Đăng nhập

Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 năm 2023–2024 — Sở GD&ĐT Sơn LaMã đề 201

Thời gian
180 phút
Số câu
37 câu
Đáp án
Có đáp án
Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn — 30 câu · 6,0 điểm
Phần II. Tự luận — 7 câu · 14,0 điểm

Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn6,0 điểm

Câu 1

Cho hàm số y=x−22x2−5x+2y = \frac{\sqrt{x-2}}{2x^2-5x+2}. Số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là

  1. A

    3

  2. B

    0

  3. C

    2

  4. D

    1

Câu 2

Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng 2a2a. Thể tích của khối tứ diện ABDB′ABDB' bằng

  1. A

    2a3\displaystyle 2a^3

  2. B

    a3\displaystyle a^3

  3. C

    4a33\displaystyle \frac{4a^3}{3}

  4. D

    2a33\displaystyle \frac{2a^3}{3}

Câu 3

Giới hạn lim⁡x→1x2−2x+12x3−2\lim_{x \to 1} \frac{x^2-2x+1}{2x^3-2} bằng

  1. A

    +∞\displaystyle +\infty

  2. B

    12\displaystyle \frac{1}{2}

  3. C

    0\displaystyle 0

  4. D

    −∞\displaystyle -\infty

Câu 4

Cho hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy ABCDABCD là hình vuông cạnh aa, SA=aSA = a và SASA vuông góc với đáy. Gọi MM là trung điểm SBSB, NN thuộc cạnh SDSD sao cho SN=2NDSN = 2ND. Thể tích VV của khối tứ diện ACMNACMN bằng

  1. A

    V=112a3\displaystyle V = \frac{1}{12}a^3

  2. B

    V=16a3\displaystyle V = \frac{1}{6}a^3

  3. C

    V=18a3\displaystyle V = \frac{1}{8}a^3

  4. D

    V=136a3\displaystyle V = \frac{1}{36}a^3

Câu 5

Đạo hàm hàm số y=ex⋅cos⁡2xy = e^x \cdot \cos 2x bằng

  1. A

    ex⋅cos⁡2x\displaystyle e^x \cdot \cos 2x

  2. B

    ex(sin⁡2x+cos⁡2x)\displaystyle e^x(\sin 2x + \cos 2x)

  3. C

    ex(cos⁡2x−2sin⁡2x)\displaystyle e^x(\cos 2x - 2\sin 2x)

  4. D

    ex(2sin⁡2x−cos⁡2x)\displaystyle e^x(2\sin 2x - \cos 2x)

Câu 6

Cho các số tự nhiên m,nm, n thỏa mãn đồng thời các điều kiện Cm2=190C_m^2 = 190 và Cmn=Cmn+2C_m^n = C_m^{n+2}. Khi đó m+nm + n bằng

  1. A

    26

  2. B

    29

  3. C

    24

  4. D

    28

Câu 7

Tổng tung độ các giao điểm của hai đồ thị hàm số y=4x+4x−1y = \frac{4x+4}{x-1} và y=x2−1y = x^2-1 bằng

  1. A

    2

  2. B

    9

  3. C

    8

  4. D

    3

Câu 8

Cho hàm số y=f(x)=−x3+ax2+bx+cy = f(x) = -x^3 + ax^2 + bx + c. Biết rằng đồ thị hàm số có điểm cực đại là M(2;3)M(2;3). Mệnh đề nào sau đây sai?

  1. A

    Điểm cực tiểu của hàm số lớn hơn 2

  2. B

    y′(2)=0\displaystyle y'(2) = 0

  3. C

    Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho nhỏ hơn 3

  4. D

    Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng 3

Câu 9

Cho hàm số y=f(x)y = f(x) liên tục trên R\mathbb{R} và có đồ thị hàm số y=f′(x)y = f'(x) như hình vẽ. Hàm số y=f(2x)y = f(2x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Đồ thị hàm số $y = f'(x)$
  1. A

    (−2;2)\displaystyle (-2;2)

  2. B

    (−1;1)\displaystyle (-1;1)

  3. C

    (−3;0)\displaystyle (-3;0)

  4. D

    (−12;12)\displaystyle \left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)

Câu 10

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng aa và cạnh bên bằng 2a2a. Tang của giữa hai mặt phẳng (A′BC)(A'BC) và (ABC)(ABC) bằng

  1. A

    34\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}

  2. B

    433\displaystyle \frac{4\sqrt{3}}{3}

  3. C

    33\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}

  4. D

    3\displaystyle \sqrt{3}

Câu 11

Cho hàm số f(x)f(x) có đạo hàm f′(x)=(x−1)3(x+2)2(x2−1)(x3+8),∀x∈Rf'(x)=(x-1)^3(x+2)^2(x^2-1)(x^3+8), \forall x \in \mathbb{R}. Số điểm cực đại của hàm số đã cho là

