Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi quốc gia môn Toán năm 2024 — Sở GD&ĐT Bắc Giang

Câu 1

4,0 điểm

Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi

\begin{cases} u_1 = 2, u_2 = 3 \\ u_{n+1} = \dfrac{u_n u_{n-1}}{u_{n-1} - 1}, \forall n \ge 2 \end{cases}

a)
Tính giới hạn $\lim_{n \to +\infty} \dfrac{u_n}{u_{n+1}}$ .
b)
Xét dãy số $(v_n)$ cho bởi $v_n = \dfrac{u_n^a}{n}$ . Tìm tất cả các giá trị của $a$ để dãy số $(v_n)$ có giới hạn hữu hạn khác $0$ .

Câu 2

4,0 điểm

Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn

f(x)f(y) + f(x+y) = f(xy) + f(x) + f(y) + 2xy \text{ với mọi } x, y \in \mathbb{R}.

Câu 3

4,0 điểm

Cho tam giác $ABC$ không cân. Đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc với ba cạnh $BC, CA, AB$ lần lượt tại $D, E, F$ . Gọi $M, N$ lần lượt là giao điểm của $IB, IC$ với $DE, DF$ ; $S, T$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB, AC$ .

a)
Chứng minh rằng bốn điểm $M, N, S, T$ thẳng hàng.
b)
Gọi $J$ là giao điểm của $MN$ và $IA$ . Chứng minh rằng đường tròn tâm $J$ bán kính $JA$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác $DMN$ .

Câu 4

4,0 điểm

Cho $a, b, n$ là các số nguyên dương $(n \ge 2)$ . Biết $(an - a + 1) \vdots bn$ . Đặt $x = \dfrac{a}{b}$ .

a)
Chứng minh rằng: $[x]$ không chia hết cho $n$ .
b)
Kí hiệu $\{x\} = x - [x]$ . Tính $S = \sum_{i=1}^{n-1} \left\{ \dfrac{[ix]}{n} \right\}$ .

Câu 5

4,0 điểm

Cho số nguyên dương $n$ . Cho $a_1; a_2; a_3; \ldots; a_{2n}$ là một hoán vị của các số $1; 2; 3; \ldots; 2n$ sao cho hai điều kiện sau được thỏa mãn:

i) $a_1 < a_3 < a_5 < \ldots < a_{2n-1}$ ;

ii) $a_2 > a_4 > a_6 > \ldots > a_{2n}$ .

a)
Có bao nhiêu hoán vị thỏa mãn các tính chất trên?
b)
Xác định tất cả các giá trị mà tổng $S = |a_1 - a_2| + |a_3 - a_4| + \ldots + |a_{2n-1} - a_{2n}|$ có thể nhận.