Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 năm 2023–2024 — Sở GD&ĐT Nam ĐịnhMã đề 101

Thời gian: 120 phút
Số câu: 60 câu
Đáp án: Có đáp án

Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn12,0 điểm

Câu 1

Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số sau?

Đồ thị hàm số với tiệm cận đứng x=1 và tiệm cận ngang

A
$\displaystyle y = \dfrac{2x}{3x - 3}$
B
$\displaystyle y = \dfrac{x + 1}{2x - 2}$
C
$\displaystyle y = \dfrac{2x - 4}{x - 1}$
D
$\displaystyle y = \dfrac{x + 1}{x - 1}$

Câu 2

Hình bát diện đều là loại khối đa diện đều nào sau đây?

A
$\displaystyle \{3; 4\}$
B
$\displaystyle \{4; 3\}$
C
$\displaystyle \{3; 3\}$
D
$\displaystyle \{5; 3\}$

Câu 3

Tính thể tích của khối nón có chiều cao bằng $8$ và độ dài đường sinh bằng $10$ .

A
$\displaystyle 256\pi$
B
$\displaystyle 288\pi$
C
$\displaystyle 96\pi$
D
$\displaystyle 384\pi$

Câu 4

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(2; -4; 3)$ và $B(2; 2; 9)$ . Trung điểm của đoạn $AB$ có tọa độ là

A
$\displaystyle (1; 3; 2)$
B
$\displaystyle (4; -2; 12)$
C
$\displaystyle (2; 6; 4)$
D
$\displaystyle (2; -1; 6)$

Câu 5

Với mọi $a, b, x$ là các số thực dương thỏa mãn $\log_2 x = 3\log_2 a + 3\log_8 b$ , mệnh đề nào dưới đây đúng?

A
$\displaystyle x = a^3b$
B
$\displaystyle x = 3a + b$
C
$\displaystyle x = a^3 + b^3$
D
$\displaystyle x = 3a + 3b$

Câu 6

Hàm số nào dưới đây đồng biến trên $\mathbb{R}$ ?

A
$\displaystyle y = x^3 + x - 4$
B
$\displaystyle y = \dfrac{x - 3}{x + 2}$
C
$\displaystyle y = x^4 + x^2$
D
$\displaystyle y = -x^3 + 3x$

Câu 7

Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S): x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 2y - 7 = 0$ . Bán kính của mặt cầu đã cho bằng

A
$\displaystyle \sqrt{15}$
B
$\displaystyle \sqrt{7}$
C
$\displaystyle 3$
D
$\displaystyle 9$

Câu 8

Cho cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = 11$ và công sai $d = 4$ . Giá trị của $u_5$ bằng

A
$\displaystyle -26$
B
$\displaystyle 28$
C
$\displaystyle 27$
D
$\displaystyle 15$

Câu 9

Cho hàm số $f(x) = 4x^3 - 3$ . Khẳng định nào dưới đây đúng?

A
$\displaystyle \int f(x) \mathrm{d}x = x^4 - 3x + C$
B
$\displaystyle \int f(x) \mathrm{d}x = x^4 + C$
C
$\displaystyle \int f(x) \mathrm{d}x = 12x^2 + C$
D
$\displaystyle \int f(x) \mathrm{d}x = 4x^3 - 3x + C$

Câu 10

Một khối trụ có thể tích bằng $\pi$ . Nếu giữ nguyên chiều cao và tăng bán kính đáy của khối trụ đó gấp 3 lần thì thể tích của khối trụ mới bằng bao nhiêu?

A
$\displaystyle V = 9\pi$
B
$\displaystyle V = 27\pi$
C
$\displaystyle V = 3\pi$
D
$\displaystyle V = 162\pi$

Câu 11

Một ô tô đang chạy với vận tốc $10$ m/s thì người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v(t) = -6t + 12$ (m/s), trong đó $t$ là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?

