Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 11 năm 2025–2026 — Liên trường THPT, Nghệ AnMã đề 0101

Thời gian: 50 phút
Số câu: 18 câu
Đáp án: Có đáp án

Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn3,0 điểm

Câu 1

Cho hình bình hành $ABCD$ . Qua các đỉnh $A, B, C, D$ lần lượt vẽ các nửa đường thẳng song song $Ax, By, Cz, Dt$ nằm về cùng một phía đối với mặt phẳng $ABCD$ và không nằm trong mặt phẳng đó. Một mặt phẳng $(\alpha)$ cắt các nửa đường thẳng trên lần lượt tại các điểm $A', B', C', D'$ (tham khảo hình vẽ). Biết rằng độ dài các đoạn thẳng $AA' = 8$ , $BB' = 12$ , $DD' = 6$ . Tính độ dài đoạn thẳng $CC'$ .

A
$\displaystyle CC' = 9$
B
$\displaystyle CC' = \dfrac{17}{2}$
C
$\displaystyle CC' = 10$
D
$\displaystyle CC' = \dfrac{21}{2}$

Câu 2

Cho hàm số $f(x) = \begin{cases} 2 - x & \text{nếu } x < 1 \\ 3 & \text{nếu } x = 1 \\ x^{2} - x + 3 & \text{nếu } x > 1 \end{cases}$

. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A
$\displaystyle \lim\limits_{x \to 1^{-}} f(x) = 3$
B
$\displaystyle \lim\limits_{x \to 1^{-}} f(x) = \lim\limits_{x \to 1^{+}} f(x)$
C
$\displaystyle \lim\limits_{x \to 1^{+}} f(x) = f(1)$
D
Hàm số liên tục tại $x = 1$

Câu 3

Cho $a, b \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ thỏa mãn $\log_{4} \left( \dfrac{a^{2}}{b^{4}} \right) = 1$ . Chọn mệnh đề đúng.

A
$\displaystyle a^{4} = 4b^{8}$
B
$\displaystyle 2a = b^{2}$
C
$\displaystyle a = 2b^{2}$
D
$\displaystyle a^{4} = 16b^{8}$

Câu 4

Cho hình chóp $S.ABCD$ , có đáy $ABCD$ là hình bình hành, $M$ là điểm thuộc cạnh $SA$ sao cho $SM = 2MA$ (tham khảo hình vẽ). Mặt phẳng $(CDM)$ cắt cạnh $SB$ tại $N$ . Tỉ số $\dfrac{SN}{SB}$ bằng

Hình vẽ minh họa hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và điểm M trên cạnh SA

A
$\displaystyle \dfrac{1}{2}$
B
$\displaystyle 2$
C
$\displaystyle \dfrac{2}{3}$
D
$\displaystyle \dfrac{1}{3}$

Câu 5

Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên $\mathbb{R}$ ?

A
$\displaystyle y = \log_{\frac{1}{2}} x$
B
$\displaystyle y = \left(\dfrac{\pi}{4}\right)^{x}$
C
$\displaystyle y = \log_{2026} x$
D
$\displaystyle y = \left(\dfrac{e}{2}\right)^{x}$

Câu 6

Một người đứng tại điểm $A$ cách gốc cây một khoảng bằng 5m và đo được góc nâng đến đỉnh cây là $\alpha$ . Khi người đó lùi xa thêm 10m nữa đến điểm $A'$ , góc nâng lúc này chỉ còn bằng một nửa góc nâng ban đầu ( $\frac{\alpha}{2}$ ) (tham khảo hình vẽ). Biết giác kế được đặt trên giá đỡ cao 1,2m so với mặt đất. Chiều cao của cây gần nhất với giá trị nào sau đây?

