Đề thi chọn đội tuyển thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán (Vòng 1) năm 2025 — Sở GD&ĐT Khánh Hòa

Câu 1

6,0 điểm

a)
Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_1=\dfrac{1}{5}$ và $u_{n+1}=\dfrac{n+1}{5n}u_n, \forall n \ge 1$ . Chứng minh dãy số $(v_n)$ với $v_n=\dfrac{u_n}{n}, \forall n \ge 1$ là một cấp số nhân và tính $\lim (v_1+v_2+...+v_n)$ .
b)
Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi $x_1=1$ và $x_{n+1}=\dfrac{x_n}{n^2 x_n+1}, \forall n \ge 1$ . Xét dãy số $(S_n)$ xác định bởi $S_n=x_1+x_2+...+x_n$ với $n \ge 1$ . Chứng minh dãy số $(S_n)$ có giới hạn hữu hạn.

Câu 2

7,0 điểm

a)
Cho các số nguyên dương $m,k$ với $k<m$ thỏa mãn $1+2+...+k=(k+1)+(k+2)+...+m$ . Chứng minh $2(2k+1)^2-1=(2m+1)^2$ .
b)
Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(m;k)$ với $k<m<2025$ thỏa mãn
$1+2+...+k=(k+1)+(k+2)+...+m.$

Câu 3

7,0 điểm

Cho tam giác nhọn $ABC$ $(AB<AC)$ nội tiếp đường tròn $(O)$ . Kẻ ba đường cao $AD, BE, CF$ của tam giác $ABC$ . Đường thẳng $EF$ cắt $(O)$ tại hai điểm $M,N$ sao cho $E$ nằm giữa $F$ và $N$ . Đường thẳng $BC$ cắt $EF$ tại $P$ . Đường thẳng đi qua $D$ và song song với $EF$ cắt $AB, AC, CF$ lần lượt tại $Q,R,S$ . Gọi $I,J$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $DEF$ và $DMN$ .

a)
Chứng minh ba đường tròn $(PQR),(DEF),(DMN)$ cùng đi qua một điểm.
b)
Chứng minh hai đường thẳng $IJ$ và $AD$ song song với nhau.
c)
Chứng minh $D$ là trung điểm của đoạn thẳng $QS$ .