A
$12$ m
B
$10$ m
C
$20$ m
D
$2$ m

Câu 12

Cho hàm số bậc ba $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình $|f(x^3 - 3x)| = \ln 2$ là

A
$\displaystyle 3$
B
$\displaystyle 10$
C
$\displaystyle 12$
D
$\displaystyle 6$

Câu 13

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ . Biết tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ điểm $D$ đến mặt phẳng $(SAC)$ .

A
$\displaystyle \dfrac{a\sqrt{21}}{14}$
B
$\displaystyle \dfrac{a\sqrt{21}}{7}$
C
$\displaystyle \dfrac{a\sqrt{15}}{7}$
D
$\displaystyle \dfrac{a\sqrt{15}}{3}$

Câu 14

Cho lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$ , $BC = a\sqrt{2}$ , mặt phẳng $(A'BC)$ tạo với mặt phẳng $(ABC)$ góc $60^{\circ}$ . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

A
$\displaystyle \dfrac{a^3}{2}$
B
$\displaystyle \dfrac{\sqrt{6}a^3}{4}$
C
$\displaystyle \dfrac{a^3}{6}$
D
$\displaystyle \dfrac{\sqrt{6}a^3}{12}$

Câu 15

Trong không gian, cho $2024$ điểm phân biệt. Có tối đa bao nhiêu mặt phẳng phân biệt tạo bởi $3$ trong số $2024$ điểm đó?

A
$\displaystyle 2024$
B
$\displaystyle C_{2024}^3$
C
$\displaystyle 2024!$
D
$\displaystyle A_{2024}^3$

Câu 16

Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P): 3x + 2y - z + 5 = 0$ và hai điểm $A(2;0;-1)$ , $B(1;-1;3)$ . Gọi $(\alpha)$ là mặt phẳng đi qua hai điểm $A, B$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$ . Tính khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến mặt phẳng $(\alpha)$ .

A
$\displaystyle 9$
B
$\displaystyle \dfrac{2\sqrt{19}}{19}$
C
$\displaystyle \dfrac{5\sqrt{19}}{19}$
D
$\displaystyle 3\sqrt{19}$

Câu 17

Tìm tập xác định $\mathscr{D}$ của hàm số $y = \ln(9 - x^2) + (2x - 3)^{\pi}$ .

A
$\displaystyle \mathscr{D} = \left[-3; \dfrac{3}{2}\right) \cup \left(\dfrac{3}{2}; 3\right]$
B
$\displaystyle \mathscr{D} = (-3; 3)$
C
$\displaystyle \mathscr{D} = \left(\dfrac{3}{2}; 3\right)$
D
$\displaystyle \mathscr{D} = \left(-3; \dfrac{3}{2}\right) \cup \left(\dfrac{3}{2}; 3\right)$

Câu 18

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f(x) = \dfrac{3x - 1}{(x - 1)^2}$ trên khoảng $(1; +\infty)$ là

A
$\displaystyle 3\ln(x - 1) - \dfrac{2}{x - 1} + C$
B
$\displaystyle 3\ln(x - 1) + \dfrac{2}{x - 1} + C$
C
$\displaystyle 3\ln(x - 1) - \dfrac{1}{x - 1} + C$
D
$\displaystyle 3\ln(x - 1) + \dfrac{1}{x - 1} + C$

Câu 19

Cho hàm số $f(x) = 2^x \cdot 11^{x^2}$ . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A
$\displaystyle f(x) < 1 \Leftrightarrow x + x^2 \log_2 11 < 0$
B
$\displaystyle f(x) < 1 \Leftrightarrow 1 + x \log_2 11 < 0$
C
$\displaystyle f(x) < 1 \Leftrightarrow x \log_{11} 2 + x^2 < 0$
D
$\displaystyle f(x) < 1 \Leftrightarrow x \ln 2 + x^2 \ln 11 < 0$

Câu 20

Giá trị lớn nhất của hàm số $f(x) = \dfrac{-x^2 + 3x}{x + 1}$ trên đoạn $[0;4]$ là

A
$\displaystyle \dfrac{4}{5}$
B
$\displaystyle 0$
C
$\displaystyle 1$
D
$\displaystyle 2$

Câu 21

Cho hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 3mx + 2024$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ sao cho ứng với mỗi $m$ hàm số đã cho có đúng một điểm cực trị thuộc khoảng $(-1;7)$ ?