Hình vẽ minh họa góc nâng đến đỉnh cây từ điểm A và A' với khoảng cách 5m, 10m và chiều cao giác kế 1,2m

A
8,66m
B
5,53m
C
9,86m
D
6,73m

Câu 7

Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $u_1 = 3$ , $u_2 = -1$ . Số hạng thứ 8 của cấp số cộng là

A
31
B
$\displaystyle -29$
C
$\displaystyle -21$
D
$\displaystyle -25$

Câu 8

Để lập kế hoạch tài chính cho tháng tới, người quản lý một cửa hàng thời trang đã thống kê doanh thu bán hàng mỗi ngày (đơn vị: triệu đồng) trong suốt 30 ngày của tháng trước. Số liệu được tổng hợp như sau:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Doanh thu (triệu đồng)} & [1; 5) & [5; 9) & [9; 13) & [13; 17) & [17; 21) \\ \hline \text{Số ngày đạt được} & 3 & 7 & 6 & 9 & 5 \\ \hline \end{array}

Dựa vào công thức tính mốt của mẫu số liệu ghép nhóm, mức doanh thu "phổ biến nhất" mà cửa hàng này đạt được là bao nhiêu?

A
15 triệu đồng
B
14,33 triệu đồng
C
15,14 triệu đồng
D
14,71 triệu đồng

Câu 9

Một đội thiện nguyện của một trường THPT gồm 6 học sinh khối 10, 7 học sinh khối 11, 8 học sinh khối 12 trong đó mỗi khối có 3 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên 4 học sinh từ đội thiện nguyện. Tính xác suất để có cả học sinh nam và nữ đồng thời mỗi khối có ít nhất một học sinh được chọn (kết quả làm tròn đến hàng phần nghìn).

A
0,446
B
0,447
C
0,445
D
0,448

Câu 10

Độ sâu h (mét) của mực nước tại một cảng biển vào thời điểm t (giờ) trong một ngày được mô tả bởi công thức: $h(t) = 8 + 4\sin\left(2t - \frac{\pi}{3}\right)$ (với $0 \leq t \leq 24$ ). Thời điểm đầu tiên trong ngày (tính từ 0 giờ) mà mực nước sâu 10 mét là lúc mấy giờ?

A
$\frac{\pi}{12}$ giờ
B
$\frac{\pi}{4}$ giờ
C
$\frac{7\pi}{12}$ giờ
D
$\frac{\pi}{6}$ giờ

Câu 11

Cho hình chóp $S.ABCD$ , có đáy $ABCD$ là hình bình hành (tham khảo hình vẽ). $G_1$ , $G_2$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $SBC$ và tam giác $BCD$ . Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?

Hình vẽ hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành

A
$\displaystyle G_1G_2 // (SAB)$
B
$\displaystyle G_1G_2 // (SBD)$
C
$\displaystyle G_1G_2 // (SAD)$
D
$\displaystyle G_1G_2 // (SCD)$

Câu 12

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A
Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung
B
Hai đường thẳng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng phân biệt thì chéo nhau
C
Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau
D
Hai đường thẳng phân biệt không có điểm chung thì chéo nhau

Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai4,0 điểm

Câu 1

Dân số của một đô thị $A$ mới thành lập từ đầu năm 2025 được dự báo theo hàm số: $f(t) = \dfrac{120t+200}{t+5}$ . Trong đó, $f(t)$ là số dân (đơn vị: nghìn người) và $t$ là số năm tính từ đầu năm 2025 ( $t=0$ tương ứng với đầu năm 2025). Đặt $v(t_0) = \lim_{t \to t_0} \dfrac{f(t)-f(t_0)}{t-t_0}$ , $t_0 \geq 0$ . Khi đó ta gọi $v(t_0)$ là tốc độ tăng dân số của đô thị $A$ tại thời điểm $t_0$ , đơn vị tính của $v(t_0)$ là nghìn người/năm.

a)
Tại thời điểm bắt đầu thành lập (đầu năm 2025), đô thị $A$ có 40 (nghìn người)
b)
Về lâu dài dân số của đô thị $A$ sẽ xấp xỉ 120 (nghìn người)
c)
Vào đầu năm 2030, tốc độ tăng dân số của đô thị $A$ là $v(5)=4$ (nghìn người/năm)
d)
Trong 10 năm đầu kể từ khi thành lập, tốc độ tăng dân số của đô thị $A$ luôn lớn hơn hoặc bằng 2 (nghìn người/năm)

Câu 2

Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ có $M$ , $N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC$ , $A'C'$ (tham khảo hình vẽ).

Hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' với M, N lần lượt là trung điểm của BC, A'C'

a)
$AM // (A'B'C')$
b)
Hai đường thẳng $MN$ và $BB'$ cắt nhau
c)
Giao điểm của đường thẳng $BC'$ và mặt phẳng $(A'B'M)$ là giao điểm của hai đường thẳng $BC'$ và $B'M$
d)
Đường thẳng $MN$ cắt mặt phẳng $(ABB'A')$

Câu 3

Bạn Mạnh có 8 cuốn sách tham khảo khác nhau gồm: 4 cuốn sách Toán, 2 cuốn sách Lý, 2 cuốn sách Hóa. Bạn Mạnh xếp ngẫu nhiên 8 cuốn sách trên thành một hàng ngang lên kệ sách.

a)
Xác suất để 4 cuốn sách Toán xếp kề nhau là $\dfrac{1}{14}$
b)
Số cách sắp xếp 8 cuốn sách lên kệ sách thành một hàng ngang là 40.320 (cách)
c)
Xác suất để 2 cuốn sách Lý xếp kề nhau và 2 cuốn sách Hóa xếp kề nhau là $\dfrac{1}{28}$
d)
Xác suất để các cuốn sách cùng môn không xếp kề nhau là $\dfrac{1}{35}$

Câu 4

Cho cấp số nhân $(u_n)$ gồm vô hạn các phần tử có $u_2=-\dfrac{1}{2}$ , công bội $q=-\dfrac{1}{3}$ .

a)
Số hạng thứ nhất của cấp số nhân là $u_1=\dfrac{3}{2}$
b)
Dãy số $(u_n)$ là dãy số giảm
c)
Với $\forall n \in \mathbb{N}^*, n \geq 3$ , ta có $u_n = \dfrac{(-1)^{n+1}}{2 \cdot 3^{n-2}}$
d)
Đặt $S = u_1 + u_2 + u_3 + \ldots + u_n + \ldots$ Khi đó $S = \dfrac{9}{8}$

Phần III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn3,0 điểm

Câu 1

Để khuyến khích tinh thần học tập, một trung tâm ngoại ngữ đã thống kê điểm số bài kiểm tra cuối khóa của 160 học viên trong bảng sau:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Điểm số} & [40; 50) & [50; 60) & [60; 70) & [70; 80) & [80; 90) \\ \hline \text{Số lượng học viên} & 10 & 30 & 65 & 40 & 15 \\ \hline \end{array}

Trung tâm quyết định trao quà cho $25\%$ số học viên có điểm số cao nhất. Hỏi các học viên cần đạt ít nhất bao nhiêu điểm để nhận được quà của trung tâm? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Trả lời:

Câu 2

Tại một vùng núi hiểm trở, các kỹ sư quân sự thiết lập một hệ thống liên lạc gồm 4 trạm chính đặt tại các đỉnh của một tứ diện $ABCD$ . Do đặc thù địa hình, các khoảng cách đo được như sau: $AC = AD = BC = BD = 2,5\text{ km}$ ; $AB = 1,4\text{ km}$ ; $CD = 4,8\text{ km}$ . Một đội cứu hộ đang di chuyển trên con đường nối giữa hai trạm $A$ và $D$ . Họ cần thiết lập một trạm tiếp sóng tạm thời tại vị trí $P$ trên đoạn thẳng $AD$ . Cùng lúc đó, có hai kỹ sư khác đang ở vị trí là điểm $M$ và điểm $N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB$ và $CD$ . (tham khảo hình vẽ minh họa). Giá trị nhỏ nhất của tổng độ dài đường truyền tín hiệu từ $M$ đến $P$ và từ $N$ đến $P$ là bao nhiêu kilômét? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Hình vẽ minh họa tứ diện ABCD với các điểm M, P, N trên các cạnh

Trả lời:

HẾT