Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 11 năm 2026 — Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng

Câu 1

5,0 điểm

Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi

u_1 = 3 \text{ và } u_{n+1} = \frac{2026u_n^2}{2026u_n - 2025} \quad (\forall n \in \mathbb{N}^*).

a)
Chứng minh $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$ .
b)
Tìm tất cả các giá trị $\alpha \in \mathbb{R}$ sao cho dãy số $(v_n)$ , với $v_n = u_n \cdot n^{\alpha}$ , là hội tụ và có giới hạn khác 0.

Câu 2

5,0 điểm

Cho hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn

f(f(x) + y) + f(-x + f(f(y))) = 2y, \quad \forall x, y \in \mathbb{R}.

a)
Chứng minh $f$ là một song ánh.
b)
Tính $f(0)$ và tìm tất cả các hàm số $f$ thỏa mãn phương trình hàm đã cho.

Câu 3

5,0 điểm

Cho đường tròn $(O)$ và dây cung $BC$ cố định (không phải là đường kính). Điểm $A$ di động trên cung lớn $BC$ ( $A$ khác $B, C$ ). Đường tròn nội tiếp của tam giác $ABC$ có tâm $I$ và tiếp xúc với ba cạnh $BC, CA, AB$ lần lượt tại $D, E, F$ . Gọi $P$ là chân đường cao từ $D$ xuống $EF$ . Các tia $BP, CP$ cắt các cạnh $AC, AB$ lần lượt tại $Y, Z$ .

a)
Chứng minh $YZ$ là tiếp tuyến của đường tròn $(I)$ .
b)
Tia $IP$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm $R$ . Chứng minh rằng khi $A$ di chuyển trên cung lớn $BC$ thì đường thẳng $RD$ luôn đi qua một điểm cố định.

Câu 4

5,0 điểm

Với mỗi số tự nhiên $m$ , ta kí hiệu $v_2(m)$ là số tự nhiên $k$ lớn nhất thỏa mãn $2^k \mid m$ . Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ thỏa mãn các điều kiện:

(i) $n$ không là một lũy thừa của 3;

(ii) Dãy số $v_2(3^0 - n), v_2(3^1 - n), v_2(3^2 - n), \ldots$ là một dãy số không bị chặn.