A
$\displaystyle 33$
B
$\displaystyle 32$
C
$\displaystyle 31$
D
$\displaystyle 35$

Câu 22

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $D$ , độ dài cạnh $AD = 3$ , $AB = 4$ , $CD = 8$ . Biết tam giác $SBC$ đều và nằm trong mặt phẳng tạo với mặt phẳng đáy góc $60^\circ$ . Tính thể tích của khối chóp $S.ABCD$ .

A
$\displaystyle \dfrac{27\sqrt{3}}{8}$
B
$\displaystyle \dfrac{27}{4}$
C
$\displaystyle \dfrac{27}{2}$
D
$\displaystyle \dfrac{45}{2}$

Câu 23

Kí hiệu $(H)$ là hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \sqrt{x + 3}$ , $y = x + 3$ và trục $Oy$ . Tính thể tích $V$ của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng $(H)$ xung quanh trục $Ox$ .

A
$\displaystyle \dfrac{9\pi}{2}$
B
$\displaystyle \dfrac{55\pi}{6}$
C
$\displaystyle \dfrac{29\pi}{6}$
D
$\displaystyle 9\pi$

Câu 24

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như sau

Bảng biến thiên của hàm số y: y′ > 0 trên (−∞; 1); y′ = 0 tại x = 1; y′ < 0 trên (1; 2); y′ = 0 tại x = 2; y′ > 0 trên (2; +∞). Hàm số y đồng biến trên (−∞; 1) và (2; +∞), nghịch biến trên (1; 2), đạt cực đại tại x = 1 với y(1) = 3, đạt cực tiểu tại x = 2 với y(2) = 0.

Số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \dfrac{2024}{f(x^3 + x + 1) + 1}$ là

A
$\displaystyle 4$
B
$\displaystyle 2$
C
$\displaystyle 3$
D
$\displaystyle 5$

Câu 25

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ . Biết $f(7) = 1$ và $\displaystyle\int_0^1 x f(7x) \mathrm{d}x = \dfrac{1}{49}$ , khi đó $\displaystyle\int_0^7 x^2 f'(x) \mathrm{d}x$ bằng

A
$\displaystyle 49$
B
$\displaystyle 47$
C
$\displaystyle 7$
D
$\displaystyle 3$

Câu 26

Đặt $a = \log_2 3$ , $b = \log_5 3$ . Hãy biểu diễn $\log_6 45$ theo $a$ và $b$ .

A
$\displaystyle \log_6 45 = \dfrac{2a^2 - 2ab}{ab + b}$
B
$\displaystyle \log_6 45 = \dfrac{2a^2 - 2ab}{ab}$
C
$\displaystyle \log_6 45 = \dfrac{a + 2ab}{ab + b}$
D
$\displaystyle \log_6 45 = \dfrac{a + 2ab}{ab}$

Câu 27

Cho hình chóp $S.ABC$ có cạnh bên $SA = 2a$ và vuông góc với mặt đáy. Biết $AB = 4a$ , $BC = 5a$ , $CA = 6a$ . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ .

A
$\displaystyle \dfrac{3\sqrt{3}}{4}a$
B
$\displaystyle \dfrac{19}{3}a$
C
$\displaystyle \dfrac{\sqrt{497}}{7}a$
D
$\displaystyle \dfrac{25\sqrt{3}}{8}a$

Câu 28

Cho hàm số $f(x) = (8 - x^4)\mathrm{e}^x + mx(x + m)$ . Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in (-2024; 0)$ để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $(2; 3)$ ?

