Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 năm 2025 — Sở GD&ĐT TP HCM

Cho hàm số $y = x^3 - 3x$ có đồ thị $(C)$. Tìm tất cả các điểm $A$ thuộc $(C)$ sao cho tiếp tuyến của $(C)$ tại $A$ cắt trục hoành và $(C)$ lần lượt tại 2 điểm phân biệt $M, N$ $(N \neq A)$ thỏa mãn $A$ là trung điểm của đoạn thẳng $MN$.

Một công ty thiết kế tròng kính sao cho mỗi phần đường viền của tròng kính là một phần đồ thị của hàm số bậc hai hoặc một phần đồ thị của hàm số bậc bốn rồi ghép chúng lại với nhau như hình vẽ bên dưới (sau đó họ sẽ điều chỉnh theo tỷ lệ phù hợp). Xét hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ bên dưới, biết rằng $A(-2;0), B(0;-4), C(7;0)$ và $D(1;k)$ với $k > 0$.

Cho biết đường cong $(C_1)$ đi qua các điểm $A, D, C$ là một phần của đồ thị hàm số bậc hai nào đó, đường cong $(C_2)$ ứng với đường viền nối $A$ với $B$ là một phần của đồ thị hàm số $y = bx^2 + c$, còn đường cong $(C_3)$ ứng với đường viền nối $B$ với $C$ là một phần của đồ thị hàm số $y = mx^4 + n$. Tính $k$ biết diện tích tròng kính đó bằng $33,44$ (đơn vị diện tích).

Luật Benford chỉ ra rằng khi chọn ngẫu nhiên một số liệu trong một bảng số liệu gồm số lượng đủ lớn các số liệu (như độ dài các con sông trên thế giới, số lượng các loài côn trùng trên thế giới,...) thì xác suất để chữ số đầu tiên bên trái của số liệu đó là $k$ (với $1 \le k \le 9$) bằng $p_k = \log_{10}\left(1+\frac{1}{k}\right)$.

Một chi tiết máy được ghép từ hai khối kim loại có dạng khối chóp tam giác $S.ABC$ và khối lăng trụ đứng $A'B'C'.ABC$ như hình vẽ bên. Biết rằng độ dài cạnh bên của lăng trụ đứng $A'B'C'.ABC$ là $a$ và hình chiếu của $S$ lên mặt phẳng $(ABC)$ nằm bên trong tam giác $ABC$. Đồng thời, chi tiết máy này có đặc điểm như sau:

• Các khoảng cách từ $S$ đến các điểm $A, B, C$ bằng nhau và cùng bằng $\frac{1}{2}$ khoảng cách từ $S$ đến $A'$.

• Các góc giữa các mặt phẳng $(SAB), (SBC), (SCA)$ với mặt phẳng $(ABC)$ cùng bằng $\alpha$ và $\tan \alpha = \frac{1}{2}\tan \beta$ trong đó $\beta$ là góc giữa $SA'$ với mặt phẳng $(A'B'C')$.

Tính theo $a$ thể tích của chi tiết máy này.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A(0;7;2); B(0;0;10,8)$. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng $MN$, biết $M$ là điểm thuộc mặt phẳng $Oxy$ thỏa mãn $AM = 2,5$ và $N$ thuộc mặt phẳng $(\alpha): z - 12 = 0$ thỏa mãn $BN = 1,3$.