Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Toán 12 năm 2025–2026 — Sở GD&ĐT Nghệ AnMã đề 0101

Thời gian: 50 phút
Số câu: 18 câu
Đáp án: Có đáp án

Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn — 12 câu

Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai — 4 câu

Phần III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn — 2 câu

Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Câu 1

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai vectơ $\vec{u}=(1;-2;0)$ và $\vec{v}=(-1;-2;1)$ . Vectơ $\vec{u}+3\vec{v}$ có tọa độ là

A
$\displaystyle (2;-8;1)$
B
$\displaystyle (-2;-8;-3)$
C
$\displaystyle (2;-8;-1)$
D
$\displaystyle (-2;-8;3)$

Câu 2

Số tiền điện phải trả của 40 gia đình trong một tháng (đơn vị: nghìn đồng) được cho bởi bảng sau:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Số tiền} & [375;450) & [450;525) & [525;600) & [600;675) & [675;750) & [750;825) \\ \hline \text{Tần số} & 6 & 10 & 7 & 6 & 7 & 4 \\ \hline \end{array}

Tìm tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu. (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

A
$\displaystyle 685,7$
B
$\displaystyle 480$
C
$\displaystyle 567,9$
D
$\displaystyle 648,5$

Câu 3

Cho hàm số $f(x)=\begin{cases} x+1 \text{ khi } x<0 \\ x^{2} \text{ khi } x\ge 0 \end{cases}$ . Mệnh đề nào sau đây sai?

A
Hàm số liên tục tại điểm $x=0$
B
$\displaystyle \lim\limits_{x\to 0^{+}} f(x)=0$
C
$\displaystyle \lim\limits_{x\to 0^{-}} f(x)=1$
D
$\displaystyle f(0)=0$

Câu 4

Trường THPT X có $32\%$ học sinh giỏi môn Toán, $28\%$ học sinh giỏi môn Văn và $20\%$ học sinh học giỏi cả hai môn Toán và Văn. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của nhà trường. Xác suất để chọn được một học sinh không giỏi môn nào trong hai môn Toán, Văn là

A
$\displaystyle 0,6$
B
$\displaystyle 0,3$
C
$\displaystyle 0,4$
D
$\displaystyle 0,5$

Câu 5

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh bằng $1$ , $SA \perp (ABCD)$ và $SA=\sqrt{3}$ . Gọi $\alpha$ là góc tạo bởi giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(SAC)$ . Khi đó $\alpha$ thỏa mãn hệ thức nào sau đây?

A
$\displaystyle \cos \alpha = \dfrac{\sqrt{2}}{4}$
B
$\displaystyle \cos \alpha = \dfrac{\sqrt{14}}{4}$
C
$\displaystyle \cos \alpha = \dfrac{\sqrt{14}}{8}$
D
$\displaystyle \cos \alpha = \dfrac{\sqrt{2}}{8}$

Câu 6

Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x & -\infty & & 0 & & 2 & 4 & +\infty \\ \hline y' & & - & 0 & + & & + & 0 & - \\ \hline y & +\infty & & & & +\infty & -\infty & & 1 & \\ & & \searrow & & \nearrow & & & \nearrow & & \searrow \\ & & & 3 & & & & & & -\infty \\ \hline \end{array}

Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A
$\displaystyle (-\infty;0)$
B
$\displaystyle (3;+\infty)$
C
$\displaystyle (-\infty;1)$
D
$\displaystyle (1;+\infty)$

Câu 7

Trong Vật lí, phương trình tổng quát của một vật dao động điều hòa cho bởi công thức $x(t)=A\cos(\omega t+\varphi)$ , trong đó $t$ là thời gian (giây), $x(t)$ là li độ (cm) của vật tại thời điểm $t$ , $A$ là biên độ dao động $(A>0)$ và $\varphi \in [-\pi;\pi]$ là pha ban đầu của dao động. Xét hai dao động điều hòa có phương trình: $x_{1}(t)=6\cos\left(2\pi t+\dfrac{\pi}{6}\right)$ , $x_{2}(t)=6\cos\left(2\pi t-\dfrac{\pi}{3}\right)$ . Dao động tổng hợp $x(t)=x_{1}(t)+x_{2}(t)$ có biên độ là bao nhiêu cm?

