Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 11 năm 2025 — Sở GD&ĐT Quảng Bình

Giải phương trình $\sin 2x - \cos 2x - 5\sin x - 3\cos x + 4 = 0$.

Bác Bình vay của Ngân hàng Chính sách xã hội với số tiền 360 triệu đồng để xây nhà. Sau mỗi tháng, bác Bình phải trả lãi cho Ngân hàng với lãi suất $0,4\%$/tháng và cứ sau 6 tháng thì bác Bình phải trả 36 triệu đồng tiền gốc cho Ngân hàng. Cứ như vậy, sau 60 tháng thì bác Bình đã trả hết tiền cho Ngân hàng. Tìm tổng số tiền lãi mà bác Bình phải trả.

Cho 2024 số thực $a_1, a_2, ..., a_{2024}$ thỏa mãn $a_1, a_2, ..., a_{2024} \in [0;2025)$. Chứng minh phương trình $x^{2024} - 2025(a_1 + a_2 + ... + a_{2024})x + a_1^2 + a_2^2 + ... + a_{2024}^2 - 1 = 0$ luôn có nghiệm.

Cho $f(x)$ là một đa thức thỏa mãn $\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)-1}{x-1} = 2$. Tính $\lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{f(x)} + \sqrt[3]{f(x)+7} - 3}{x^3 + x - 2}$.

Biển số xe ôtô của tỉnh Quảng Bình có dạng $73A-abc.de$ (trong đó: $73A$ là mã số cố định của tỉnh Quảng Bình; $a,b,c,d,e$ là các chữ số không đồng thời bằng 0). Một biển số xe ôtô được gọi là biển số “đẹp” nếu thỏa mãn $a \le b \le c \le d \le e$. Bác An chọn ngẫu nhiên một biển số xe ôtô của tỉnh Quảng Bình. Tính xác suất để bác An chọn được biển số “đẹp”.

Sắp xếp 3 bạn nam $B_1, B_2, B_3$ và 5 bạn nữ vào 8 cái ghế được xếp theo hàng ngang (mỗi bạn ngồi một cái ghế). Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp thỏa mãn tất cả các điều kiện sau: $B_1, B_2, B_3$ ngồi theo thứ tự đó từ trái qua phải; giữa $B_1$ và $B_2$ có ít nhất 1 bạn nữ; giữa $B_2$ và $B_3$ có nhiều nhất 2 bạn nữ.

Chứng minh giao điểm của $MN$ và $QK$ luôn nằm trên một đường thẳng cố định. Nêu cách dựng các điểm $N, P, Q, K$.

Tính tỉ số $\dfrac{QB'}{QC'}$ khi $x = \dfrac{2}{3}$.

Trong trường hợp $ABC.A'B'C'$ là hình lăng trụ đều có tất cả các cạnh bằng 1, tìm giá trị lớn nhất của diện tích ngũ giác $MNPQK$.