A
$\displaystyle 14$
B
$\displaystyle 21$
C
$\displaystyle 19$
D
$\displaystyle 8$

Câu 29

Cho hàm số $f(x) = \dfrac{ax - 1}{bx + c}$ $(a, b, c \in \mathbb{R})$ có bảng biến thiên như hình vẽ sau

Bảng biến thiên của hàm số f(x): f′(x) < 0 trên (−∞; −2); f′(x) không xác định tại x = −2; f′(x) < 0 trên (−2; +∞). Hàm số f nghịch biến trên (−∞; −2) và (−2; +∞).

Giá trị của $a - b - c$ thuộc khoảng nào sau đây?

A
$\displaystyle (1; 2)$
B
$\displaystyle (0; 1)$
C
$\displaystyle (-1; 0)$
D
$\displaystyle (-2; -1)$

Câu 30

Có bao nhiêu giá trị của $x \in [0; 100\pi]$ để ba số $\dfrac{\sin x}{6}, \cos x, \tan x$ theo thứ tự lập thành một cấp số nhân?

A
$\displaystyle 20$
B
$\displaystyle 100$
C
$\displaystyle 120$
D
$\displaystyle 102$

Câu 31

Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S): x^2 + (y - 3)^2 + (z + 4)^2 = 4$ . Gọi $M, N$ là hai điểm di động trên mặt cầu $(S)$ sao cho $MN = \sqrt{2}$ . Tìm giá trị lớn nhất của $OM^2 - ON^2$ .

A
$\displaystyle 10\sqrt{2}$
B
$\displaystyle 0$
C
$\displaystyle 20\sqrt{2}$
D
$\displaystyle 4\sqrt{2}$

Câu 32

Cho $a, b, c$ là các số thực đều lớn hơn $1$ , thỏa mãn các điều kiện $a.b.c = 3$ và

\log_a(b^2 + bc + c^2) + \log_b(c^2 + ca + a^2) + \log_c(a^2 + ab + b^2) = 15.

Tính giá trị của biểu thức $P = a + 2b + 3c$ .

A
$\displaystyle P = 8$
B
$\displaystyle P = 6\sqrt[3]{3}$
C
$\displaystyle P = 9\sqrt[3]{3}$
D
$\displaystyle P = \dfrac{20}{3}$

Câu 33

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $[0; 1]$ . Biết $[f'(x)]^2 = 8x^2 + 4 - 4 \cdot f(x)$ với mọi $x$ thuộc đoạn $[0; 1]$ và $f(1) = 2$ , khi đó $\displaystyle\int_0^1 f(x)\mathrm{d}x$ bằng

A
$\displaystyle \dfrac{4}{3}$
B
$\displaystyle \dfrac{1}{3}$
C
$\displaystyle \dfrac{21}{4}$
D
$\displaystyle 2$

Câu 34

Xét $x, y$ là các số thực thỏa mãn $e^{(x+y)^2} + e^{2xy} \cdot (x^2 + y^2 - xy - 1) = e^{1+3xy}$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S = x^4 + y^4 - x^2y^2$ .

A
$\displaystyle 1$
B
$\displaystyle \dfrac{1}{9}$
C
$\displaystyle \dfrac{2}{3}$
D
$\displaystyle \dfrac{3}{2}$

Câu 35

Cho hàm số bậc bốn $y = f(x)$ , có đồ thị như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số $y = f\left(2^{\cos^2 x} + 1\right)$ trên $[-\pi; \pi]$ là

Câu 36

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho parabol $(P): y = x^2$ và điểm $A(0;1)$ . Gọi $\Delta$ đường thẳng đi qua $A$ và cắt $(P)$ tại hai điểm $B, C$ sao cho $AC = 2AB$ như hình vẽ bên. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol $(P)$ và đường thẳng $\Delta$ thuộc khoảng nào dưới đây?

parabol $(P)$ và đường thẳng $\Delta$ cắt nhau tại $B, C$ với miền gạch sọc giới hạn bởi $(P)$ và $\Delta$

A
$\displaystyle (1; 2)$
B
$\displaystyle (4; 5)$
C
$\displaystyle (2; 3)$
D
$\displaystyle (3; 4)$

Câu 37

Cho hàm số bậc năm $y = f(x)$ . Biết hàm số $y = f'(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in [-13; 13]$ để hàm số $g(x) = f(11 - 3x) + \dfrac{1}{3}x^3 - 2x^2 + (m + 3)x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ ?