A
$\displaystyle 3\sqrt{2}$
B
$\displaystyle 6$
C
$\displaystyle 6\sqrt{2}$
D
$\displaystyle 12$

Câu 8

Sự lây lan của một loại virus ở một địa phương có thể được mô hình hóa bằng hàm số $N(t)=-t^{3}+12t^{2}$ , $0 \le t \le 12$ , trong đó $N$ là số người nhiễm bệnh (tính bằng trăm người) và $t$ là thời gian (tính bằng tuần). Đạo hàm $N'(t)$ biểu thị tốc độ lây lan của virus (còn gọi là tốc độ truyền bệnh). Hỏi virus sẽ lây lan nhanh nhất vào tuần thứ bao nhiêu?

A
Tuần thứ 5
B
Tuần thứ 6
C
Tuần thứ 4
D
Tuần thứ 8

Câu 9

Cho hàm số $y=3\ln x-x$ . Biết giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[1;4]$ là $a+\ln b$ $(a;b \in \mathbb{Z})$ . Giá trị của biểu thức $a+b$ là

A
$\displaystyle 0$
B
$\displaystyle 24$
C
$\displaystyle 27$
D
$\displaystyle 6$

Câu 10

Cho hình hộp $ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ . Gọi $M$ là trung điểm của $CC_{1}$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A
$\displaystyle \overrightarrow{A_{1}M}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AA_{1}}$
B
$\displaystyle \overrightarrow{A_{1}M}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AA_{1}}$
C
$\displaystyle \overrightarrow{A_{1}M}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AA_{1}}$
D
$\displaystyle \overrightarrow{A_{1}M}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AA_{1}}$

Câu 11

Cho khối hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy $AB=3$ , $AD=4$ . Biết đường thẳng $AC'$ tạo với mặt phẳng $(ABCD)$ góc $45^{\circ}$ . Thể tích khối hộp đã cho bằng

A
$\displaystyle 30$
B
$\displaystyle 20\sqrt{3}$
C
$\displaystyle 60\sqrt{3}$
D
$\displaystyle 60$

Câu 12

Cho cấp số nhân $(u_{n})$ có số hạng đầu $u_{1}=6$ ; công bội $q=\dfrac{1}{2}$ . Hỏi $\dfrac{3}{256}$ là số hạng thứ mấy?

A
$\displaystyle 7$
B
$\displaystyle 10$
C
$\displaystyle 8$
D
$\displaystyle 9$

Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai

Câu 1

Một cửa hàng ghi lại dữ liệu của 32 khách hàng trong một giờ cao điểm, bao gồm số tiền mua hàng và phương thức thanh toán. Quản lý cửa hàng tổng hợp dữ liệu vào bảng tần số như sau:

\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Nhóm tiền (Nghìn đồng)} & \text{Số người trả tiền mặt} & \text{Số người chuyển khoản} \\ \hline [0;30) & 2 & 1 \\ \hline [30;60) & 2 & 4 \\ \hline [60;90) & 7 & 6 \\ \hline [90;120) & 5 & 5 \\ \hline \end{array}

a)
Số tiền mua hàng trung bình của nhóm khách hàng chuyển khoản bằng số tiền mua hàng trung bình của nhóm khách hàng trả tiền mặt
b)
Số trung vị của nhóm khách hàng chuyển khoản bé hơn số trung vị của nhóm khách hàng trả tiền mặt
c)
Quản lý siêu thị cần chọn ngẫu nhiên 3 khách hàng để phỏng vấn. Số cách chọn được 3 người mua hàng dưới 60 nghìn đồng là 126 cách.
d)
Chọn ngẫu nhiên 4 khách hàng từ 32 khách hàng. Xác suất để trong 4 người được chọn có đúng 2 người trả tiền mặt và đúng 3 người mua hàng với giá dưới 60 nghìn đồng là $\frac{81}{3.596}$ .

