Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 12 năm 2024–2025 — Sở GD&ĐT Phú Thọ

Thời gian: 180 phút
Số câu: 39 câu
Đáp án: Có đáp án

Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn8,0 điểm

Câu 1

Tại một lớp học chứng chỉ Tin học, nếu mức độ hoàn thành trung bình 5 bài kiểm tra của học viên lớn hơn hoặc bằng $85\%$ thì học viên sẽ được giảm $30\%$ học phí. An đã làm 4 bài kiểm tra với kết quả là $90\%, 82\%, 78\%, 80\%$ . Hỏi bài cuối cùng An cần đạt được ít nhất bao nhiêu phần trăm để được giảm $30\%$ học phí?

A
$\displaystyle 94\%$
B
$\displaystyle 92\%$
C
$\displaystyle 95\%$
D
$\displaystyle 93\%$

Câu 2

Thời gian tập thể dục của bạn Anh trong một ngày được thống kê trong 30 ngày và cho ở bảng sau (đơn vị là phút).

{\def\arraystretch{1.4}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Thời gian} & [65;70) & [70;75) & [75;80) & [80;85) & [85;90) \\ \hline \text{Số lần} & 4 & 2 & 9 & 10 & 5 \\ \hline \end{array}}

Giá trị mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên (làm tròn đến hàng phần chục) bằng

A
$\displaystyle 80,2$
B
$\displaystyle 80,8$
C
$\displaystyle 80$
D
$\displaystyle 80,3$

Câu 3

Tổng các nghiệm của phương trình $\sin 2x.(1+\cos x)=0$ trên khoảng $(\pi;3\pi)$ bằng

A
$\displaystyle 9\pi$
B
$\displaystyle 10\pi$
C
$\displaystyle 12\pi$
D
$\displaystyle 6\pi$

Câu 4

Cho cấp số nhân $(u_n)$ với công bội $q>1$ có $u_2=-3$ và $u_1+u_2+u_3=-13$ . Số hạng thứ mười của cấp số nhân đã cho bằng

A
$\displaystyle -19.683$
B
$\displaystyle 19.683$
C
$\displaystyle -26$
D
$\displaystyle 28$

Câu 5

Đạo hàm của hàm số $f(x)=\ln^2(x^2-2x+4)$ là

A
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{4x-4}{x^2-2x+4}$
B
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{4x-4}{x^2-2x+4}\ln(x^2-2x+4)$
C
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{2x-2}{x^2-2x+4}\ln(x^2-2x+4)$
D
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{x-1}{x^2-2x+4}\ln(x^2-2x+4)$

Câu 6

Nguyên hàm của hàm số $f(x)=2024\sin(\pi+x)+\dfrac{2025}{\cos^2 x}$ là

A
$\displaystyle 2024\cos x+2025\tan x+C$
B
$\displaystyle -2024\cos x+2025\tan x+C$
C
$\displaystyle -2024\sin x-2025\tan x+C$
D
$\displaystyle 2024\sin x-2025\cot x+C$

Câu 7

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho đường thẳng $d:2x-y+1=0$ và hai điểm $A(-1;2), B(4;0)$ . Gọi $C$ là điểm trên trục $Oy$ sao cho trọng tâm của tam giác $ABC$ thuộc đường thẳng $d$ . Chu vi của tam giác $ABC$ (làm tròn đến hàng đơn vị) bằng

A
$\displaystyle 19$
B
$\displaystyle 18$
C
$\displaystyle 20$
D
$\displaystyle 17$

Câu 8

Bên trong một sân vườn hình elip có độ dài trục lớn bằng $8$ m, độ dài trục bé bằng $6$ m, người ta rào thành một hình chữ nhật nội tiếp elip để trồng hoa, phần còn lại để trồng rau như hình vẽ.

