Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 lần 1 năm 2025–2026 — Khối các trường THPT huyện Triệu Sơn, Thanh HóaMã đề 121

Thời gian: 90 phút
Số câu: 32 câu
Đáp án: Có đáp án

Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn — 20 câu

Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai — 6 câu

Phần III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn — 6 câu

Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Câu 1

Từ độ cao $55,8m$ của tháp nghiêng Pisa nước Ý, người ta thả một quả bóng cao su chạm xuống đất (hình 18). Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng $\frac{1}{10}$ độ cao mà quả bóng đạt được trước đó. Tính tổng độ dài quãng đường di chuyển của quả bóng tính từ lúc thả ban đầu cho đến khi quả bóng đó chạm đất và dừng lại.

A
62
B
50,2
C
61
D
68,2

Câu 2

Tính tổng tất cả các nghiệm thuộc khoảng $(0;\pi)$ của phương trình $\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)+\sin 5x=0$ .

A
$\displaystyle \frac{39\pi}{18}$
B
$\displaystyle \frac{43\pi}{18}$
C
$\displaystyle \frac{49\pi}{18}$
D
$\displaystyle 3\pi$

Câu 3

Cho hàm số $f(x)=\frac{ax-6}{bx+c} (a,b,c \in \mathbb{R})$ có bảng biến thiên như sau:

\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x & -\infty & & 3 & & +\infty \\ \hline y' & & + & & + & \\ \hline & & & +\infty & & 2 \\ y & & \nearrow & & \nearrow & \\ & 2 & & -\infty & & \\ \hline \end{array}

Giá trị nhỏ nhất của $P=ab+a+c$ bằng

A
$\displaystyle \frac{-1}{4}$
B
$\displaystyle \frac{-1}{8}$
C
$\displaystyle \frac{3}{8}$
D
$\displaystyle \frac{-25}{8}$

Câu 4

Cho góc lượng giác $\alpha$ thỏa mãn $\sin 2\alpha=\frac{1}{4}$ . Tính giá trị của biểu thức $A=\sin\left(\alpha+\frac{\pi}{12}\right)\cos\left(\alpha-\frac{\pi}{12}\right)$ .

A
$\displaystyle \frac{3}{8}$
B
$\displaystyle \frac{1}{8}$
C
$\displaystyle \frac{3}{4}$
D
$\displaystyle \frac{1}{4}$

Câu 5

Xí nghiệp $A$ sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Biết rằng hàm tổng chi phí sản xuất là $TC = x^3 - 77x^2 + 1000x + 40.000$ và hàm doanh thu là $TR = -2x^2 + 1312x$ , với $x$ là số sản phẩm sản xuất. Lợi nhuận của xí nghiệp $A$ được xác định bằng hàm số $f(x) = TR - TC$ . Số sản phẩm sản xuất bằng bao nhiêu thì xí nghiệp $A$ đạt lợi nhuận nhiều nhất?

A
$\displaystyle 51$
B
$\displaystyle 47$
C
$\displaystyle 54$
D
$\displaystyle 52$

Câu 6

Biểu đồ sau biểu diễn chiều cao của một nhóm học sinh nữ lớp 12.

Biểu đồ chiều cao của học sinh nữ lớp 12

Từ biểu đồ trên ta tính được độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gần nhất với giá trị nào sau đây?

A
$\displaystyle 16,02$
B
$\displaystyle 2,07$
C
$\displaystyle 18,14$
D
$\displaystyle 4,26$

Câu 7

Cho hai số thực dương $a, b$ thoả mãn $\log_{a+1}(3a^2 + 2b^2 - 6b + 6) \le 2$ . Giá trị biểu thức $T = 4ab + 2008b$ bằng

A
$\displaystyle 3.018$
B
$\displaystyle 3.015$
C
$\displaystyle 3.012$
D
$\displaystyle 3.009$

Câu 8

Cho mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian truy cập Internet mỗi buổi tối của một số học sinh như sau:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Thời gian (phút)} & [9,5;12,5) & [12,5;15,5) & [15,5;18,5) & [18,5;21,5) & [21,5;24,5) \\ \hline \text{Số học sinh} & 3 & 12 & 15 & 24 & 2 \\ \hline \end{array}

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên gần nhất với giá trị nào dưới đây?