A
2
B
26
C
1
D
13

Câu 38

Cho hàm số $f(x) = \log_4\left(\sqrt{x^2 + 8} - x\right)$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $f(4.3^x + 17x + m) + f(-3^{x+2}) = \dfrac{3}{2}$ có hai nghiệm thực dương phân biệt?

Câu 39

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , quay tam giác $ABC$ xung quanh các cạnh $BC, AB, AC$ thu được các khối tròn xoay có thể tích lần lượt là $V_1, V_2, V_3$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A
$\displaystyle V_1^2 = V_2.V_3$
B
$\displaystyle \dfrac{1}{V_1} = \dfrac{1}{V_2} + \dfrac{1}{V_3}$
C
$\displaystyle \dfrac{1}{V_1^2} = \dfrac{1}{V_2^2} + \dfrac{1}{V_3^2}$
D
$\displaystyle V_1 = V_2 + V_3$

Câu 40

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ , $\widehat{BAC} = 90^\circ$ và $SA = BC$ . Gọi $E, F$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SB, SC$ ; $M$ là trung điểm của $SA$ và $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ . Tính tỉ số $\dfrac{V_1}{V_2}$ , với $V_1, V_2$ lần lượt là thể tích của các khối tứ diện $MAEF$ và $AEFG$ .

A
$\displaystyle \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
B
$\displaystyle 2$
C
$\displaystyle \dfrac{3}{2}$
D
$\displaystyle \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Phần II. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn8,0 điểm

Câu 41

Cho $\int_{5}^{21} \frac{\mathrm{d}x}{x\sqrt{x+4}} = a \ln 3 + b \ln 5 + c \ln 7$ với $a, b, c$ là các số hữu tỉ. Tính $a + b + 2c$ .

Trả lời:

Câu 42

Tính tổng các nghiệm của phương trình $\log_{2}(x^2 + 3) = \frac{1}{2}\log_{2}(4x)^2$ .

Trả lời:

Câu 43

Cho hàm số $f(x) = \frac{x+1}{1-x}$ . Đồ thị hàm số $y = f'(x)$ có bao nhiêu đường tiệm cận ngang?

Trả lời:

Câu 44

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a$ , cạnh bên tạo với mặt đáy góc $30^{\circ}$ . Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.

Trả lời:

Câu 45

Cho $x, y$ là các số thực dương thỏa mãn $\log_{3} x = \log_{\sqrt{6}} y = \log_{2}(2x + y)$ . Tính giá trị của biểu thức $\frac{x}{y}$ .

Trả lời:

Câu 46

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = (x^2 - 9)x^2(x + 2)^3$ , $\forall x \in \mathbb{R}$ . Tìm số điểm cực đại của hàm số $f(x)$ .

Trả lời:

Câu 47

Cho hàm số $y = -x^3 + 3x^2 + 3(m^2 + 2m)x + m + 3$ . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số đã cho đạt cực trị tại hai điểm $x_1$ và $x_2$ thỏa mãn $x_1 < -1 < x_2$ .

Trả lời:

Câu 48

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định, liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng xét dấu của $f'(x)$ như sau

Bảng xét dấu: f′(x) > 0 trên (−∞; −2); f′(x) = 0 tại x = −2; f′(x) < 0 trên (−2; 1); f′(x) = 0 tại x = 1; f′(x) > 0 trên (1; 2); f′(x) không xác định tại x = 2; f′(x) < 0 trên (2; 3); f′(x) = 0 tại x = 3; f′(x) < 0 trên (3; +∞).

Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực đại?

Trả lời:

Câu 49

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = e^x$ , $y = 0$ , $x = 0$ , $x = 2$ .

Trả lời:

Câu 50

Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $H(1;2;3)$ . Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $H$ và cắt các trục $Ox, Oy, Oz$ lần lượt tại $A, B, C$ thỏa mãn $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$ .