Hình elip với hình chữ nhật nội tiếp phần gạch chéo trồng hoa

Diện tích lớn nhất của phần trồng hoa bằng

A
$\displaystyle 48 \text{ m}^2$
B
$\displaystyle 12 \text{ m}^2$
C
$\displaystyle 24 \text{ m}^2$
D
$\displaystyle 6 \text{ m}^2$

Câu 9

Vị trí của một chất điểm $N$ tại thời điểm $t$ ( $t$ trong khoảng thời gian từ 0 phút đến 180 phút) có toạ độ là $(3+5\sin t^{\circ}; 4+5\cos t^{\circ})$ . Gọi $(x_{0};y_{0})$ là toạ độ của chất điểm $N$ khi $N$ ở cách xa gốc toạ độ nhất. Giá trị của $x_{0}+y_{0}$ bằng

A
$\displaystyle 2$
B
$\displaystyle 48$
C
$\displaystyle -2$
D
$\displaystyle 14$

Câu 10

Có 3 học sinh nam và 7 học sinh nữ, trong các học sinh nữ có ba bạn Hồng, Huệ, Lan xếp thành một hàng ngang. Xác suất để mỗi bạn nam đều đứng giữa hai bạn nữ đồng thời ba bạn Hồng, Huệ, Lan luôn đứng cạnh nhau bằng

A
$\displaystyle \dfrac{1}{250}$
B
$\displaystyle \dfrac{1}{1260}$
C
$\displaystyle \dfrac{1}{210}$
D
$\displaystyle \dfrac{1}{201}$

Câu 11

Ông giám đốc vườn thú mua 12 con vật nhốt vào 12 cái chuồng mới xây có kích thước khác nhau, trong đó có 3 cái chuồng không vừa với 6 con vật lớn nhất. Hỏi vị giám đốc có bao nhiêu cách nhốt 12 con vật, mỗi con trong một chuồng?

A
$\displaystyle 1$
B
$\displaystyle 43.545.600$
C
$\displaystyle 479.001.600$
D
$\displaystyle 61.200$

Câu 12

Cho khối lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$ có $A'B = \sqrt{6}$ , đường thẳng $A'B$ vuông góc với đường thẳng $B'C$ . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

A
$\displaystyle \dfrac{\sqrt{6}}{3}$
B
$\displaystyle \sqrt{6}$
C
$\displaystyle \dfrac{3}{4}$
D
$\displaystyle \dfrac{9}{4}$

Câu 13

Một nhà thi đấu có 20 hàng ghế dành cho khán giả. Hàng thứ nhất có 30 ghế, hàng thứ hai có 31 ghế, hàng thứ ba có 32 ghế, ... Cứ như thế, số ghế ở hàng sau nhiều hơn số ghế ở hàng ngay trước là 1 ghế. Trong một giải thi đấu, ban tổ chức đã bán được hết số vé phát ra và số tiền thu được từ bán vé là 71.100.000 đồng. Tính giá tiền của mỗi vé, biết số vé bán ra bằng số ghế dành cho khán giả của nhà thi đấu và các vé là đồng giá.

A
$90.000$ đồng
B
$100.000$ đồng
C
$80.000$ đồng
D
$110.000$ đồng

Câu 14

Cho hàm số $f(x)=\dfrac{x^{2}+ax+b}{x-2}$ có đồ thị $f'(x)$ như hình vẽ.

Biết $f(0)=1$ và $\min_{[-4;-3]} f(x)=\dfrac{k}{m}$ với $k \in \mathbb{Z}, m \in \mathbb{N}$ , $\dfrac{k}{m}$ là tối giản. Khi đó $k-2m$ bằng

A
$\displaystyle 14$
B
$\displaystyle -14$
C
$\displaystyle -10$
D
$\displaystyle 22$

Câu 15

Cho hàm số $f(x)=\dfrac{2-ax}{bx-c}$ $(a,b,c \in \mathbb{R}, b \neq 0)$ có bảng biến thiên như sau:

Bảng biến thiên của hàm số y: y′ > 0 trên (−∞; 1); y′ không xác định tại x = 1; y′ > 0 trên (1; +∞). Hàm số y đồng biến trên (−∞; 1) và (1; +∞).

