^{2} = ac; c^{2} = bd$ ( $a, b, c, d$ khác $0$ ). Chứng minh rằng: $\left(\dfrac{12a + 3b - 5c}{12b + 3c - 5d}\right)^{3} = \dfrac{a}{d}.$
2)
Cho $a, b, c, d$ là các số nguyên dương thỏa mãn $a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} = 2024^{2023}$ . Chứng minh rằng $a + b + c + d$ là hợp số.

7,0 điểm

1)
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , $\widehat{B} = 2\widehat{C}$ kẻ $AH$ vuông góc với $BC$ tại $H$ . Trên tia $HC$ lấy điểm $D$ sao cho $HD = HB$ . Từ $C$ kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng $AD$ tại $E$ .
1. a)
  Tam giác $ABD$ là tam giác gì? Vì sao?
2. b)
  Chứng minh rằng $DE = DH$ ; $HE // AC$ .
3. c)
  Gọi $K$ là giao điểm của $AH$ và $CE$ , lấy điểm $I$ bất kỳ thuộc đoạn thẳng $HE$ ( $I \neq H, I \neq E$ ). Chứng minh rằng $\dfrac{3AC}{2} < IA + IK + IC.$
2)
Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{BAC} = 15^{\circ}$ , $\widehat{ABC} = 45^{\circ}$ . Trên tia đối của tia $CB$ lấy điểm $D$ sao cho $CD = 2CB$ . Tính số đo $\widehat{ADC}$ .

2,0 điểm

1)
Một số nguyên dương được gọi là số may mắn nếu số đó gấp $99$ lần tổng tất cả các chữ số của nó. Tìm số may mắn có bốn chữ số.
2)
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , độ dài cạnh huyền bằng $2015$ . Trong tam giác $ABC$ lấy $2.031.121$ điểm phân biệt bất kỳ. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất hai điểm có khoảng cách không lớn hơn $1$ .