Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 năm 2025–2026 — Sở GD&ĐT Hà Tĩnh

Cho hàm số $y = \dfrac{x^2 - x + 2}{x - 2}$ có đồ thị $(C)$ và điểm $A(1;3)$. Gọi $B$ là điểm cực tiểu và $\Delta$ là đường tiệm cận xiên của $(C)$. Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc $\Delta$ sao cho tam giác $ABM$ cân tại $A$.

Công ty X cần vận chuyển hàng đến một địa điểm cách công ty 100 dặm. Chi phí trên mỗi chuyến hàng mà công ty phải trả bao gồm chi phí nhiên liệu và chi phí thuê tài xế. Khi xe chở hàng di chuyển với tốc độ $x$ dặm/giờ thì chi phí nhiên liệu (tính bằng USD) trên mỗi dặm đường được cho bởi công thức $C(x) = \dfrac{1}{5}\left(\dfrac{64}{x} + \dfrac{9}{100}x\right)$. Ngoài ra, giá thuê tài xế là 16 USD trên mỗi giờ lái xe. Biết rằng tốc độ di chuyển của xe chở hàng không được phép vượt quá 50 dặm/giờ. Hỏi chi phí nhỏ nhất mà công ty đó phải trả trên mỗi chuyến hàng là bao nhiêu USD?

Biểu đồ bên dưới thể hiện tỉ lệ phần trăm chi phí trong năm 2020 của một công ty.

Năm 2020 công ty đã xây dựng tốt thương hiệu cũng như trả được nhiều khoản vay nên năm 2021 chi phí cho Lãi vay đã giảm 25% so với năm 2020, đồng thời công ty cũng quyết định giảm 20% chi phí Quảng cáo so với năm 2020. Toàn bộ lượng giảm chi phí đó được dùng để tăng lương cho tất cả nhân viên. Hỏi chi phí cho Lương năm 2021 đã tăng bao nhiêu phần trăm so với năm 2020?

Cho hàm số $y = x^3 - 3(m+1)x^2 + 3(m^2 + 2m)x + 2025$, với $m$ là tham số. Tìm tất cả giá trị $m$ để trên khoảng $(-\infty;0)$, hàm số đã cho tồn tại giá trị lớn nhất.

Xét một hệ trục tọa độ $Oxyz$, đơn vị độ dài trên mỗi trục là $100$ mét. Có hai tổ công nhân đồng thời đào đường hầm xuyên núi. Tổ thứ nhất bắt đầu đào từ vị trí điểm $A(5;7;10)$, đi thẳng xuyên qua vị trí điểm $B(6;9;12)$ với tốc độ đào không đổi là $12$ mét/ngày. Cùng thời điểm đó, tổ thứ hai bắt đầu đào một đường hầm khác, xuất phát từ vị trí điểm $C(4;17;12)$ và cũng đào theo đường thẳng với tốc độ đào không đổi. Mục tiêu đặt ra là hai đường hầm này sẽ gặp nhau tại vị trí điểm $E$ cách vị trí điểm $A$ một khoảng bằng $1,5$ kilômét. Để cả hai tổ công nhân đồng thời đào đến vị trí điểm $E$ trong cùng một thời điểm thì tốc độ đào hầm của tổ thứ hai bằng bao nhiêu mét/ngày?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi cạnh $a$, góc $\widehat{ABC}=60^{\circ}$ và cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm $SB, SD$. Biết góc nhị diện $[M, AC, N]$ bằng $120^{\circ}$, tính khoảng cách từ điểm $C$ đến mặt phẳng $(SBD)$.

Một nhóm có $10$ người gồm $5$ bạn nam, $4$ bạn nữ và $1$ thầy giáo đứng thành hai hàng ngang để chụp ảnh kỉ niệm, mỗi hàng $5$ người. Có bao nhiêu cách sắp xếp để thầy giáo đứng xen giữa hai bạn nam, đồng thời trong mỗi hàng không có hai bạn nữ nào đứng cạnh nhau?

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(3;7;-4)$, $B(-5;4;4)$ và vectơ $\vec{u}=(0;-2;1)$. Các điểm $M, N$ thay đổi trên mặt phẳng $(Oyz)$ sao cho $\overrightarrow{MN}$ cùng hướng với $\vec{u}$ và $MN=5\sqrt{5}$. Tìm giá trị lớn nhất của $|AM - BN|$.

Cho một bảng ô vuông $3\times 3$ như hình vẽ bên. Điền ngẫu nhiên $9$ số thuộc tập hợp $X=\{0;1;2;3;4;5;6;7;8;9\}$ vào $9$ ô vuông trong bảng (mỗi ô điền một số khác nhau). Tính xác suất của biến cố “mỗi hàng, mỗi cột bất kì trong bảng đều có ít nhất một số lẻ”.

Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$ và $BC=4a$, tam giác $AA'C$ cân tại $A'$ và tam giác $AB'C'$ vuông tại $B'$. Biết khoảng cách giữa $2$ đường thẳng $AB'$ và $BC'$ bằng $a$. Tính thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$.