Tổng các số $a+b-c$ thuộc khoảng nào sau đây?

A
$\displaystyle (-4;-2)$
B
$\displaystyle (-2;0)$
C
$\displaystyle (0;2)$
D
$\displaystyle (2;4)$

Câu 16

Gọi $S$ là tập hợp các giá trị nguyên $m$ để đồ thị hàm số $y=\dfrac{\sqrt{x+2}}{\sqrt{x^{2}-6x+4m}}$ có 3 đường tiệm cận. Số phần tử của tập hợp $S$ bằng

A
$\displaystyle 8$
B
$\displaystyle 6$
C
$\displaystyle 7$
D
$\displaystyle 5$

Câu 17

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = x(x-1)^2(x-5)$ . Số giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $g(x) = f(x^2 + m)$ có 3 điểm cực trị bằng

Câu 18

Bác Bình bơm nước vào bể chứa nước. Gọi $h(t)$ là thể tích nước bơm được sau $t$ phút. Biết lưu lượng nước chảy vào bể tại thời điểm $t$ phút là $h'(t) = 3at^2 + 2bt$ ( $\text{dm}^3$ /phút) và ban đầu bể không có nước. Sau 2 phút thì thể tích nước trong bể là $16 \text{ dm}^3$ , sau 5 phút thì thể tích nước trong bể là $175 \text{ dm}^3$ . Thể tích của nước trong bể sau khi bơm được 10 phút là

A
$\displaystyle 2000 \text{ dm}^3$
B
$\displaystyle 2.100 \text{ dm}^3$
C
$\displaystyle 1000 \text{ dm}^3$
D
$\displaystyle 1200 \text{ dm}^3$

Câu 19

Cho hàm số $y = f(x)$ thỏa mãn hàm $y = f'(x)$ liên tục trên đoạn $[0;7]$ và có đồ thị như hình vẽ.

đồ thị hàm $y=f'(x)$ trên đoạn $[0;7]$ với phần đường cong là nửa đường tròn tâm $(2;0)$

Biết phần đường cong trong hình là nửa đường tròn có tâm tọa độ $(2;0)$ . Giá trị của biểu thức $f(7) - f(2)$ bằng

A
$\displaystyle 2\pi + \dfrac{9}{2}$
B
$\displaystyle 2\pi - \dfrac{9}{2}$
C
$\displaystyle \pi + \dfrac{9}{2}$
D
$\displaystyle \pi - \dfrac{9}{2}$

Câu 20

Cho hàm số bậc bốn $y = f(x)$ có đồ thị $(C)$ và đường thẳng $d: y = kx + \dfrac{1}{4}$ như hình vẽ.

đồ thị hàm bậc bốn $y=f(x)$ và đường thẳng $d: y=kx+\frac{1}{4}$ với phần gạch chéo

Biết $BC - AB = \dfrac{5}{4}$ , diện tích hình phẳng phần gạch chéo bằng $\dfrac{24}{5}$ . Giá trị của $\displaystyle\int_{-2}^{4} [24f(x) + x] dx$ bằng

A
$\displaystyle \dfrac{21}{20}$
B
$\displaystyle \dfrac{126}{5}$
C
$\displaystyle \dfrac{156}{5}$
D
$\displaystyle \dfrac{846}{5}$

Câu 21

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $[2;4]$ thỏa mãn $f(2) = \dfrac{5}{8}$ và $(x+3)f'(x) = f(x) - 3x^2 f^2(x)$ . Giá trị của $\displaystyle\int_{2}^{4} f(x) dx$ bằng

A
$\displaystyle \dfrac{17}{32}$
B
$\displaystyle \dfrac{56}{3}$
C
$\displaystyle -\dfrac{1}{32}$
D
$\displaystyle -\dfrac{17}{32}$

Câu 22

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi cạnh $a$ , $ABC = 60^\circ$ . Tam giác $SAB$ cân tại $S$ và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi $H$ là trung điểm của $AB$ , biết rằng $SC$ tạo với đáy một góc $30^\circ$ . Góc giữa hai véc tơ $\overrightarrow{SC}$ và $\overrightarrow{DH}$ gần nhất với giá trị nào sau đây?