A
$\displaystyle 19,43$
B
$\displaystyle 19,34$
C
$\displaystyle 19,37$
D
$\displaystyle 19,35$

Câu 9

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có các cạnh bằng $a$ , $\widehat{BAD} = 60^0$ , $\widehat{A'AB} = \widehat{A'AD} = 120^0$ . Cosin của góc giữa hai đường thẳng $AB, A'D$ là

A
$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{5}$
B
$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
C
$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}$
D
$\displaystyle \frac{2\sqrt{5}}{5}$

Câu 10

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $a$ . Xác định góc giữa 2 vectơ: $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{A'C'})$

A
$\displaystyle 30^0$
B
$\displaystyle 45^0$
C
$\displaystyle 60^0$
D
$\displaystyle 90^0$

Câu 11

Rút ngẫu nhiên 2 thẻ trong 50 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 50. Xác suất để tích các số trên hai tấm thẻ là một số chia hết cho 10 bằng

A
$\displaystyle \frac{67}{245}$
B
$\displaystyle \frac{10}{49}$
C
$\displaystyle \frac{13}{49}$
D
$\displaystyle \frac{57}{245}$

Câu 12

Một ghế Massage Elipsport cao cấp năm 2025 được định giá 40 triệu đồng, mỗi năm giá trị ghế Massage giảm $5\%$ so với năm trước và bắt đầu từ năm thứ 8 trở đi, mỗi năm giá ghế Massage giảm $12\%$ so với năm trước. Hỏi bắt đầu từ năm nào thì giá trị ghế Massage nhỏ hơn 20 triệu đồng?

A
2035
B
2034
C
2036
D
2037

Câu 13

Một cuộc họp có sự tham gia của 5 nhà Toán học trong đó có 3 nam và 2 nữ, 6 nhà Vật lý trong đó có 3 nam và 3 nữ và 7 nhà Hóa học trong đó có 4 nam và 3 nữ. Người ta muốn lập một ban thư kí gồm 4 nhà khoa học với yêu cầu phải có đủ cả 3 lĩnh vực (Toán, Lý, Hóa) và có cả nam lẫn nữ. Nếu mọi người đều bình đẳng như nhau thì số cách lập một ban thư kí như thế là?

A
1404
B
1440
C
171
D
1575

Câu 14

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , để hai vecto $\vec{a}=(m;2;3)$ và $\vec{b}=(1;n;2)$ cùng phương thì $2m+3n$ bằng

Câu 15

Gọi $A, B$ là hai điểm phân biệt thuộc đồ thị hàm số $y=\dfrac{x^{2}}{x-1}$ và đối xứng với nhau qua đường thẳng $y=x-1$ . Độ dài đoạn thẳng $AB$ bằng

A
$\displaystyle 2\sqrt{2}$
B
2
C
4
D
$\displaystyle \sqrt{2}$

Câu 16

Cho ba số $x, 5, 3y$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng và ba số $x, 3, 3y$ theo thứ tự lập thành cấp số nhân thì $|3y-x|$ bằng ?

A
6
B
10
C
8
D
9

Câu 17

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ , tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ , $SA=BC$ . Gọi $E, F$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SB, SC$ ; $M$ là trung điểm của $SA$ và $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ . Tính tỉ số $\dfrac{V_{1}}{V_{2}}$ , với $V_{1}, V_{2}$ lần lượt là thể tích của các khối tứ diện $MAEF, AEFG$ .