  1. A

    1\displaystyle 1

  2. B

    4\displaystyle 4

  3. C

    2\displaystyle 2

  4. D

    3\displaystyle 3

Câu 12

Tập xác định của hàm số y=[log⁡(x−2)]2y=[\log(x-2)]^{\sqrt{2}} là

  1. A

    (3;+∞)\displaystyle (3;+\infty)

  2. B

    (2;+∞)\displaystyle (2;+\infty)

  3. C

    R\displaystyle \mathbb{R}

  4. D

    (0;+∞)\displaystyle (0;+\infty)

Câu 13

Một đoàn tàu có 44 toa. Có 44 hành khách bước lên tàu. Số cách sắp xếp để có 33 hành khách lên chung một toa, một toa có một hành khách, còn 22 toa còn lại không có khách là

  1. A

    24\displaystyle 24

  2. B

    48\displaystyle 48

  3. C

    54\displaystyle 54

  4. D

    96\displaystyle 96

Câu 14

Giá trị lớn nhất của hàm số y=2x−x2y=\sqrt{2x-x^2} bằng

  1. A

    4\displaystyle 4

  2. B

    1\displaystyle 1

  3. C

    0\displaystyle 0

  4. D

    2\displaystyle 2

Câu 15

Cho hàm số y=f(x)y=f(x) liên tục trên R\mathbb{R} có bảng biến thiên như sau:

x−∞−202+∞f′(x)−0+0−0++∞2+∞f(x)↘↗↘↗−1−1\begin{array}{|c|ccccccccc|} \hline x & -\infty & & -2 & & 0 & & 2 & & +\infty \\ \hline f'(x) & & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + & \\ \hline & +\infty & & & & 2 & & & & +\infty \\ f(x) & & \searrow & & \nearrow & & \searrow & & \nearrow & \\ & & & -1 & & & & -1 & & \\ \hline \end{array}

Số nghiệm thực của phương trình 5f(x)+3=05f(x)+3=0 là

  1. A

    3\displaystyle 3

  2. B

    2\displaystyle 2

  3. C

    0\displaystyle 0

  4. D

    4\displaystyle 4

Câu 16

Cho hình chóp S.ABCS.ABC có đáy ABCABC là tam giác đều cạnh 33 cm. Mặt bên SABSAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích khối nón có đường tròn đáy nội tiếp tam giác SABSAB và đỉnh nằm trên cạnh SCSC bằng

  1. A

    3π4 cm3\displaystyle \frac{3\pi}{4} \text{ cm}^3

  2. B

    9π2 cm3\displaystyle \frac{9\pi}{2} \text{ cm}^3

  3. C

    93π2 cm3\displaystyle \frac{9\sqrt{3}\pi}{2} \text{ cm}^3

  4. D

    3π4 cm3\displaystyle \frac{\sqrt{3}\pi}{4} \text{ cm}^3

Câu 17

Cho hàm số y=f(x)y=f(x) xác định trên R∖{−1}\mathbb{R}\setminus\{-1\}, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình sau

x−∞−13+∞y′+−0+2+∞+∞y↗↘↗−∞−4\begin{array}{|c|cc||cccc|} \hline x & -\infty & -1 & & 3 & & +\infty \\ \hline y' & & + & & - & 0 & + & \\ \hline & & & 2 & +\infty & & & +\infty \\ y & & \nearrow & & \searrow & & \nearrow & \\ & -\infty & & & & -4 & & \\ \hline \end{array}

Tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực mm sao cho phương trình ∣f(x)∣=m|f(x)|=m có đúng năm nghiệm thực phân biệt là

  1. A

    (2;4)\displaystyle (2;4)

  2. B

    (−∞;2]\displaystyle (-\infty;2]

  3. C

    [−4;2]\displaystyle [-4;2]

  4. D

    [2;4)\displaystyle [2;4)

Câu 18

Giới hạn lim⁡73n2+n2(3n+2)=a3b\lim \dfrac{7\sqrt{3n^2+n}}{2(3n+2)}=\dfrac{a\sqrt{3}}{b} (với a,ba,b là các số nguyên dương và ab\dfrac{a}{b} là phân số tối giản). Tổng a+ba+b bằng

  1. A

    T=13\displaystyle T=13

  2. B

    T=21\displaystyle T=21

  3. C

    T=11\displaystyle T=11

  4. D

    T=9\displaystyle T=9

Câu 19

Cho hàm số y=f(x)y = f(x) liên tục trên R\mathbb{R} và có bảng biến thiên như hình vẽ

Bảng biến thiên của hàm số $y = f(x)$
x−∞02+∞y′−0+0−+∞5y↘↗↘1−∞\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x & -\infty & & 0 & & 2 & & +\infty \\ \hline y' & & - & 0 & + & 0 & - & \\ \hline & +\infty & & & & & 5 & \\ y & & \searrow & & \nearrow & & \searrow & \\ & & & 1 & & & & -\infty \\ \hline \end{array}

Khi đó đồ thị hàm số g(x)=f(x2+1)g(x) = f(x^2 + 1) có bao nhiêu điểm chung với trục hoành?