A
$\displaystyle 152^\circ$
B
$\displaystyle 135^\circ$
C
$\displaystyle 125^\circ$
D
$\displaystyle 28^\circ$

Câu 23

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A(-2;3;1)$ , $B(2;1;0)$ , $C(-3;-1;1)$ . Gọi $D(x;y;z)$ sao cho $ABCD$ là hình thang có đáy $AD$ và diện tích tứ giác $ABCD$ bằng 3 lần diện tích tam giác $ABC$ . Giá trị của $x+y+z$ bằng

A
$\displaystyle 10$
B
$\displaystyle 11$
C
$\displaystyle -10$
D
$\displaystyle -11$

Câu 24

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(2;2;1)$ , $B\left(\dfrac{4}{3};-\dfrac{8}{3};\dfrac{8}{3}\right)$ . Biết tâm đường tròn nội tiếp tam giác $OAB$ là $I(a;b;c)$ . Khi đó giá trị $a+2b+c$ bằng

A
$\displaystyle 2$
B
$\displaystyle 3$
C
$\displaystyle 4$
D
$\displaystyle 1$

Câu 25

An và Bình chơi cờ. Trong một ván cờ, xác suất An thắng Bình là $0,2$ và xác suất Bình thắng An là $0,4$ . Hai bạn dừng chơi khi có người thắng, người thua. Xác suất để hai bạn dừng chơi sau hai ván cờ bằng

A
$\displaystyle 0,4$
B
$\displaystyle 0,24$
C
$\displaystyle 0,6$
D
$\displaystyle 0,21$

Câu 26

Trong một đợt hưởng ứng tiết kiệm điện của một khu dân cư gồm $45$ hộ gia đình. Bác An trưởng khu thống kê số điện tiêu thụ (kwh) của khu dân đó cho ở bảng sau:

{\def\arraystretch{1.4}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Số điện tiêu thụ (kwh)} & [150;170) & [170;190) & [190;210) & [210;230) & [230;250) \\ \hline \text{Số hộ} & 8 & 15 & 11 & 7 & 4 \\ \hline \end{array}}

Bác An muốn chọn ra $25\%$ hộ gia đình để khen thưởng hộ gia đình dùng điện tiết kiệm, khi đó bác cần chọn những hộ gia đình có lượng điện tiêu thụ không vượt quá số điện (làm tròn đến hàng đơn vị) là

A
$174$ kwh
B
$178$ kwh
C
$209$ kwh
D
$210$ kwh

Câu 27

Chiều cao so với mực nước biển trung bình tại thời điểm $t$ (giây) của mỗi cơn sóng được cho bởi hàm số $h(t)=60\sin\left(\dfrac{\pi t}{8}\right)$ , trong đó $h(t)$ được tính bằng centimét. Trong $30$ giây đầu tiên (kể từ mốc thời gian $t=0$ giây), có hai thời điểm sóng đạt chiều cao lớn nhất là $a$ giây và $b$ giây (với $a,b \in \mathbb{N}$ ). Khi đó $a+b$ bằng

A
$\displaystyle 75$
B
$\displaystyle 24$
C
$\displaystyle 20$
D
$\displaystyle 30$

Câu 28

Cho hàm số $y=\log x$ có đồ thị $(C)$ như hình vẽ.

Đồ thị hàm số $y = \log x$ và đường tròn tâm $A$ trên trục $Ox$

Đường tròn tâm $A$ nằm trên trục $Ox$ có duy nhất một điểm chung với $(C)$ là điểm $B$ thuộc đường thẳng $d: y-1=0$ . Hoành độ của điểm $A$ nằm trong khoảng nào sau đây?

