Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 năm 2024–2025 — Trường THPT Lương Ngọc Quyến, Thái Nguyên

Câu 1

6,0 điểm

a)
Tìm các điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=(x-6)\sqrt{x^2+4}$ .
b)
Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có $f'(x)=x(x-2)$ . Tìm số các giá trị nguyên của $m\in[-10;10]$ để hàm số $g(x)=f(x-1)+2024(m^2-1)x+2025$ đồng biến trên khoảng $(0;3)$ .

Câu 2

3,0 điểm

Một công ty muốn làm một đường ống dẫn từ vị trí $A$ trên bờ biển đến vị trí $B$ trên hòn đảo. Khoảng cách từ điểm $B$ đến bờ biển là $BH=6$ km (tham khảo hình vẽ). Giá tiền để xây dựng đường ống trên bờ là 50.000 USD mỗi kilômét và giá tiền xây dựng đường ống trên biển là 130.000 USD mỗi kilômét, biết rằng $AH=9$ km. Xác định vị trí điểm $C$ trên đoạn $AH$ để khi lắp ống dẫn theo đường gấp khúc $ACB$ thì chi phí công ty bỏ ra là thấp nhất.

Hình vẽ minh họa đường ống dẫn theo đường gấp khúc ACB với BH = 6 km và AH = 9 km

Câu 3

2,0 điểm

Hai bạn An và Bình thi đấu với nhau một trận bóng bàn gồm 5 séc (mỗi séc chỉ có kết quả thắng hoặc thua), người nào thắng trước 3 séc sẽ giành chiến thắng chung cuộc. Xác suất để An thắng mỗi séc là 0,4. Tính xác suất để An thắng chung cuộc.

Câu 4

5,0 điểm

Cho hình chóp $S.ABCD$ , có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $SA$ vuông góc với mặt đáy. Biết $AB=a$ , $AD=a\sqrt{2}$ và khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$ bằng $\frac{a\sqrt{6}}{3}$ .

a)
Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$ theo $a$ .
b)
Tính cosin của góc phẳng nhị diện $[B,SC,D]$ .

Câu 5

2,0 điểm

Cho tứ diện $ABCD$ có $AB$ vuông góc với mặt phẳng $(BCD)$ . Tam giác $BCD$ là tam giác đều và $AB=a$ , $BC=2a$ . Tính theo $a$ khoảng cách giữa hai đường $AC$ và $BD$ .

Câu 6

2,0 điểm

Cho biểu thức $f(x)=\frac{9^x-2}{9^x+3}$ . Tính tổng $S=f\left(\frac{1}{2025}\right)+f\left(\frac{2}{2025}\right)+\ldots+f\left(\frac{2024}{2025}\right)$ .