  1. A

    3\displaystyle 3

  2. B

    2\displaystyle 2

  3. C

    1\displaystyle 1

  4. D

    0\displaystyle 0

Câu 20

Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số y=ax+bcx−2y = \dfrac{ax + b}{cx - 2}.

Đồ thị hàm số $y = \frac{ax+b}{cx-2}$

Khi đó biểu thức P=a+b4+cbP = \dfrac{a + b}{4 + cb} có giá trị bằng

  1. A

    12\displaystyle \dfrac{1}{2}

  2. B

    2\displaystyle 2

  3. C

    −14\displaystyle \dfrac{-1}{4}

  4. D

    3\displaystyle 3

Câu 21

Cho khối chóp S.ABCDS.ABCD có đáy là hình vuông cạnh aa, cạnh bên SASA vuông góc với mặt phẳng đáy, mặt bên (SBC)(SBC) tạo với đáy một góc 60∘60^{\circ}. Thể tích của khối chóp đã cho bằng

Hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông
  1. A

    8a333\displaystyle \dfrac{8a^3\sqrt{3}}{3}

  2. B

    8a339\displaystyle \dfrac{8a^3\sqrt{3}}{9}

  3. C

    a333\displaystyle \dfrac{a^3\sqrt{3}}{3}

  4. D

    a339\displaystyle \dfrac{a^3\sqrt{3}}{9}

Câu 22

Cho hình chóp S.ABCS.ABC có đáy ABCABC là tam giác vuông tại AA, có AB=aAB = a, AC=a3AC = a\sqrt{3}. Các tam giác SAB,SACSAB, SAC lần lượt vuông tại BB và CC. Cạnh bên SASA tạo với đáy góc 30∘30^{\circ}. Bán kính hình cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCS.ABC bằng

  1. A

    a32\displaystyle \dfrac{a\sqrt{3}}{2}

  2. B

    2a3\displaystyle \dfrac{2a}{3}

  3. C

    2a33\displaystyle \dfrac{2a\sqrt{3}}{3}

  4. D

    a2\displaystyle \dfrac{a}{2}

Câu 23

Cho hàm số y=f(x)=x3−mx2+9x+2m−5y = f(x) = x^3 - mx^2 + 9x + 2m - 5. Số giá trị nguyên của tham số mm để hàm số đồng biến trên R\mathbb{R} là

  1. A

    11\displaystyle 11

  2. B

    10\displaystyle 10

  3. C

    7\displaystyle 7

  4. D

    6\displaystyle 6

Câu 24

Cho hình trụ có bán kính đáy bằng 5 cm5\,\text{cm} và khoảng cách giữa hai đáy là 6 cm6\,\text{cm}. Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục 3 cm3\,\text{cm}. Diện tích của thiết diện được tạo thành bằng

  1. A

    46 cm2\displaystyle 46\,\text{cm}^2

  2. B

    48 cm2\displaystyle 48\,\text{cm}^2

  3. C

    53 cm2\displaystyle 53\,\text{cm}^2

  4. D

    55 cm2\displaystyle 55\,\text{cm}^2

Câu 25

Gọi MM là giá trị lớn nhất, mm là giá trị nhỏ nhất của hàm số y=4sin⁡xcos⁡x+3y = 4\sin x\cos x + 3. Hiệu M−mM - m bằng

  1. A

    3\displaystyle 3

  2. B

    2\displaystyle 2

  3. C

    6\displaystyle 6

  4. D

    4\displaystyle 4

Câu 26

Hàm số f(x)=x4(x−1)2f(x) = x^4(x - 1)^2 có bao nhiêu điểm cực tiểu?