A
$\displaystyle \left(10;\dfrac{21}{2}\right)$
B
$\displaystyle \left(\dfrac{21}{2};11\right)$
C
$\displaystyle \left(11;\dfrac{23}{2}\right)$
D
$\displaystyle \left(\dfrac{23}{2};12\right)$

Câu 29

Có bao nhiêu số nguyên $x \in (-2025;2025)$ sao cho tồn tại ít nhất $4$ số nguyên dương $y$ thỏa mãn: $3^{x+y} \leq 6^{x}-2$ ?

A
$\displaystyle 2025$
B
$\displaystyle 2019$
C
$\displaystyle 2017$
D
$\displaystyle 2018$

Câu 30

Cho nửa đường tròn đường kính $AB=4$ và hai điểm $C,D$ thay đổi trên nửa đường tròn đó sao cho $ABCD$ là hình thang. Diện tích lớn nhất của hình thang $ABCD$ bằng

A
$\displaystyle 5\sqrt{5}$
B
$\displaystyle \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$
C
$\displaystyle \dfrac{5\sqrt{5}}{2}$
D
$\displaystyle 3\sqrt{3}$

Câu 31

Cho quả bóng bầu dục có các kích thước như hình vẽ. Cắt quả bóng bởi một mặt phẳng đi qua 2 điểm có khoảng cách xa nhất của nó, ta được mặt cắt là hình elíp.

quả bóng bầu dục NFL có kích thước dài $18\text{cm}$ và rộng $10\text{cm}$

Thể tích của quả bóng bằng

A
$\displaystyle 300\pi \text{ cm}^3$
B
$\displaystyle \dfrac{54.500\pi}{243} \text{ cm}^3$
C
$\displaystyle \dfrac{54.500}{243} \text{ cm}^3$
D
$\displaystyle 300 \text{ cm}^3$

Câu 32

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho 3 điểm $A(2;-3;3), B(-1;-3;3), C(6;-1;-3)$ . Điểm $M$ di chuyển trên trục $Ox$ . Giá trị nhỏ nhất của $P = \left|\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} + 3\overrightarrow{MC}\right| + 3\left|\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC}\right|$ bằng

A
$\displaystyle 6$
B
$\displaystyle 6\sqrt{17}$
C
$\displaystyle 24\sqrt{17}$
D
$\displaystyle 24$

Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai2,0 điểm

Câu 33

Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA = \sqrt{5}$ , các cạnh còn lại bằng $\sqrt{3}$ . Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$ , $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$ .

a)
$(SAC) \perp (SBD)$
b)
Thể tích của khối chóp $S.CDM$ bằng $\dfrac{\sqrt{15}}{4}$
c)
Gọi $\alpha$ là góc nhị diện $[B;SC;D]$ . Giá trị $\sin \alpha = \dfrac{4\sqrt{5}}{13}$ .
d)
Khoảng cách giữa hai đường thẳng $CD$ và $SM$ bằng $\dfrac{3\sqrt{345}}{23}$

Câu 34

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và $f'(x)$ là hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ:

đồ thị hàm số bậc ba $y = f'(x)$ đi qua gốc tọa độ và đạt cực đại bằng $4$ tại $x = 2$

a)
Hàm số $h(x) = f\left(\sqrt{x^2 - 2}\right) + 2025$ đồng biến trên các khoảng $(-\infty; -\sqrt{11})$ và $(\sqrt{2}; \sqrt{11})$
b)
Tích các điểm cực trị của hàm số $g(x) = f(x^2 - 2x) + 2024$ bằng $3$
c)
Hàm số $k(x) = f(x) - \dfrac{1}{3}x^3 + 9x - 2025$ có giá trị lớn nhất trên đoạn $[-5;5]$ bằng $f(3) - 2007$
d)
Bất phương trình $f(x) - \left(\dfrac{x^3}{6} + \dfrac{x^2}{2} + \log_{\frac{1}{2}} m\right) < 0$ đúng với mọi $x \in (-2;0)$ khi và chỉ khi $0 < m < 2^{-f(0)}$

