Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Toán 11 năm 2024–2025 — Sở GD&ĐT Hà Tĩnh

Giải phương trình $(1 + \tan x \tan 2x)\sin 4x + \cos 4x - 1 = 0$.

Cho một tam giác có ba ô tròn ở các đỉnh và ba ô tròn ở trung điểm của các cạnh (xem hình vẽ bên). Viết ngẫu nhiên sáu chữ số $1, 2, 3, 4, 5, 6$ vào sáu ô tròn đó sao cho mỗi ô chỉ viết đúng một chữ số và chữ số ở các ô là đôi một khác nhau. Tính xác suất để tổng ba số trong các ô ở đỉnh và tổng ba số trong các ô còn lại là hai số tự nhiên liên tiếp.

Cho ba số thực $a, b, c \in (1; +\infty)$ thỏa mãn $\log_{a}^{2} b^{2} + \log_{b} c \cdot \log_{b} \left(\dfrac{c^{2}}{b}\right) + 9\log_{a} c = \log_{\sqrt{a}} b^{2}$.

Tính giá trị của biểu thức $P = \log_{a^{2}} b + \log_{b} c$.

Trong hội trường, xét một dãy gồm $25$ chiếc ghế được xếp thành hàng dọc và cách đều nhau, tức là khoảng cách giữa hai ghế liên tiếp bất kì bằng nhau. Một nguồn phát âm thanh được đặt tại điểm $O$ thẳng hàng với dãy ghế và nằm ngoài dãy ghế (xem hình vẽ bên). Biết rằng mức cường độ âm tại điểm $M$ cách $O$ một khoảng $R$ (mét) được kí hiệu là $L_{M}$ và tính theo công thức $L_{M} = \log \dfrac{c}{R^{2}}$ (đơn vị: $Ben$), với $c$ là một hằng số dương. Xem mỗi ghế như một điểm, người ta đo được mức cường độ âm tại ghế đầu tiên là $4$ ($Ben$) và tại ghế cuối cùng là $2$ ($Ben$). Hỏi mức cường độ âm tại ghế thứ $9$ bằng bao nhiêu?

Trên bãi cỏ bằng phẳng có một cây xanh thân thẳng đứng. Để có bóng mát và thuận tiện cho việc cắm trại, một nhóm bạn đã đóng ba cái móc trên mặt đất vào các vị trí $B, C, D$ sao cho $ABCD$ là một hình chữ nhật trong đó điểm $A$ được coi là trùng với gốc cây và $AB = 3$ (mét), $AD = 4$ (mét). Trên thân cây cố định một điểm gọi là $S$, căng ba sợi dây không giãn thành các đoạn thẳng $SB, SC, SD$ làm khung trại, phủ vải bạt xung quanh tạo thành lều trại là hình chóp tứ giác $S.ABCD$ (xem hình vẽ bên).

Biết rằng đường thẳng $AC$ tạo với mặt phẳng $(SBC)$ một góc bằng $\alpha$ thỏa mãn $\cos \alpha = \sqrt{\dfrac{52}{61}}$. Hỏi nhóm bạn đó phải sử dụng tất cả bao nhiêu mét dây để làm khung của chiếc lều trại nói trên? (không tính phần dây dùng để buộc vào thân cây và móc).

Cho lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ có $M$ là trung điểm $BB'$. Các điểm $E, F$ lần lượt nằm trên các đường thẳng $AB', CA'$ sao cho $EF // C'M$. Tính các tỉ số $\dfrac{AE}{AB'}$ và $\dfrac{CF}{CA'}$.

Tìm tất cả các số thực $a, b$ để tồn tại giới hạn $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x^2 + ax + b} - \sqrt{6x+1} + x}{x^2}$ và giới hạn này là hữu hạn.

Xét một tam giác đều $ABC$ có cạnh bằng $1$. Ta xây dựng quá trình tạo hình có dạng bông tuyết như sau:

Đầu tiên, chia mỗi cạnh của tam giác $ABC$ thành ba đoạn thẳng bằng nhau. Trên mỗi đoạn thẳng ở giữa, dựng một tam giác đều nằm ngoài tam giác $ABC$ rồi xóa đáy của nó, ta được hình $(H_1)$.

Sau đó, chia mỗi cạnh của $(H_1)$ thành ba đoạn thẳng bằng nhau. Trên mỗi đoạn thẳng ở giữa, dựng một tam giác đều nằm ngoài $(H_1)$ rồi xóa đáy của nó, ta được hình $(H_2)$.

Cứ tiếp tục quá trình như trên ta được dãy các hình $(H_1), (H_2), (H_3), ..., (H_n), ...$ (tham khảo hình vẽ dưới đây).

Tính chu vi và diện tích của hình $(H_4)$.