Đề thi học sinh giỏi Toán 11 năm 2024–2025 — Trường THPT Phan Thúc Trực, Nghệ AnMã đề 135

Thời gian: 50 phút
Số câu: 18 câu
Đáp án: Có đáp án

Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn — 12 câu

Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai — 4 câu

Phần III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn — 2 câu

Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Câu 1

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $G_1$ và $G_2$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $BCD$ và $ACD$ . Khẳng định nào sau đây SAI?

Hình tứ diện ABCD với các trọng tâm G1, G2 và điểm M trên cạnh CD

A
$\displaystyle G_1G_2 \parallel (ABD)$
B
$\displaystyle G_1G_2 \parallel (ABC)$
C
$BG_1$ , $AG_2$ và $CD$ đồng quy
D
$\displaystyle G_1G_2 = \dfrac{2}{3}AB$

Câu 2

Cho các giới hạn: $\lim_{x \to x_0} f(x) = 2$ ; $\lim_{x \to x_0} g(x) = 3$ , hỏi $\lim_{x \to x_0} [3f(x) - 4g(x)]$ bằng

A
$\displaystyle -6$
B
$\displaystyle 5$
C
$\displaystyle 2$
D
$\displaystyle 3$

Câu 3

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho điểm $A(2; -3)$ và véc tơ $\vec{v} = (2; 1)$ . Phép tịnh tiến $T_{\vec{v}}(A) = A'$ . Tọa độ điểm $A'$

A
$\displaystyle A' = (2; -3)$
B
$\displaystyle A' = (0; -4)$
C
$\displaystyle A' = (4; -3)$
D
$\displaystyle A' = (4; -2)$

Câu 4

Tính $\lim_{x \to -\infty} \dfrac{2x^2 - 3x - 5}{4x^2 + x + 3}$ .

A
$\displaystyle +\infty$
B
$\displaystyle 2$
C
$\displaystyle 0$
D
$\displaystyle \dfrac{1}{2}$

Câu 5

Trong các hàm số $f(x) = \dfrac{2x^2 - 3x - 5}{4x^2 + x + 3}$ ; $g(x) = \sin x + 2$ ; $h(x) = \dfrac{x}{x^2 - 1}$ ; $k(x) = \dfrac{\cos x}{\sin x + 2}$ có mấy hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ .

A
$\displaystyle 4$
B
$\displaystyle 1$
C
$\displaystyle 3$
D
$\displaystyle 2$

Câu 6

Anh Văn ghi lại cự li 30 lần ném lao của mình ở bảng sau (đơn vị: mét) rồi Tổng hợp lại kết quả ném của anh Văn vào bảng tần số ghép nhóm theo mẫu sau:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Cự li (m)} & [69,2;70) & [70;70,8) & [70,8;71,6) & [71,6;72,4) & [72,4;73,2) \\ \hline \text{Số lần} & 4 & 2 & 9 & 10 & 5 \\ \hline \end{array}

Khả năng cao nhất anh Văn ném được khoảng bao nhiêu mét?

A
$\displaystyle 72,8$
B
$\displaystyle 72$
C
$\displaystyle 71,7$
D
$\displaystyle 47,7$

Câu 7

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật tâm $I$ , cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy. Gọi $H$ , $K$ lần lượt là hình chiếu của $A$ lên $SC$ , $SD$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A
$\displaystyle BC \perp (SAC)$
B
$\displaystyle AK \perp (SCD)$
C
$\displaystyle AH \perp (SCD)$
D
$\displaystyle BD \perp (SAC)$

Câu 8

Cho cấp số cộng $(u_n)$ thỏa mãn $\begin{cases} u_4 = 10 \\ u_4 + u_6 = 26 \end{cases}$ có công sai là

A
$\displaystyle d = 5$
B
$\displaystyle d = 3$
C
$\displaystyle d = 6$
D
$\displaystyle d = -3$

Câu 9

Tập xác định của hàm số $y = \dfrac{\sin x}{1 - \cos x}$ là

A
$\displaystyle D = \mathbb{R}$
B
$\displaystyle D = \mathbb{R} \setminus \left\{ \dfrac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z} \right\}$
C
$\displaystyle D = \mathbb{R} \setminus \{k2\pi, k \in \mathbb{Z}\}$
D
$\displaystyle D = \mathbb{R} \setminus \{k\pi, k \in \mathbb{Z}\}$

Câu 10

Bạn A thả quả bóng cao su từ độ cao $10\text{ m}$ theo phương thẳng đứng. Mỗi khi chạm đất nó lại nảy lên theo phương thẳng đứng có độ cao bằng $\dfrac{3}{4}$ độ cao trước đó. Tính tổng quãng đường bóng đi được đến khi bóng dừng hẳn.