Câu 2

Phần trong của một bể nước có hình dạng khối chóp tứ giác đều $S.ABCD$ như hình vẽ (mặt trên của bể là hình vuông $ABCD$ ). Biết $AB = 8\text{ m}$ , $SA = 4\sqrt{6}\text{ m}$ .

a)
Chiều cao của khối chóp $S.ABCD$ bằng $8\text{m}$
b)
Thể tích chứa nước của bể là $512\text{ m}^3$
c)
Người ta cần phủ một lớp sơn chống thấm bốn bề mặt xung quanh của phần trong bể nước. Chi phí sơn chống thấm là $250$ nghìn đồng/m $^2$ . Tổng chi phí để sơn là $15$ triệu đồng.
d)
Ban đầu bể không chứa nước, người ta bơm nước vào bể với lưu lượng nước không đổi là $350$ lít/phút. Xét thời gian tính từ lúc bắt đầu bơm nước. Khi đó, tốc độ dâng lên của mực nước trong bể tại thời điểm $6$ phút $40$ giây gấp $9$ lần tại thời điểm $3$ giờ.

Câu 3

Cho hàm số $f(x)=\frac{x-1}{x+2}$ có tập xác định là $D$ .

a)
$f(2)=\frac{1}{4}$
b)
$f'(x)=\frac{-3}{(x+2)^2}\ \forall x \in D$
c)
Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)$ trên $[2;3]$ bằng $\frac{13}{20}$
d)
Với mọi $x_1, x_2 \in D$ thỏa mãn $x_1 < x_2$ luôn có $f(x_1) < f(x_2)$

Câu 4

Một chất điểm chuyển động trên trục $Ox$ , chiều dương của chuyển động là chiều dương của trục $Ox$ (đơn vị trên trục là mét). Giả sử tại thời điểm $t$ (giây), tọa độ của chất điểm trên trục $Ox$ được tính theo công thức $x(t)=t^3-6t^2+9t$ với $t \ge 0$ .

a)
Tại thời điểm $t$ giây, vận tốc của chất điểm được tính theo công thức $v(t)=3t^2-12t+9$ (m/s)
b)
Vận tốc của chất điểm giảm trong khoảng thời gian từ giây thứ nhất đến giây thứ ba
c)
Sau $4$ giây kể từ lúc bắt đầu chuyển động, chất điểm cách điểm xuất phát $4\text{m}$
d)
Quãng đường chất điểm chuyển động trong $2$ giây đầu tiên là $2\text{m}$

Phần III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 1

Người ta cần thiết kế một thùng rác cỡ lớn có hình dạng hình chóp cụt tứ giác đều $ABCD.A'B'C'D'$ như hình vẽ.

Quy định đưa ra là tổng diện tích của hai đáy bằng $60\text{ m}^2$ và đường chéo $AC' = 9\text{ m}$ . Thể tích lớn nhất của thùng rác là bao nhiêu mét khối? (Làm tròn đến hàng đơn vị).

Trả lời:

Câu 2

Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm I và II. Một hộp sản phẩm loại I cần $2\text{ kg}$ nguyên liệu, $30$ giờ làm việc và lợi nhuận đem lại là $4$ triệu đồng. Một hộp sản phẩm loại II cần $6\text{ kg}$ nguyên liệu, $15$ giờ làm việc và lợi nhuận đem lại là $3$ triệu đồng. Xưởng có $48\text{ kg}$ nguyên liệu và $255$ giờ làm việc của nhân công. Hỏi lợi nhuận tối đa mà xưởng sản xuất có thể nhận được là bao nhiêu triệu đồng?

Trả lời:

HẾT