A
$\displaystyle \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
B
$\displaystyle \dfrac{3}{2}$
C
$\displaystyle \dfrac{2}{3}$
D
$\displaystyle \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Câu 18

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho véc tơ $\vec{a}=(1;-1;0)$ và hai điểm $A(-4;7;3), B(4;4;5)$ . Hai điểm $M, N$ thay đổi thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $\overrightarrow{MN}$ cùng hướng với $\vec{a}$ và $MN=7\sqrt{2}$ . Giá trị lớn nhất của $|AM-BN|$ bằng

A
$\displaystyle \sqrt{17}$
B
$\displaystyle \sqrt{21}$
C
$\displaystyle \sqrt{82}-5$
D
$\displaystyle 7\sqrt{2}-3$

Câu 19

Cho tứ diện $ABCD$ . $M, N, P, Q$ lần lượt thuộc $AB, BC, CD, DA$ sao cho

\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BN}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}, \overrightarrow{AQ}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}, \overrightarrow{DP}=k\cdot\overrightarrow{DC}; \text{ Tìm } k \text{ để } M, N, P, Q \text{ đồng phẳng}

A
$\displaystyle k=\dfrac{1}{2}$
B
$\displaystyle k=\dfrac{3}{2}$
C
$\displaystyle k=\dfrac{3}{4}$
D
$\displaystyle k=\dfrac{1}{4}$

Câu 20

Trong không gian $Oxyz$ , cho tam giác $ABC$ có $A(1;0;2), B(-2;1;3), C(3;2;4)$ . Tìm tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ .

A
$\displaystyle G\left(2;\dfrac{1}{3};3\right)$
B
$\displaystyle G\left(\dfrac{2}{3};1;3\right)$
C
$\displaystyle G(2;3;9)$
D
$\displaystyle G(-6;0;24)$

Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai

Câu 1

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hình thang $ABCD$ đáy $BC$ , có $A(1;1;2)$ , $B(2;-1;0)$ , $C(4;0;1)$

a)
Biết rằng diện tích hình thang bằng $10\sqrt{2}$ . Giả sử $D(a;b;c)$ , khi đó $T = a^2 + b^2 + c^2 = 80$
b)
Tam giác $ABC$ có trọng tâm $G(2;3;1)$
c)
Cosin của góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ bằng $\dfrac{7}{3\sqrt{11}}$
d)
Điểm $M$ trên trục $Ox$ sao cho $M$ cách đều hai điểm $A, B$ là $M\left(\dfrac{3}{2};0;0\right)$

Câu 2

Thời gian học Toán ở nhà mỗi ngày của các bạn tổ 1 và tổ 2 lớp 10A được cho trong bảng sau:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Thời gian (phút)} & [0;30) & [30;60) & [60;90) & [90;120) \\ \hline \text{Số học sinh tổ 1} & 4 & 1 & 3 & 2 \\ \hline \text{Số học sinh tổ 2} & 2 & 5 & 3 & 0 \\ \hline \end{array}

a)
Tổng số học sinh học Toán ở nhà mỗi ngày dưới 30 phút của 2 tổ là 6
b)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian học Toán ở nhà mỗi ngày của tổ 1 là 60
c)
Nếu dựa vào khoảng biến thiên thì thời gian học Toán ở nhà mỗi ngày của các bạn tổ 2 phân tán hơn thời gian học Toán ở nhà mỗi ngày của các bạn tổ 1
d)
Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm ở tổ 2 là 48

Câu 3

Trong Vật lí, sự phân rã của các chất phóng xạ được cho bởi công thức: $m(t) = m_0 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}$ ; trong đó $m_0$ là khối lượng chất phóng xạ ban đầu (tại thời điểm $t = 0$ ), $m(t)$ là khối lượng chất phóng xạ tại thời điểm $t$ và $T$ là chu kì bán rã. Hạt nhân Poloni (Po) là chất phóng xạ $\alpha$ có chu kì bán rã là 138 ngày (Nguồn: Vật lí 12, NXBGD Việt Nam, 2021). Giả sử lúc đầu có 100 gam Poloni.