Trả lời:

Câu 51

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ , độ dài cạnh $AB = 3a$ . Biết $\widehat{SAB} = \widehat{SCB} = 90^{\circ}$ và khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$ bằng $a\sqrt{5}$ . Gọi $\alpha$ là góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $SC$ . Tính $\tan \alpha$ .

Trả lời:

Câu 52

Cho hình tứ diện $ABCD$ có $AB, AC, AD$ đôi một vuông góc với nhau và có độ dài cùng bằng $2a$ . Gọi $E$ và $F$ lần lượt là trung điểm $BC, BD$ . Tính thể tích của khối chóp $A.EFDC$ .

Trả lời:

Câu 53

Cho đa giác đều $(H)$ có 24 đỉnh, chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh của hình $(H)$ . Tính xác suất để 4 đỉnh được chọn tạo thành một hình chữ nhật không phải là hình vuông.

Trả lời:

Câu 54

Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $A(-1;2;4)$ , $B(-1;-2;2)$ . Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc mặt phẳng $(P): z - 1 = 0$ sao cho tam giác $MAB$ vuông tại $M$ và có diện tích nhỏ nhất.

Trả lời:

Câu 55

Xét các số thực $a, b, c$ thỏa mãn $a > 1$ , $b > 0$ , $c > 0$ và $a^{x^2} \cdot (b + c)^{2x} \ge \frac{1}{(b + c)^2}$ với mọi số thực $x$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = a^2 + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$ .

Trả lời:

Câu 56

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\left(\dfrac{1}{2};+\infty\right)$ thỏa mãn $f(1)=1$ và $(2x-1)f'(x)-f(x)=(2x-1)\sqrt{2x-1}$ với mọi $x \in \left(\dfrac{1}{2};+\infty\right)$ . Tính $\displaystyle\int_{1}^{5} \dfrac{f(x)}{x} \mathrm{d}x$ .

Trả lời:

Câu 57

Cho hàm số $y=x^{3}-3x^{2}+x+(x^{2}-3x+2)\cdot (m-|x-1|)$ có đồ thị $(\mathscr{C})$ và đường thẳng $\Delta: y=x-3$ . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để đường thẳng $\Delta$ cắt đồ thị $(\mathscr{C})$ tại $3$ điểm phân biệt.

Trả lời:

Câu 58

Cho hàm số bậc bốn $y=f(x)$ có bảng biến thiên như sau

Bảng biến thiên của hàm số f(x): f′(x) < 0 trên (−∞; −2); f′(x) = 0 tại x = −2; f′(x) > 0 trên (−2; 0); f′(x) = 0 tại x = 0; f′(x) < 0 trên (0; 1); f′(x) = 0 tại x = 1; f′(x) > 0 trên (1; +∞). Hàm số f nghịch biến trên (−∞; −2) và (0; 1), đồng biến trên (−2; 0) và (1; +∞), đạt cực tiểu tại x = −2 với f(−2) = −2, đạt cực đại tại x = 0 với f(0) = −1, đạt cực tiểu tại x = 1 với f(1) = −3.

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $g(x)=f(x)-5\ln (f(x)+5)$ .

Trả lời:

Câu 59

Có bao nhiêu số nguyên $x$ thuộc đoạn $[1;2024]$ sao cho tồn tại số nguyên dương $y$ thỏa mãn $4\cdot e^{(4x^{2}-3y+1)\ln x}-1=3y$ .

Trả lời:

Câu 60

Cho khối nón $(\mathcal{N})$ có bán kính đáy $r=4$ và chiều cao lớn hơn bán kính đáy. Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua đỉnh khối nón và tạo với mặt đáy góc $60^{\circ}$ . Biết mặt phẳng $(P)$ cắt khối nón $(\mathcal{N})$ theo thiết diện là một tam giác có diện tích bằng $8\sqrt{3}$ . Tính thể tích của khối nón đã cho.

Trả lời:

HẾT