Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 năm 2024–2025 — Sở GD&ĐT Hà Nam

Gọi $A, B$ là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y = \dfrac{x^2 + 3x - 9}{x - 2}$. Tìm tọa độ của điểm $M$ nằm trên trục hoành sao cho chu vi tam giác $MAB$ nhỏ nhất.

Trên một khúc sông có dòng nước lặng, một chiếc tàu chạy với tốc độ không đổi, chi phí nhiên liệu được tính bởi hai phần: Phần thứ nhất không phụ thuộc vào tốc độ và mất chi phí là 700 nghìn đồng/giờ; Phần thứ hai tỉ lệ thuận với bình phương của tốc độ, khi tàu chạy với tốc độ $10$ km/h thì chi phí phần thứ hai là $70$ nghìn đồng/giờ. Tìm tốc độ của tàu để tổng chi phí nhiên liệu khi tàu chạy $1$ km trên sông là nhỏ nhất. (Bỏ qua vận tốc của dòng nước)

Xét điểm $A$ và đường thẳng $d$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $d$. Xét hai điểm $B$ và $C$ di chuyển trên tia $Hx$ sao cho $HC = 3HB$ (Như hình vẽ bên dưới). Biết rằng $AH = 5$. Khi độ lớn của góc $BAC$ lớn nhất hãy tính độ dài đoạn $BC$.

Giải phương trình sau trên tập số thực: $e^{3x} + e^x = 2\left(x + \sqrt{1 - x^2}\right)\left(1 + x\sqrt{1 - x^2}\right)$.

Bảng sau thống kê mức lương của hai công ty A, B (đơn vị: triệu đồng) trong cùng một tháng

Người ta có thể sử dụng độ lệch chuẩn để so sánh mức độ đồng đều về mức lương của các công ty. Mức lương của công ty nào có độ lệch chuẩn nhỏ hơn thì sẽ đồng đều hơn. Theo quan điểm trên, hãy so sánh mức độ đồng đều về mức lương của công ty A và công ty B.

Cho hàm số $f(x) \neq 0, \forall x \in [0; +\infty)$ có đạo hàm liên tục trên $(0; +\infty)$ thỏa mãn $f(1) = -\dfrac{1}{12}$ và $f'(x) = (2x + 5) \cdot (f(x))^2 \; \forall x \in (0; +\infty)$. Tính tổng $S = f(1) + f(2) + f(3) + \ldots + f(2025)$.

Một chất điểm $A$ chuyển động trên trục $Ox$, với vận tốc $v(t) = -2t + 3$ (m/s), trong đó thời điểm $t = 0$ (giây) tính từ lúc chất điểm bắt đầu chuyển động và khi đó chất điểm ở tại gốc tọa độ. Tại thời điểm $t = 0$, tại gốc tọa độ một chất điểm $B$ khác $A$ chuyển động trên trục $Ox$ với vận tốc $v_1(t) = 3^t \ln 3$ (m/s). Sau khoảng thời gian bao lâu thì hai chất điểm gặp nhau lần thứ hai (thời điểm $t = 0$ được xem là thời điểm hai chất điểm gặp nhau lần thứ nhất)?

Cho hình lăng trụ $ABCD.A'B'C'D'$, có $BAD = BCD = 90^{\circ}$, $BD = 1$, $ABD = CBD = 30^{\circ}$. Cho biết tứ giác $AA'C'C$ là hình thoi có $A'AC = 60^{\circ}$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$. Tính thể tích của khối lăng trụ $ABCD.A'B'C'D'$.

Trong không gian $Oxyz$, xét điểm $M(a;b;c)$, $a > 0, b > 0, c > 0$ sao cho $MOy = MOz = 60^{\circ}$ và $OM = 12$. Gọi $A, B$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm $M$ lên các trục $Ox, Oy$.

Một chiếc đèn tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây không dãn xuất phát từ điểm $O$ trên trần nhà lần lượt buộc vào ba điểm $A, B, C$ trên đèn tròn sao cho tam giác $ABC$ đều (Hình vẽ bên dưới). Độ dài của ba đoạn dây $OA, OB, OC$ đều bằng $L$ (dm). Trọng lượng của chiếc đèn là $27$ N và bán kính của chiếc đèn là $5$ dm. Gọi $F$ là độ lớn của các lực căng $\vec{F}_{1}, \vec{F}_{2}, \vec{F}_{3}$ trên mỗi sợi dây. Khi đó $F = F(L)$ là một hàm số với biến số $L$. Xác định hàm số $F = F(L)$ và tìm chiều dài tối thiểu của mỗi sợi dây, biết rằng mỗi sợi dây đó được thiết kế để chịu được lực căng tối đa là $9,75$ N.