a)
Khối lượng Poloni còn lại sau 30 ngày nhiều hơn 85 $(gam)$
b)
Kể từ ngày thứ 116 trở đi thì khối lượng Poloni mất đi nhiều hơn 80% so với khối lượng Poloni còn lại
c)
Kể từ ngày thứ 55 trở đi thì khối lượng Poloni còn lại ít hơn 75 $(gam)$
d)
Sau 138 ngày thì khối lượng Poloni còn lại là 50 $(gam)$

Câu 4

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang vuông tại $A$ và $B$ , $AD = 2a$ , $AB = BC = a$ , $SA$ vuông góc với đáy, góc giữa $SD$ và $(SAC)$ bằng $30^{\circ}$ . Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a)
Thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng $2a^3$
b)
Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$ . Khi đó: $V_{S.ABO} = V_{S.OCD}$
c)
Góc giữa $SB$ với mặt phẳng $(ABCD)$ là $\widehat{SBA}$
d)
Điểm $M \in SB$ sao cho $SM = k.SB$ , $(0 < k < 1)$ . Mặt phẳng $(MAD)$ chia khối chóp $S.ABCD$ thành hai phần bằng nhau khi giá trị của $k = \dfrac{\sqrt{a}+b}{c}$ $(a < 20, a,b,c \in \mathbb{Z})$ . Khi đó $a^2 + b + c = 100$

Câu 5

Cho hàm số $y = \dfrac{x^2 + 3x + 3}{x + 2}$ có đồ thị là đường cong $(C)$ .

a)
Phương trình $x^2 + 3x + 3 = m|x+2|$ có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $m > 1$
b)
Tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ tạo với hai đường tiệm cận của $(C)$ một tam giác có chu vi nhỏ nhất bằng $4\sqrt{2} + 2\sqrt{2\sqrt{2} - 1}$
c)
Tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ vuông góc với đường thẳng $x - 3y - 6 = 0$ đi qua điểm $B(2;-5)$
d)
Biết hàm số có 2 điểm cực trị khi đó tổng giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số bằng $-2$

Câu 6

Bạn A tìm mua được các miếng dán cùng loại, cùng màu và có cùng kích thước $1m \times 3m$ dùng để trang trí kín một mảng tường hình chữ nhật có kích thước là $3 \times n$ (với $n$ là số nguyên dương, các kích thước có đơn vị đo là mét). Mỗi miếng dán có thể dán ngang hoặc dọc sao cho đảm bảo không có miếng dán nào bị cắt và không có miếng dán nào chồng lên nhau. (Miếng dán và mảng tường cần trang trí có dạng như hình vẽ).

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline 1 & 2 & 3 & 4 & . & . & . & . & . & . & . & . & . & n \\ \hline 2 & & & & & & & & & & & & & \\ \hline 3 & & & & & & & & & & & & & \\ \hline \end{array}

Miếng dán $1 \times 3$ - Mảng tường hình chữ nhật kích thước $3 \times n$

a)
Nếu mảng tường có kích thước $3m \times 6m$ thì bạn A sẽ có tất cả 4 cách dán
b)
Mảng tường thực tế bạn A cần dán có kích thước $3m \times 14m$ , khi đó bạn A có tất cả 129 cách dán
c)
Nếu mảng tường có kích thước $3m \times 3m$ thì bạn A phải dùng 3 miếng dán và chỉ có đúng 2 cách dán là xoay dọc cả 3 miếng hoặc xoay ngang cả 3 miếng
d)
Nếu mảng tường có kích thước $3m \times 2m$ thì bạn A phải dùng hai miếng dán và chỉ có duy nhất 1 cách dán là xoay dọc cả hai miếng dán