  1. A

    3\displaystyle 3

  2. B

    0\displaystyle 0

  3. C

    1\displaystyle 1

  4. D

    2\displaystyle 2

Câu 27

Một hộp đựng 55 quả cầu trắng, 77 quả cầu đen. Lần thứ nhất lấy ngẫu nhiên 11 quả cầu trong hộp, lần thứ hai lấy ngẫu nhiên 11 quả cầu trong các quả cầu còn lại. Xác suất để kết quả của hai lần lấy được 22 quả cầu cùng màu bằng

  1. A

    3166\displaystyle \dfrac{31}{66}

  2. B

    61132\displaystyle \dfrac{61}{132}

  3. C

    3566\displaystyle \dfrac{35}{66}

  4. D

    35132\displaystyle \dfrac{35}{132}

Câu 28

Cho tứ diện đều ABCDABCD có cạnh bằng 22. Điểm MM bất kỳ trong tứ diện ABCDABCD. Tổng khoảng cách từ điểm MM đến bốn mặt của tứ diện ABCDABCD bằng

  1. A

    62\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}

  2. B

    233\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}

  3. C

    3\displaystyle \sqrt{3}

  4. D

    263\displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{3}

Câu 29

Cho hàm số y=f(x)y = f(x) liên tục trên R\mathbb{R} và có đạo hàm f′(x)=(4−x2)(x2−5x+6)f'(x) = (4 - x^2)(x^2 - 5x + 6). Hàm số y=f(x)y = f(x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

  1. A

    (−∞;2)\displaystyle (-\infty; 2)

  2. B

    (3;+∞)\displaystyle (3; +\infty)

  3. C

    (−2;3)\displaystyle (-2; 3)

  4. D

    (2;3)\displaystyle (2; 3)

Câu 30

Biết giá trị nhỏ nhất của hàm số y=x2+2x+my = x^2 + \frac{2}{x} + m trên đoạn [12;2]\left[\frac{1}{2}; 2\right] bằng 66. Khi đó giá trị của mm bằng

  1. A

    m=3\displaystyle m = 3

  2. B

    m=174\displaystyle m = \frac{17}{4}

  3. C

    m=10\displaystyle m = 10

  4. D

    m=5\displaystyle m = 5

Phần II. Tự luận14,0 điểm

Câu 1

2,0 điểm

Tìm mm để giá trị lớn nhất của hàm số y=x3−3mx2+6y = x^3 - 3mx^2 + 6 trên đoạn [0;3][0; 3] bằng 99.

    Câu 2

    2,0 điểm

    Cho phương trình m⋅16x+2⋅81x=5⋅36xm \cdot 16^x + 2 \cdot 81^x = 5 \cdot 36^x (1)(1)

    1. a)

      Giải phương trình (1)(1) khi m=3m = 3.

    2. b)

      Tìm mm để phương trình (1)(1) có nghiệm duy nhất.

    Câu 3

    2,0 điểm

    Giải hệ phương trình trên tập số thực {(2x2−3x+4)(2y2−3y+4)=18x2+y2+xy−7x−6y+14=0\begin{cases} (2x^2 - 3x + 4)(2y^2 - 3y + 4) = 18 \\ x^2 + y^2 + xy - 7x - 6y + 14 = 0 \end{cases}.

      Câu 4

      2,0 điểm

      Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCDS.ABCD có AB=1,SA=3AB = 1, SA = 3. Mặt phẳng (P)(P) chứa đường thẳng ACAC, vuông góc với mặt phẳng (SCD)(SCD) và cắt đường thẳng SDSD tại EE.

      1. a)

        Tính cosin của góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy của hình chóp S.ABCDS.ABCD.

      2. b)

        Tính thể tích của khối chóp A.CEDA.CED.

      Câu 5

      2,0 điểm

      Trong mặt phẳng tọa độ OxyOxy, cho hình chữ nhật ABCDABCD có AB=2BCAB = 2BC. Gọi M,NM, N lần lượt là trung điểm của AB,CDAB, CD. Đường thẳng BNBN cắt đường thẳng ACAC tại điểm E(5;3)E(5; 3). Phương trình đường thẳng CMCM là x+y=9x + y = 9. Tìm tọa độ điểm CC.

        Câu 6

        2,0 điểm

        Cho dãy số (un)(u_n) được xác định như sau: u1=13u_1 = \frac{1}{3}, un+1=un(2n+3)un+1u_{n+1} = \frac{u_n}{(2n+3)u_n + 1} với n∈N∗n \in \mathbb{N}^*.

        Tính lim⁡(u1+u2+...+un)\lim(u_1 + u_2 + ... + u_n).

          Câu 7

          2,0 điểm

          Cho các số thực x,yx, y thỏa mãn 4x2+y2≤84x^2 + y^2 \le 8. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

          P=(2x+6)2+(y+6)2+4xy−322x+y+6.P = \frac{(2x+6)^2 + (y+6)^2 + 4xy - 32}{2x + y + 6}.
            HẾT
            Đăng nhập để làm bài