Phần III. Tự luận10,0 điểm

Câu 1

3,0 điểm

1)
Cho hàm số $y = \dfrac{x^2 + 2mx + 2}{x + 1}$ ( $m$ là tham số). Tìm tất cả các giá trị thực của $m$ để đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu cách đều đường thẳng $d: 3x - y - 3 = 0$ .
2)
Một khu đất trống bằng phẳng hình chữ nhật $ACGH$ , bên cạnh là một hồ nước có dạng nửa hình tròn đường kính $AC$ , như hình vẽ.
Từ vị trí $A$ , anh An chèo thuyền với vận tốc $5$ km/h đến vị trí $B$ trên bờ hồ. Sau đó, anh An chạy bộ theo bờ hồ đến vị trí $C$ với vận tốc $7$ km/h, rồi chạy bộ theo đường gấp khúc $CDEA$ để quay về vị trí $A$ , trong đó vận tốc chạy bộ của anh An trên đoạn $CD$ và $EA$ là $6$ km/h, vận tốc chạy bộ của anh An trên đoạn $DE$ là $10$ km/h, ( $D, E$ là hai vị trí bất kỳ trên đoạn $GH$ ). Thời gian ngắn nhất mà anh An di chuyển từ $A$ theo cách trên rồi quay trở về $A$ là bao nhiêu phút (kết quả làm tròn đến hàng phần chục), biết các khoảng cách $AC = 1$ km, $AH = 0,6$ km, $BC = 0,5$ km,

Câu 2

1,5 điểm

Giải phương trình $(x+1)^2 - 2\sqrt{2x+1} + \log_2 \dfrac{x^2 + 2x + 2}{\sqrt{2x+1}} = 0$ .

Câu 3

3,0 điểm

1)
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$ , $AD = 2AB = 2BC$ , $CD = 2\sqrt{2}$ . Hình chiếu vuông góc của $S$ trên mặt đáy là trung điểm $M$ của cạnh $CD$ . Tính khoảng cách từ trọng tâm $G$ của tam giác $SAD$ đến mặt phẳng $(SBM)$ .
2)
Cho khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ , khoảng cách từ $C$ đến đường thẳng $BB'$ bằng $2\sqrt{2}$ , khoảng cách từ $A$ đến các đường thẳng $BB'$ và $CC'$ lần lượt bằng $\sqrt{3}$ và $\sqrt{5}$ , hình chiếu vuông góc của $A$ lên mặt phẳng $(A'B'C')$ là trung điểm $H$ của $B'C'$ và $A'H = 2$ . Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho.

Câu 4

1,0 điểm

Cho mẫu số liệu có bảng số liệu sau:

{\def\arraystretch{1.4}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Giá trị} & x - y & 2x + y & 4x + 2y & 5x + 3y & 17x - 2y \\ \hline \text{Tần số} & 14 & 3x + 2y & x + 3y & 5x - y & 8 \\ \hline \end{array}}

Với $x, y$ là các số tự nhiên. Biết mẫu số liệu thống kê đã cho có mốt là ba giá trị khác nhau. Tính phương sai của mẫu số liệu đã cho (làm tròn đến hàng phần chục).

Câu 5

1,5 điểm

Trong một trò chơi bạn Việt có $9$ tấm bìa được đánh số từ $1$ đến $9$ , bạn Nam có $8$ tấm bìa được đánh số từ $1$ đến $8$ , mỗi bạn chọn ngẫu nhiên ba tấm bìa rồi sắp xếp chúng theo thứ tự giảm dần để được một số gồm ba chữ số. Người thắng cuộc là người có số lớn hơn. Tính xác suất để Việt thắng Nam.

HẾT