Phần III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 1

Trong không gian $Oxyz$ cho hình chóp $S.ABC$ có $S(3;4;3)$ và $G(2;2;3)$ là trọng tâm tam giác $ABC$ . Gọi $A',B',C'$ lần lượt là các điểm thuộc các cạnh $SA,SB,SC$ sao cho $\frac{SA'}{SA}=\frac{1}{3}; \frac{SB'}{SB}=\frac{1}{4}; \frac{SC'}{SC}=\frac{1}{5}$ . Mặt phẳng $(A'B'C')$ cắt $SG$ tại $G'$ . Giả sử $G'(a;b;c)$ . Tính giá trị của biểu thức $P=a+b+c$

Trả lời:

Câu 2

Cho hai số thực dương $x,y$ thoả mãn $\log_3\left[(x^2+2)(y+1)\right]^{y+1}+x^2(y+1)=9$ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=x^2+2y$ bằng $a+b\sqrt{2}$ với $a;b\in \mathbb{Z}$ . Giá trị biểu thức $b-a$ bằng bao nhiêu?

Trả lời:

Câu 3

Cho hàm số $y=f'(x)$ là hàm số đa thức bậc 3 và có đồ thị như hình vẽ.

Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in(-2025;2025)$ để hàm số $y=|4f(\ln x)-\ln^2 x+1-m|$ nghịch biến trên khoảng $(1;e)$ biết $f(1)=1$ .

Trả lời:

Câu 4

Cho tờ giấy hình chữ nhật $ABCD$ có chiều dài $AB=24cm$ và chiều rộng $CB=16cm$ . Gấp tờ giấy một lần sao cho góc trên bên phải $B$ của tờ giấy nằm trên cạnh dưới $CD$ của nó (tham khảo hình vẽ).

Hình vẽ nếp gấp với các điểm A, P, B, M, Q, C, D - hình bên trái thể hiện đường nét đứt BM và PQ vuông góc

Hình vẽ nếp gấp với các điểm A, P, M, Q, C, D - hình bên phải có ghi chú "nếp gấp" trên đoạn PM

Nếp gấp $MP$ có độ dài ngắn nhất bằng bao nhiêu cm (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)?

Trả lời:

Câu 5

Cho tứ diện đều $SABC$ cạnh bằng $2$ có $D$ là điểm thuộc cạnh $AB$ sao cho $BD = 3AD, I$ là trung điểm của $SD$ . Một đường thẳng $d$ thay đổi qua $I$ cắt các cạnh $SA, SB$ lần lượt tại $M, N$ . Khi $d$ thay đổi, thể tích khối đa diện $ABCMN$ có giá trị lớn nhất bằng $\dfrac{p\sqrt{m}}{n}$ (với $m,n,p$ là các số tự nhiên, $p$ là số nguyên tố và $n < 10$ ). Tìm $m + n + p$ ?

Trả lời:

Câu 6

Cho một lưới ô vuông gồm $16$ ô vuông nhỏ, mỗi ô vuông nhỏ có kích thước $1 \times 1$ mét như hình vẽ bên. Con kiến thứ nhất ở vị trí $A$ muốn di chuyển lên vị trí $B$ , con kiến thứ hai ở vị trí $B$ muốn di chuyển xuống vị trí $A$ . Biết rằng con kiến thứ nhất chỉ có thể di chuyển ngẫu nhiên về phía bên phải hoặc lên trên, con kiến thứ hai chỉ có thể di chuyển ngẫu nhiên về phía bên trái hoặc xuống dưới (theo cạnh của các hình vuông). Hai con kiến xuất phát cùng một thời điểm và có cùng vận tốc di chuyển là $1$ mét/phút. Xác suất để hai con kiến không gặp nhau trên đường đi là $\dfrac{a}{b}$ với $a,b \in \mathbb{N}^*$ và $\dfrac{a}{b}$ tối giản. Giá trị $a + b$ là

Lưới ô vuông 4x4 gồm 16 ô vuông nhỏ kích thước 1x1 với điểm A ở góc dưới bên trái và điểm B ở góc trên bên phải

Trả lời:

HẾT