A
$\displaystyle 40\text{ m}$
B
$\displaystyle 80\text{ m}$
C
$\displaystyle 50\text{ m}$
D
$\displaystyle 70\text{ m}$

Câu 11

Doanh thu bán hàng trong 20 ngày được lựa chọn ngẫu nhiên của cửa hàng TA được ghi lại ở bảng sau (đơn vị: triệu đồng):

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Doanh thu} & [5;7) & [7;9) & [9;11) & [11;13) & [13;15) \\ \hline \text{Số ngày} & 2 & 7 & 7 & 3 & 1 \\ \hline \end{array}

Số trung bình của mẫu số liệu trên thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

A
$\displaystyle [9;11)$
B
$\displaystyle [13;15)$
C
$\displaystyle [11;13)$
D
$\displaystyle [7;9)$

Câu 12

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành, gọi $O = AC \cap BD$ . Giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ là

A
Đường thẳng qua $S$ song song với $BD$
B
đường thẳng qua $S$ song song với $AC$
C
$SO$ , với $O = AC \cap BD$
D
$\displaystyle SC$

Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai

Câu 1

Cho hàm số $f(x) = \sin 2x + x$ .

a)
$f(0) = 0$ ; $f(\pi) = \pi$
b)
Đạo hàm của hàm số đã cho là $f'(x) = \cos 2x + 1$
c)
Trên đoạn $[0;\pi]$ , phương trình $f'(x) = 0$ có đúng 2 nghiệm là $\dfrac{\pi}{3}$ và $\dfrac{2\pi}{3}$
d)
Giá trị lớn nhất của $f(x)$ trên đoạn $[0;\pi]$ là $\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\pi}{3}$

Câu 2

Cho hình chóp $S.ABC$ có $(SAC) \perp (ABC)$ ; $(SAB) \perp (ABC)$ , $SA = a$ và đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ , $AB = a$ , $AC = a\sqrt{3}$ . Kẻ $AM$ vuông góc với $SB$ tại $M$ , $AN$ vuông góc với $SC$ tại $N$ .

a)
$SA \perp (ABC)$
b)
Thể tích của hình chóp $S.ABC$ bằng $V_{S.ABC} = \dfrac{a^3\sqrt{3}}{6}$
c)
$\dfrac{V_{S.AMN}}{V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{6}$
d)
$V_{S.AMN} = \dfrac{a^3\sqrt{3}}{48}$

Câu 3

Ông Bình trồng cây vào khu vườn hình tam giác theo cách như sau: hàng thứ nhất trồng 1 cây, hàng thứ hai trồng 2 cây, hàng thứ ba trồng 3 cây và cứ thế hàng ngay sau trồng nhiều hơn 1 cây.

a)
Hàng thứ mười ông Bình phải trồng 10 cây
b)
Cây thứ 100 ông Bình trồng vào hàng thứ 13
c)
Ông có 3.003 cây thì phải trồng 77 hàng
d)
Vườn ông Bình trồng được 100 hàng cây, giá mỗi cây ông Bình mua để trồng là 5.000 đồng, ông Bình chi phí tiền cây là 25 triệu đồng

Câu 4

Bạn An làm bài thi trắc nghiệm đúng sai gồm 4 câu hỏi mỗi câu 1 điểm, trong đó bạn An làm chắc chắn đúng hai câu, hai câu còn lại bạn chọn ngẫu nhiên đúng hoặc sai.

a)
Xác suất để bạn An được 4 điểm phần thi trắc nghiệm đúng sai là $\dfrac{1}{256}$
b)
Xác suất để bạn An được 3,5 điểm phần thi trắc nghiệm đúng sai là $\dfrac{1}{32}$
c)
Xác suất để bạn An được 2 điểm phần thi trắc nghiệm đúng sai là $\dfrac{1}{32}$
d)
Xác suất để bạn An được 3 điểm phần thi trắc nghiệm đúng sai là $\dfrac{9}{128}$

Phần III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 1

Một đội bóng đá thi đấu trong một sân vận động có sức chứa 55 000 khán giả. Với giá mỗi vé là 100 nghìn đồng, số khán giả trung bình là 27 000 người. Qua thăm dò dư luận, người ta thấy rằng mỗi khi giá vé giảm thêm 10 nghìn đồng, sẽ có thêm khoảng 3.000 khán giả. Hỏi ban tổ chức nên đặt giá vé là bao nhiêu (nghìn) để doanh thu từ tiền bán vé là lớn nhất?

Trả lời:

Câu 2

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ . Trên các cạnh $AA'$ , $BB'$ , $CC'$ lần lượt lấy ba điểm $M$ , $N$ , $P$ sao cho $\dfrac{A'M}{AA'} = \dfrac{1}{3}$ , $\dfrac{B'N}{BB'} = \dfrac{2}{3}$ , $\dfrac{C'P}{CC'} = \dfrac{1}{2}$ . Biết mặt phẳng $(MNP)$ cắt cạnh $DD'$ tại $Q$ . Tính tỉ số $\dfrac{D'Q}{DD'} = \dfrac{a}{b}$ . Tính $T = a + b$ .

Trả lời:

HẾT